概率论：习题课五

1、概率论概率论 概率论与数理统计习题课五概率论与数理统计习题课五概率论概率论 一一填空题填空题：1设设nXXX,21是独立同分布的随机变是独立同分布的随机变量序列量序列,且均值为且均值为 ,方差为方差为2 ,那么当那么当 n充充分 大 时分 大 时 , 近 似 有近 似 有X 或或/nX 。特别的，当同为正态分。特别的，当同为正态分布时，对于任意的布时，对于任意的n，都精确有，都精确有X 或或/nX ),(2nN )1 , 0(N),(2nN )1 , 0(N概率论概率论 2设设nXXX,21是独立同分布的随机是独立同分布的随机变量序列变量序列,且且 2, iiXDXE，那么，那么 niiXn1

2、21依概率收敛于依概率收敛于 一一填空题填空题：22 解：解：)(2iXE 2)()(iiXEXD 22 相互独立相互独立且且,22221nXXX), 2 , 1( i22211nPiiXn 故故概率论概率论 3）设设4321,XXXX是是来来自自正正态态总总体体 22 , 0N的的样样本本，令令 243221XXXXY 则则当当 C 时时 22 CY.解：解：120 8XX N( , ) 因因)8 , 0(43NXX )1 , 0(821NXX )1 , 0(843NXX 2223412288XXXX() 所所以以 )2(82 Y即即18C 故故81一一填空题填空题：概率论概率论 二、选择题

3、二、选择题1） 设设 2, NX,其中其中 已知，已知，2 未知，未知，321,XXX为样本，则下列选项中不是为样本，则下列选项中不是统计量的是统计量的是 A）321XXX B） 321,maxXXX C） 3122iiX D） 1XC概率论概率论 二、选择题二、选择题2）设）设 pbX, 1, ,21nXXX是来自是来自X的样的样本，那么下列选项中不正确的是本，那么下列选项中不正确的是A) 当当n充分大时，近似有充分大时，近似有 npppNX)1(,B） nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,)1( C）nkppCnkXPknkkn, 2 , 1 , 0,)1( D） , 1 ,

4、 0,1,)1(11 knippCkXPkkkiB概率论概率论 二、选择题二、选择题3）已已知知 ntX 那那么么2X A）), 1(nF B）)1 ,(nF C）)(2n D） nt解：解：X t(n)，nVUX/ 则则0 1U N( , ) ,其其中中2V (n) 221U /XV / n 故故), 1(nFA概率论概率论 三三、解解答答题题1）设设供供电电网网有有 10000 盏盏电电灯灯，夜夜晚晚每每盏盏电电灯灯开开灯灯的的概概率率均均为为 0.7，并并且且彼彼此此开开闭闭与与否否相相互互独独立立，试试用用切切比比雪雪夫夫不不等等式式和和中中心心极极限限定定理理分分别别估估算算夜夜晚晚

5、同同时时开开灯灯数数在在 6800 到到 7200 之之间间的的概概率率解：解：数数表示夜晚同时开灯的盏表示夜晚同时开灯的盏设设X)2()7 . 0 ,10000( BX则则,7000)( XE,2100)( XD由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式,)(1| )(|2 XDXEXP 68007200PX故故200|7000| XP220021001 9475. 0 为为所所求求概率论概率论 三三、解解答答题题1）设设供供电电网网有有 10000 盏盏电电灯灯，夜夜晚晚每每盏盏电电灯灯开开灯灯的的概概率率均均为为 0.7，并并且且彼彼此此开开闭闭与与否否相相互互独独立立，试试用用切切比比雪雪夫夫不

6、不等等式式和和中中心心极极限限定定理理分分别别估估算算夜夜晚晚同同时时开开灯灯数数在在 6800 到到 7200 之之间间的的概概率率解：解：数数表示夜晚同时开灯的盏表示夜晚同时开灯的盏设设X)1()7 . 0 ,10000( BX则则,7000)( XE,2100)( XD由中心极限定理由中心极限定理)1 , 0()1(NpnpnpX 近近似似概率论概率论 21002002100200 68007200PX故故 21007000720021007000210070006800XP121002002 13644. 42 1 概率论概率论 三三、解解答答题题2）一一系系统统是是由由n个个相相互互

7、独独立立起起作作用用的的部部件件组组成成，每每个个部部件件正正常常工工作作的的概概率率为为 0.9，且且必必须须至至少少由由 80的的部部件件正正常常工工作作，系系统统才才能能正正常常工工作作，问问n至至少少为为多多大大时时，才才能能使使系系统统正正常常工工作作的的概概率率不不低低于于 0.95 ？解：解：数数表表示示正正常常工工作作的的部部件件个个设设X)1()9 . 0 ,(nBX则则,9 . 0)(nXE ,09. 0)(nXD 由中心极限定理由中心极限定理0 8P nX. n故故 nnnnnXnnnP09. 09 . 08 . 009. 09 . 009. 09 . 0)1 , 0(0

8、9. 09 . 0NnnX 近近似似概率论概率论 0 8P nX. n于于是是13 . 01 . 02 nn95. 0 1 9600 975( .).因因0 11 9600 3. n.n 所所以以34 5744n. 解解得得35n 即即 nnnnnXnnnP09. 09 . 08 . 009. 09 . 009. 09 . 0975. 03 . 01 . 0 nn即即概率论概率论 三、解答题三、解答题3）甲甲乙乙两两电电影影院院在在竞竞争争 1000 名名观观众众，假假设设每每位位观观众众在在选选择择时时随随机机的的，且且彼彼此此相相互互独独立立，问问甲甲至至少少应应设设多多少少个个座座位位，

9、才才能能使使观观众众因因无无座座位位而而离离去去的的概概率率小小于于 1解：解：表表示示来来甲甲电电影影院院的的人人数数设设X)1()5 . 0 ,1000( BX则则,500)( XE,250)( XD由中心极限定理由中心极限定理P XN 故故 250500250500NXP)1 , 0(2500500NX 近近似似 2505001N座座位位至至少少设设个个N概率论概率论 P XN 于于是是 250500250500NXP 2505001N%1 %99250500 N即即2 3270 99( .).因因5002 327250N., 所所以以536 79N. 解解得得537N 即即概率论概率论

10、 三、解答题三、解答题4）总总体体 2, NX,121, nnXXXX为为样样本本， niiXnX11, niiXXnS122)(11求求11 nnSXXn的的分分布布.)1(解：解：),1()1(222 nSn 由由),(2nNX 又又 nnNXXn211, 0 10 11nXXn N,n 故故 2121111nXXn(n)s t nn(n) 于于是是 111nXXn t nSn 即即概率论概率论 四、证明题四、证明题设设,21nXXX是来自总体是来自总体X的简单样的简单样本，本，iiaXE )(,)4 , 3 , 2 , 1( i存在存在,)0(224 aa,证明当证明当n充分大时，充分大时， niiXn121近似服从正态分近似服从正态分布。布。证明：证明：)(2iXE), 2 , 1(ni )(2XE 2a 211niiEXn 故故2a )(2iXD)(2XD 224)()(XEXE 224aa ), 2 , 1(ni 211niiDXn 于于是是naa224 概率论概率论 相互独立同分布相互独立同分布且且,22