等比数列前n项和教学设计

1、等比数列的前n 项和河北祁州中学高丽一、教学内容分析等比数列的前n项和是高中数学人教A版必修5第二章第五节的内容，分两个课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第二课时侧重于公式的灵活应用。等比数列前n项和是教材中很重要的一块内容，是“等差数列”，“等差数列前 n 项和”与“等比数列”内容的延续，具有承上启下的作用。它对学生进一步理解等比数列以及数列的知识有很重要的作用。此公式的推导过程中所渗透的类比，分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养二、学情分析从学生的思维特点看，很难想到变加为减。在学完等差数列的前n 项和的基础上，大部分学生会容易把本节内容与其从

2、公式的形成、推导、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。但其实本节公式的推导与等差数列前n 项和公式的推导有着本质的不同，这其中需要学生强烈的探究及观察能力。另外对于q=1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在使用公式的过程中容易出错。三、教学设计意图等比数列的前n 项和公式这一节内容是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式，等差数列的前n 项和公式的基础上进行的。是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。（ 1 ） 对这节教材的理解和根据高中学生的数学思维特征，确定的教学模式和教学方法以及要实现的教学目标。（ 2） 在教学过程中，要注重激发学生的学习热情

3、，调动学生潜在的学习积极性，启迪学生的思维，突破教材难点。利用问题探究式的教学方法对该课程进行教学，在师生的交流合作中，渗透数学知识。四、教学目标：1 、 知识与技能目标：通过本节学习，使学生会用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，会用等比数列前n 项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和问题，将等比数列前n 项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题。2、过程和方法目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生数学素养、培养学生分类与整合的数学思想及学生的逻辑思维。3、情感态度与价值观目标：通过解决生产实际和社会生活中的实

4、际问题，了解社会，认识社会，形成科学的世界观和价值观。五、教学的重点与难点重点： 等比数列前n 项和公式的推导及灵活应用，及生产和社会生活中有关的实际问题。难点： 建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关生产实际及社会生活中的热点问题。六、教学过程问题与情境学情预设设计意图一、创设情境：在占印度，有个名叫西萨的 人，发明了国际象棋，当时的印 度国王大为赞赏，对他说：我可 以满足你的任何要求.西萨说： 请给我棋盘的64个方格上，第一 格放1粒小麦，第二格放 2粒， 第三格放4粒，往后每一格都是 前一格的两倍，直至第 64格.国 王令宫廷数学家计算，结果出来 后，国王大吃一惊.为什么呢？学生开始讨

5、论，分析：数学建模生：1,2,22,263的和，用计算器一项一项加。（学生笑）师：可以啊！但是这样工程非常浩大，计算相 当繁琐。师：注意观察每项的特征，及其项与项间的联系。生：由于从第二项起每项与前一项的比值是同一个常数2,所以可以把它看成一个等比数列，因此我们要求出这个等比数列的前64项和S64 1 2 22263 。师：对！可是这要怎么加？探讨：我们观察发现：若将等式右边的每一项乘以一个2,就得到他后面相邻的一项。所以：S64 1 2 22263 2S642 22263 264 （学生发现相同项）将两个式子错位对齐发现有相同的部分，可以通过减法消去，-得：S64 2 64 1 （生：原来要

6、艾加为减）麦子质量超过7000亿吨！国土/、可能满足四萨的要求。师：我们将这样的求和方法叫做“错位相减法”。 你们有没有发现其中的关键？谁能说说这种计算的 关键是什么？生：它的关键在于等式两辿要同时乘以公比。还要错位相减。师：那么我们可以从特殊到一般，得出等比数列的前n项和吗？以一个故事做为切入点，该故事内容紧扣 本节课主题及重点，又便于引起学生的注意，调动学生学习本节课的趣味性和积极性。学生主动思考回答问题，教师给予肯定。通过教师引导，学生观察发现该问题为求和，求和就用加法。但是要怎么加？问题提出，形成繁难的情境，激起了学生的求知欲。探讨帮助学生充分 感受等比数列前 n项和 的公式推导关键是

7、变“加”为“减”。两个 式子对其了书写，便于 学生观察发现相同项。 利用减法消去相同项， 得到答案。这让学生在 探索过程中，充分感受 到成功的情感体验，从 而增强学习数学的兴趣 和学好数学的信心。对特殊题目的归纳小 结，有助于学生巩固理 解新的方法。9 / 7二、提出问题:般地，等比数列an的前n项和Sn即求:aa? a?an 1an2Sn4aq aqn.aq2、由 1 q Snaad得到Sn里q能不能等于 1 ? q要是等1,这是个什么数列，前n项和Sn等于什么？（提醒引导学生注意1 q的取值，如果1 q为0,不能直接除掉的，所以当所给数列的公比是一个字母时，一定要讨论）师：设等比数列 an

8、 ,首项为a1,公比为q ,如何求前n项和Sn?（学生众说纷纭，跃跃欲试。此时由学生表达，教师书写）推导过程:生：Sn a a2 a?2即 Sna1a1qa1q等式左右两边同乘 公比q得:2 3qSn aq aq aq利用错位相减,Sna1qSnan 1ann 1aqnaq把两个式子错位对齐发现:aiq“q2aqaq2n 1aqaqn 1 a1qn、的右边有很多相同的项。用式两边分别减去式两边得1 q Sn ai Hna1aq生：当q 1时，这个等比数列变成一个常数列，也可看成一个等差数列，所以Sn(q i)na1师：当q 1时，等比数列的前 n项和的公式为Sna 1 qn(q 1).1 q因

9、此等比数列na1Sna1 1On前n项和公式问题的提出的水到渠 成，顺势引导学生将结 论一般化，情境为等比 数列前n项和的提出及 其证明做好铺垫。在教师的指导下，学生体验从特殊到一般，利用错位相减法，自己探究公式，从而获得学习的快乐。证明过程的关键是在于让学生明白错位相减法，以及它的关键在于等式两边要同时乘以公比q。书写时错位对齐，给予视觉冲击，加深印象。通过反问精讲，一方面 使学生加深对知识的 认识，完善知识结构， 另一方面使学生由简 单地模仿和接受，变为 对知识的主动认识，从 而进一步提高分析、类 比和综合的能力。这一 环节非常重要，尽管时 间有时比较少，甚至仅 仅几句话，然而却有画 龙点

10、睛之妙用。师：等差数列前 n项和公式不唯一，至少我们学了两个表达形式，那等比数列前n项和公式也有不一样的表达形式吗？生：可以用等比数列的通项公式an a1qn 1n 1因为an a1q ，所以公式还可以写成教师再次追问，推动学 生自主探索发现，营造 一个让学生主动思考、 观察、讨论的学习气氛。公式得出后，教师帮助 学生强调注意事项，有 助于学生正确理解记 忆，公式特征的归纳后 助于加快学生的解题速 度。a1anqSn-1-(q 1).1 q卯：供好！公认中找11聚杜忌儿总：(1)、n为等比数列的项数；(2)、a1, an , n , q , Sn “知二求一”；(3)、等比数列求和要对“ q

11、1 ”与“ q 1 ”分类讨论；(4)等比数列前n项和公式的特征：Sn 01)3 3qn,即 sn k kqn1 q1 q 1 q形式，其中k 3 , q 1。若等比数列前n项1 q和 Sn aqn b ,贝U a b 0三、课堂演练例1、求卜列等比数列前 8项的和：111”2、 4 8 "卜例2. 已知等比数列 an的前4 项和是S 44 0公比q=3,求首项ai练习：已知 an是等比数列完成 卜表-11_斛a1,q-, n8221 1、S2(1 二)25581 12562解：S4 40,q 3, n 4axx 401 q1 3a11例1通过直接套用公 式、变式运用公式、这 两个层

12、次的问题解决， 促进学生新的数学认知 结构的形成。深刻体会“知三求二”，强调方程 与函数的思想。等比数 列涉及到指数问题，有 时解题计算很繁琐，要 注意计算化简中的技 巧，灵活运用性质。通 过学生板书演示，让全 体学生都参与教学，以 此培养学生的参与意识 和竞争意识。题号aiqnsn(1)326(2)35242（学生自主解答，再请同学到黑板上演示）例3某制糖厂今年制糖 5万吨， 如果平均每年的产量比上一年增加10%那么从今年起，几年内可 以使总产量达到30万吨（保留到 个位）.（教师引导学生探究， 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列模型，并明确这是一个已知首项和公比求前 n项和的问

13、题。）解：由题意可知，这个糖厂从今年起， 平均每年的产量（万吨）组成一个等比数列，记为a na1 5,q 1 10% 1.1, Sn 30于是得到 5（1 1.1n）30. 1 1.1酸由钻nlg1.60.2041匚整理的11n 16n5lg1.10.0414答：5年内可以使总产量达到 30万吨.例3是等比数列前n项 和在实际生活中的典型 应用。通过身边的例子， 让学生感受数学在生活 中的应用，并培养学生 数学建模的能力和应用 知识解决实际问题的能 力。例4、等比数列an的前n项和为 Sn 3n r ,则 r_?_生：先求a1 ,a2 ,a3,利用等比中项求出r师：很好，这种方法利用了方程的思

14、想，一个 未知数，只需野-个方程。教师板书：a1 3 r a2 6 a3 18电.2r 1a a2生：把an通项公式求出来，再利用an是等比数列，就可以了。师：那我们试试看，已知Sn求an要注意分n 1, n 1两个情况教师板书：当n 1时，a1 3 r例题4的设置，活跃了 学生的思维，加强了数 学思想方法的训练，通 过本题学习，树立学生 求真的勇气和自信心， 增强学生学好数学的心 理体验，还帮助学生感 受等比数列前n项和公 式的特征，提高解题速 度。当n 1时，an Sn Sn i 2 3n 1 an是等比数歹U,所以a1 3 r也满足上式，r 1生：等比数列 an的前n项和为Snaqnb,

15、贝 Uab0r10 r 1师：没错！这是很简洁的方法。直接利用等比 数列前n项和的性质得到。思考题远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？生：可以看成是数学建模：已知等比数列an,公比q=2 , n=7, S7=381，求a1由学生探究回答例4是公比的讨论问 题，解题时，以学生分 析为主，教师适时给予 点拨，该题有意培养学 生建立数学模型思想。 提醒学生解题严谨。四、课堂小结1、等比数列前n项和公式（ai, an, n, q, Sn 知二求二）2、公式的推导方法3、应用题：等比数列前 n项和的实际应用。师生小结：引导学生回顾公式、推导方法，鼓 励学生积极回答，然后老师再

16、从知识点及数学思想 方法两方卸总结。给学生充分的时间独立 思考、应用公式解决问 题。五、布置作业1、1、知识小结：等比数列前 n项和公式；等比数列的前n项和的简单运用；a1,an, n,q,Sn知三求二；2、方法小结：从特殊到一般的方法；错位相减法；方程与函数的思想方法3、作业布置：课本 58页思考：求和 Sn 1 2x 3x2 4x3nxn1鼓励学生积极回答，以 此培养学生的口头表达 能力，归纳概括能力， 也为了加深印象。作业 布置帮助学生巩固所 学，思考题的给出有助 于学生克服疲倦及自满 心理，继续探究。六、教学反思本节教学设计重视“过程与方法”。符合新课标理念，把重点放在公式的推导及应用

17、上。一、创设教学情境，引起学生的兴趣情境创设是为了发展学生的心理机能，激发学生的兴趣、求知欲等来增强教学效果而营造的课堂氛围。创设教学情境，让学生“触境生情”，既可以掌握数学知识和技能，又可以 体验教学内容中的情感，使原本枯燥抽象的数学知识变得生动有趣。本节课通过数学史料引进课题，即可以扩展学生的数学视野，又能提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价 值的认识。二、不断探索讨论，激活学生的思想高中数学新课程的基本理念是要丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法。在教学中,教师鼓励学生积极参与教学活动，教授过程中要有教师的讲授和指导，更要有学生的自主探索与合作交流。鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。等比数列前n项和公式的推导用了错位相减法， 这种方法学生很难想到，求和都是用加,怎么会变成减法了呢？如果课上有足够的时间, 解答方法。比如：可以让学生充分思考,说不定可以得到其他a2aia3a2a2a3ai a2SnaianSnaianq /(q i) q或者:Snaiaqn aiqn i aiqq&aqSnnaiq