概率论与数理统计：第二章随机变量及其分布

1、概率论概率论 xy-李雪艳李雪艳第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布在第一章中在第一章中, ,我们学习了随机试验和随机事件概率大我们学习了随机试验和随机事件概率大小的计算。随机现象大量存在，基本结果的描述也千小的计算。随机现象大量存在，基本结果的描述也千变万化，变万化，如如:但从概率的定义和前面的实例来看，计算概率时但从概率的定义和前面的实例来看，计算概率时我们并不关心具体基本结果的描述，而更多的是一我们并不关心具体基本结果的描述，而更多的是一种数量关系。种数量关系。 正面，反面正面，反面； 男孩，女孩男孩，女孩；红球，白球，黑球红球，白球，黑球； 1,2,3,4,5,6. 在许多随

2、机试验中，除试验结果之外，往往有另在许多随机试验中，除试验结果之外，往往有另一个量与每个结果相关联，如赌博时投掷硬币，人一个量与每个结果相关联，如赌博时投掷硬币，人们总是不加思素地将正面和反面转化成赢和输了多们总是不加思素地将正面和反面转化成赢和输了多少钱；少钱； 再如，摸球中奖活动，人们摸中红球、白球、再如，摸球中奖活动，人们摸中红球、白球、黑球等时，总是和中几等奖、多少奖金联系起来。黑球等时，总是和中几等奖、多少奖金联系起来。 这样，就自然建立了一个对应关系。这样，就自然建立了一个对应关系。 实际上，给随机试验的每个结果都赋予一个数值，实际上，给随机试验的每个结果都赋予一个数值，在样本空间

3、在样本空间 和实数值建立一种对应关系，是我们和实数值建立一种对应关系，是我们应用数学理论和方法来深入和系统地研究随机试验应用数学理论和方法来深入和系统地研究随机试验规律的基础。规律的基础。 1 随机变量及分布列随机变量及分布列 有些试验结果本身与数值有关：有些试验结果本身与数值有关：（1）掷一颗骰子面上出现的点数；）掷一颗骰子面上出现的点数；（4）七月份临安的最高温度；）七月份临安的最高温度；（2）每天到杭州下火车的人数；）每天到杭州下火车的人数；（3）昆虫的产卵数；）昆虫的产卵数；1.1 随机变量的概念随机变量的概念在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我在有些试验中，试验结果看来与数值无

4、关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果们可以引进一个变量来表示它的各种结果. 也就是也就是说，把试验结果数值化说，把试验结果数值化. 例例:抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观察其出现正面与反面的情况观察其出现正面与反面的情况,则其有二个可能结果则其有二个可能结果:出现正面出现正面H或出现反面或出现反面T,其其样本空间为样本空间为=H,T.若我们在样本空间上定义一个函数若我们在样本空间上定义一个函数:HTXX10)(这样我们就将试验结果与实数对应起来了这样我们就将试验结果与实数对应起来了. 例例:在一批灯泡中任意抽取一只在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命测试它的寿命,则其样本空间为则其样本空

5、间为=t|t0. 在在上定义一个函数上定义一个函数: X=X( )=t, =t 由于试验结果是随机的由于试验结果是随机的,因而函数因而函数X( )的取值的取值也是随机的也是随机的,它的值域是它的值域是RX=0，+）.以上这种对应关系在数学上理解为定义了一种以上这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数实值函数. .R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？数一样吗？X( ) 定义定义:设设E是随机试验是随机试验,它的样本空间是它的样本空间是=.如果对于每一个如果对于每一个 ,有一个实数有一个实数X()与之对应与之对应,这样就得到一个定义在这样

6、就得到一个定义在上的实值函数上的实值函数X=X(),称为称为随机变量随机变量.（1）常用大写字母）常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量等表示随机变量.随机变量所取的值随机变量所取的值,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等表示等表示.（2）仅取有限个或可列个值的随机变量称为）仅取有限个或可列个值的随机变量称为离离散随机变量散随机变量.（3）可能取值充满数轴上的一个区间的随机变）可能取值充满数轴上的一个区间的随机变量称为量称为连续随机变量连续随机变量. 引入随机变量后引入随机变量后,就可以用随机变量就可以用随机变量X描述事件描述事件.HTXX10)(（2）PXL=P|X()L. 如抛掷一枚

7、硬币如抛掷一枚硬币,观察其出现正面与反面的情况观察其出现正面与反面的情况,在在样本空间样本空间上定义一个函数上定义一个函数:则则PX=1=PH=1/2.（1）X L表示事件表示事件 |X()L.一般对于任意的实数集合一般对于任意的实数集合L 例：检查一个产品是否合格，则样本空间例：检查一个产品是否合格，则样本空间为为=合格品，不合格品合格品，不合格品 （1）定义随机变量）定义随机变量X如下：如下：样本点样本点X的取值的取值合格品合格品0不合格品不合格品1（2）X可解释为可解释为“检查一个产品的不合格品数检查一个产品的不合格品数” 例：检查三个产品，记例：检查三个产品，记X为为“三个产品中的三个

8、产品中的不合格品数不合格品数”，则，则样本点样本点X的取值的取值1=（0，0，0）02=（1，0，0）13=（0，1，0）14=（0，0，1）15=（1，1，0）26=（1，0，1）27=（0，1，1）28=（1，1，1）3事件事件概率概率X=0=1(1-p)3X=1=2, 3, 43p(1-p)2X=2=5, 6, 73p2(1-p)X=3 =8p3 若产品的若产品的不合格品率为不合格品率为p p，则，则1.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 在很多情况下，我们需要研究随机变量所取的值落在一个区间的概率 但由于 所以我们只要对任意实数x，知道事件Xx的概率就可以了.)(),(),(dX

9、PcXPbXaP)cXcXaXbXbXa)(xXP 对于任意实数x1,x2(x1x2),有 Px1Xx2 =PXx2- PXx1 = F(x2) - F(x1) 解解:若x 0,则Xx是不可能事件,于是 F(x)=P(Xx)=0 例例:一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能击中靶子,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数. 若0 x2,则 P(0Xx)=kx2 取x =2,有 1=P(0 X2)=4k故k=1/4,即 P(0 Xx)=x2/4于是 F(x)= P(Xx) = P(X0)+ P(0 Xx) = x2/4 若x 2,则

10、Xx是必然事件,于是 F(x)=P(Xx)=1分布函数的基本性质分布函数的基本性质1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx 1. F(x)是一个不减函数. 2. 0 F(x)1,且 3. F(x+0) =F(x),即F(x)是右连续的. 注：满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数. 证明证明:单调性单调性: F(x)是定义在整个实数轴(-,+)上的单调非减函数.即对任意的x1x2,有 F(x1) F(x2) .F(x2) - F(x1) =P(x1 x1因为所以F(x1) F(x2) .1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx)(lim)(lim)(lim)(

11、limnFxFmFxFnxmx有界性有界性: 对任意的实数x, 有0 F(x)1,且证明证明 因为0 F(x)1 ,且F(x)单调,故存在又由概率的完全可加性有) 1(1nnXnPXPnmimnniXiPnXnP1lim1)(lim)(lim )() 1(limmFnFiFiFmnnmimn所以必有1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx右连续性右连续性: F(x+0) =F(x),即F(x)是右连续的.证明证明 因为F(x)是单调有界函数,其任一点的右极限F(x+0) 必存在.为证明右连续,只要对某一列单调下降的数列x1x2xnx,(n),证明)()(limxFxFnn因为)()(1

12、111nnnxXxPxXxPxFxF由此即得)0()(lim)(1xFxFxFnn)()(lim )()(111111xFxFxFxFxXxPnnnnnnnn随机事件的概率的分布函数表示 P(Xx)=F(x) P(Xx)=F(x-0)=F(x)-P(X=x) P(Xx)=1- P(Xx)= 1-P(Xx)= 1- F(x) 进一步,形如x1 X x2, x1 X x2, x1 X x2, x1 X x2,以及它们经过有限次或可列次并、交、差以后的概率,都可以由F(x) 计算出来,所以F(x) 全面地描述了随机变量X的统计规律.1.3 离散型随机变量的概率分布列离散型随机变量的概率分布列分布律还

13、可以简单地表示为： 分布律具有以下性质分布律具有以下性质:，非负性21, 0. 1kpk1. 21kkp正则性为什么？510)(344034355，kCCCkXPkk5 , 4 , 3 , 2 , 1,)(kakkXP1265)(5151aakkXPkk151a.(2)2521( XP)21 ( XP从而)2() 1(XPXP5115215151152151)2() 1(XPXPX的分布律？X的分布函数？X-123P1/41/21/43, 4/12/14/132, 2/14/121, 4/11, 0)(xxxxxF3, 132, 4/321, 4/11, 0)(xxxxxF例例: :设随机变量

14、X的分布律为求X的分布函数,并求PX1/2,P3/2X 5/2,P2 X 3.解解 由概率的有限可加性得即 PX1/2=F(1/2)=1/4 P3/2X 5/2 =F(5/2)-F(3/2) =3/4 -1/4=1/2 P2 X 3 = F(3)-F(2)+PX=2 =1-1/4+1/2=3/4解解 (1) 7 . 0)3()3(FXP)321( XP5 . 02 . 07 . 0)21()3(FF)2(1)2(XPXP)02()02()2(1FFF8 . 05 . 07 . 01(2) , 2 . 002 . 0) 1(XPX-124Pk0.20.50.3)2()2(1XPXP, 5 . 0

15、2 . 07 . 0)2(XP3 . 07 . 01)4(XPX01234Pp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4X01234P 0.50.250.1250.0625 0.0625 例例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相互独立的),求X的分布律. 解解:以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分布律为 或写成PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3;PX=4=(1-p)4. 以p=1/2代入得例例 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有一汽车沿一街

16、道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等灯显示的时间相等. 以以X表示该汽车首次遇到红表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数灯前已通过的路口的个数，求，求X的概率分布的概率分布.解解: 依题意依题意, X可取值可取值0, 1, 2, 3. P(X=0)=P(A1)=1/2, Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3设设路口路口3路口路口2路口路口1P(X=1)=P( )21AA2121= 1/4321AAA P(X=

17、2)=P( )212121=1/8X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口1Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3设设321AAA=1/8P(X=3)= P( )212121路口路口3路口路口2路口路口1818141213210X即即不难看到不难看到301)(iiXPX表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3设设1.4 连续型随机变量连续型随机变量0)()(xXPxF)()(xX

18、PxFabax)()(xXaPaXP)(0 xXaP1)()(xXPxF综上所述bxbxaabaxaxxF，10)(如果令 ，其他，01)()(bxaabdxxdFxf则有 dttfxFx)()()()(xpxF注：在F(x)导数存在的点上有 p(x)xo面积面积=? 若若x是是 p(x)的连续点，则：的连续点，则：xxxXxPx )(lim00( )limxxxxxp t dt 对对 p(x)的进一步理解的进一步理解:)(xp 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 p(x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，这但是，这个高度越大，则个高度越大

19、，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度. p(x)xo若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：( )P xXxxp xx( )p xx在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似. 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .( )p xx ,)x xx设X为连续型随机变量, 则对任意的实数ab)()()(aFbFbXaPa

20、babdttfdttfdttf)()()(即X落在区间的概率为密度函数y=f(t)与直线t=a,t=b及t轴所围面积.连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：, 0)( aXPa为任一指定值为任一指定值这是因为这是因为)(lim)(0 xaXaPaXPx 0lim( )axaxp x dx 0需要指出的是需要指出的是:0)()(0lim0 xaFaFaXPx 定理定理:若X为连续型随机变量,则对于任意实数a有 PX=a=0 证明证明:设X的分布函数为F(x), x0,则由X=a a- xXa得0 PX=aPa-xX a =F(a)-F(a -x)由于X为连续型随机

21、变量,其分布函数F(x)是连续的,所以即 PX=a=0. 推论推论: 若X为连续型随机变量,则 PaXb=PaXb=PaXb =PaXb=F(b)-F(a) 连续型随机变量的密度函数连续型随机变量的密度函数p(x)有如下性质：有如下性质：0)(. 1xp非负性1)(. 2dxxp正则性badxxpbXaP)()(. 3)()(xpdxxdF函数p(x)为某个随机变量X的密度函数的充要条件是p(x)满足非负性和正则性.解解 f(x)的图形如图 20020)(xtdtdtxFx00)(xdtxF236)66(20)(2212100 xxdtttdtdtxFx10)66(20)(11212100 x

22、dtdtttdtdtxF从而得1112123621000)(22xxxxxxxxF，解解 由密度函数性质(1) AdxxAxdxxf65) 1()(110,从而 56A(2) 211)()211(dxxfXP51) 1(5602/1001dxxxdx解解 任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为32100100)()150(1501502150 xdxxdxxfXPp(1) 1317. 0)31()32()5(0555CYP(2) )5()4()4(YPYPYP4609. 0)31()32(31)32(0555445CC其他, 021 ,10,)(xxaxxxp1)2(2)()(1212102

23、2110axaxxdxxaxdxdxxp其他, 021 ,210,)(xxxxxp25 . 1125. 0)2(25 . 1dxxXP 例例:试确定常数a,使为某个随机变量X的概率密度,且计算事件1.5X 2的概率. 解解 因所以a =2.故从而试说明试说明F(x)能否是某个能否是某个r.v 的分布函数的分布函数.例例 设有函数设有函数 F(x)其它00sin)(xxxF解：解： 注意到函数注意到函数 F(x)在在 上下降，上下降，不满足性质不满足性质(1)，故，故F(x)不能是分布函数不能是分布函数.,2不满足性质不满足性质(2)， 可见可见F(x)也不也不能是能是r.v 的的分布函数分布函

24、数.或者或者()lim( )0 xFF x 21200 xx 我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问题中,这样的全面描述并不使人感到方便. 已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握,又难以迅速地作出判断.2 随机变量的数学期望随机变量的数学期望2.1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 例：例：有A，B两射手，他们的射击技术

25、如表所示，试问哪一个射手本领较好？0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称5416212817103只数Nk3210-1-2日走时误差xk22. 11005416321228117010) 1(3) 2(NNxxkkkkkkkfxNNx平均值则抽查到的100只手表的平均日走时误差为即 例例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手表的日走时误差,其数据如表: 如果另外再抽验100只手表,每作一次这样的检验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误差的平均值.由关于频率和概率关系的讨论知,理论上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也

26、是真正)的平均值. 这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念.,.2 , 1kpxXPkkkkkpx |kkkpx 定义定义:设离散型随机变量X的概率分布为如若则称为随机变量X的数学期望数学期望,记为E(X). 如果kkkpx |则称随机变量X的数学期望不存在数学期望不存在.所以A的射击技术较B的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称3 . 96 . 0101 . 093 . 081 . 93 . 0105 . 092 . 08 例例:有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？解解 A射击平均击中环数为B射击平均击中环数为 解解

27、分布律为： X0123P0.30.40.20.1 平均废品数为： ()0 0.3 1 0.42 0.23 0.11.1(/E X 个 天） 例例:设随机变量X具有如下的分布，求E(X).,.2 , 1,212) 1(kkXPkkk解解 虽然有kkkkkkkkxXPx212) 1(11收敛,但发散,因此E(X)不存在.2ln1) 1(1kkk111kkkkx pk 押宝押宝 一种赌博形式一种赌博形式规则如下：由庄家摸出一只棋子放在密封的盒中，这只棋子可以是红或黑的将、士、象、车、马、炮之一。赌客把钱押在赌台上的这12个字上。押定开盒，凡押中者(字和颜色都对)。以一比十的得到奖金。不中者押金归庄家

28、。看看你得钱的分布列：0111111212因此 其数学期望为11/12。支出（1元）和期望收入（11/12）明显“吃亏”。2.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 我们已知离散型随机变量X的数学期望为E(X)=kkkpx自然要问连续型随机变量的数学期望是什么?设p(x) 是连续型随机变量X的密度函数,取分点x0 x10,常数),求W的数学期望.解解 因为随机变量V的密度函数为所以21,)()(sXssbsXsaXsbXXYs其他, 0,1)(2112sssssxp 例例:按季节出售的某种应时商品,每售出一公斤获利润b元.如到季末尚有剩余商品,则每公斤净亏损a元.设某商品在季节内

29、这种商品的销售量X(以公斤计)是一随机变量,X在区间(s1,s2)上服从均匀分布.为使商店所获得利润的数学期望最大,问商店应进多少货?解解以s(公斤)表示进货数,进货s所得利润记为Ys(X),则X的概率密度为12212122)(2sssabsbsassab0)()(1221ssbsassabXYEdsdsabbsass21由得于是sssssdxssaxsbxdxsssbXYE1212121)(1)(2.4 数学期望的性质数学期望的性质1. E(c)=c,c为常数为常数;2. E(cX)=cE(X), c为常数为常数;例：长途汽车起点站于每时的例：长途汽车起点站于每时的1010分、分、3030分

30、、分、5555分分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间解解:设乘客于某时设乘客于某时X分到达车站分到达车站,候车时间为候车时间为Y,则则60557055305530103010010)(XXXXXXXXXgY1060( )600Xxfx其他600)(601)(dxxgYE=10分分25秒秒 例例:在某地区进行某种疾病普查在某地区进行某种疾病普查,为此要检验每一个为此要检验每一个人的血液人的血液.如果当地有如果当地有N个人个人,若逐个检验就需要检验若逐个检验就需要检验N次次

31、,现在问现在问:有没有减少检验工作量的办法有没有减少检验工作量的办法? 解解:先把受检验者分为每先把受检验者分为每k个人一组个人一组, 把每组把每组k个人个人的血液混合在一起进行检验的血液混合在一起进行检验.如果检验结果为阴性如果检验结果为阴性,就就说明说明k个人的血液全为阴性个人的血液全为阴性,因而就因而就k个人总共只要检个人总共只要检验一次就够了验一次就够了;如果检验结果为阳性如果检验结果为阳性,为了明确为了明确k个人个人中究竟是哪几个人为阳性中究竟是哪几个人为阳性,就要对这就要对这k个人再逐个进个人再逐个进行检验行检验,这时这时k 个人检验的总次数为个人检验的总次数为k+1次次.显然显然

32、,k个个人需要检验的次数可能是人需要检验的次数可能是1次次,也可能是也可能是k+1次次,是一是一个随机变量个随机变量,为了和老方法工作量的大小进行比较为了和老方法工作量的大小进行比较,应应该求出它的平均检验次数该求出它的平均检验次数. 在接受检验的人群中在接受检验的人群中,各个人的检验结果是阳性各个人的检验结果是阳性还是阴性一般是相互独立的还是阴性一般是相互独立的,并假设每个人是阳性并假设每个人是阳性结果的概率为结果的概率为p, 是阴性结果的概率为是阴性结果的概率为q=1-p.这时这时k个人一组的混合血液呈阳性结果的概率为个人一组的混合血液呈阳性结果的概率为pk, 是阴是阴性结果的概率为性结果

33、的概率为qk.设设X为为k 个人一组混合检验时每个人一组混合检验时每人所需检验的次数人所需检验的次数,则有则有PX=1/k= qk; PX=1+1/k=1- qk 由此可求得每个人所需的平均检验次数为由此可求得每个人所需的平均检验次数为E(X)=(1/k) qk +(1+1/k)(1- qk)= 1+1/k - qk 要使分组检验法比老方法检验的次数减少要使分组检验法比老方法检验的次数减少,必须有必须有1+1/k - qk 1. 如果如果q已知已知,还可以从还可以从E(X)= 1+1/k - qk中选取最合适中选取最合适的整数的整数k0,使得平均检验次数最少使得平均检验次数最少.3 随机变量的

34、随机变量的方差方差 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律： 易知E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两种手表的优劣.但直觉告诉我们A优于B,怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢?3.1 方差的概念方差的概念 分析原因：分析原因： A手表之所以优于B手表,是因为A手表的日走时较B手表稳定.其日走时与其日平均误差的偏离程度小. 研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的. 怎么样去度量这个偏离程度呢? (1)xk-E(X)表示xk与E(X)之间的偏差; (2)EX-E(X)不能反映X与E(X)之间的整体偏差; (3)E|X-E(X)|可以度量X与E(X)之间的整体偏差,

35、但运算不方便; (4)EX-E(X)2可以度量X与E(X)之间的整体偏差,且运算也较方便.)()(XDX 定义：定义：设X是一个随机变量,若EX-E(X)2存在,则称EX-E(X)2为X的方差方差.记为D(X)或Var(X),即D(X)= Var(X)= EX-E(X)2称为X的标准差标准差或均方差均方差. 定理定理:证明证明 D(X)=EX-E(X)2 =EX2 -2XE(X)+ E(X)2 = E(X2)-2E(X)E(X)+ E(X)2 = E(X2)- E(X)222()() ()D XE XE X12)()(kkkpXExXDdxxpXExXD)()()(2 方差实际上是随机变量X的

36、函数f(X)=X-E(X)2的数学期望.于是 (1)对于离散型随机变量X,若PX=xk=pk,k=1,2,则 (2)对于连续型随机变量X,若其概率密度为p(x),则XA-101XB-2-1012p0 .10 .80 .10 .10 .200 .20 .12 . 11 . 0 022 . 0 01 4 . 0 00 2 . 0 0) 1(1 . 0 0) 2()(2 . 01 . 0 01 8 . 0 00 1 . 0 0) 1()(22222222BAXDXD 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下表的分布律.问哪种手表质量好些?解解 易知E(XA)=E(XB)=0.所以由于D(XA)

37、0=0,从而P|X-E(X)|=0=1,即PX=C=1.为什么4 常用离散分布常用离散分布 每个随机变量都有一个分布；每个随机变量都有一个分布； 不同的随机变量可以有不同的分布，也不同的随机变量可以有不同的分布，也可有相同的分布；可有相同的分布； 随机变量有很多，无法一一列举，但常随机变量有很多，无法一一列举，但常用的随机变量并不多；用的随机变量并不多； 常用的随机变量分为两类：离散分布和常用的随机变量分为两类：离散分布和边续分布边续分布.4.1 两点分布两点分布(0-1分布分布)X01P1 - pp21, 1, 0)(eeeeeXX当当 定义定义:设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律

38、是PX=k=pk(1-p)1-k, k=0,1 (0p1)则称X服从两点分布两点分布(0-1分布分布). 两点分布(0-1分布)的分布律也可以写成 对于一个只包含两个元素的样本空间S=e1,e2的随机试验,我们总能在S上定义一个服从(0-1)分布的随机变量来描述它.4.1.1（0-1）分布）分布X01Pk0.550.45当取到正品时当取到次品时, 1, 0)(eXX当取到正品时当取到次品时, 0, 1)(eYY 例例:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.若定义随机变量X为则有 PX=0=0.05,PX=1=0.95若定义随机变量Y为则有

39、PY=0=0.95,PY=1=0.05从中看到X,Y都服从(0-1)分布4.1.2（0-1）分布数学期望）分布数学期望 设X的分布列为： X01Pqp0p11qp 则()01E Xqpp 其中4.1.3（0-1）分布的方差）分布的方差pqpXE22201)( 定理：定理：若PX=0=q,PX=1=p,则D(X)=pq.证明证明pqppppXEXEXD)1 ()()()(222故有pXE)(又4.2 二项分布二项分布)61, 3( BX578704. 0)65()61()65()()0(30033321CAAAPXP)() 1(321321321AAAAAAAAAPXP347222. 0)65(

40、61213 C)()2(321321321AAAAAAAAAPXP069444. 065)61(223 C)()3(321AAAPXP004630. 0)65()61()61(03333Cknkknkqpqqqppp knkknnqpCkP)(nkqpCkXPknkkn, 1 , 0,)( 定义定义:如果随机变量X的概率分布如下 PX=k=Cnkpkqn-k (k=0,1,n) 其中0p0是常数,n是任意正整数,设npn=,则对于任一固定的非负整数k,有 证明证明:由pn=/n有对于任意固定的k,有故有由泊松定理,当n很大,p很小时有下面的近似式泊松泊松定理表明，定理表明，泊松分布是二项分布的

41、极限分布，泊松分布是二项分布的极限分布，当当n很大，很大，p很小时，很小时，二项分布就可近似地二项分布就可近似地看成是参数看成是参数 =np的的泊松分布泊松分布102 . 00175. 0!2 . 012kkkeXP 例例:设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障由一人处理.考虑两种配备维修工人的方法:一是由4人维护,每人负责20台;二是由三人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.即有PA1+A2+A3+A40.0175 解解:按第一种方法.以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”,以事件Ai=第i

42、人维护的20台中发生故障不能及时维修(i=1,2,3,4),则知80台中发生故障不能及时维修的概率为PA1+A2+A3+A4PA1=PX2 而XB(20,0.01),这时=np=0.2,故有308 . 00091. 0!8 . 014kkkeYP 例例:设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障由一人处理.考虑两种配备维修工人的方法:一是由4人维护,每人负责20台;二是由三人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 所以第二种方法较第一种方法而言,不仅节约了人力,而且设备发生故障时不能及时维修的概率要小得多. 按第

43、二种方法.以Y记80台中在同一时刻发和故障的台数.此时Y B(80,0.01),=np=0.8,故80台中发生故障不能及时维修的概率为例例:放射性物质在某一段时间内放射的粒子数服从泊松分布放射性物质在某一段时间内放射的粒子数服从泊松分布.假设把体积为假设把体积为V的某放射性物质分割为的某放射性物质分割为n份相同的体积份相同的体积V=V/n,且假定且假定:(1)对于每一个特定的小块而言对于每一个特定的小块而言,在时间在时间t内放出两个以内放出两个以上上粒子的概率为粒子的概率为0.(2)对于每一个特定的小块而言对于每一个特定的小块而言,在时间在时间t内放出一个内放出一个粒粒子的概率为子的概率为pn

44、=V,为比例系数为比例系数.(3)各小块是否放出粒子是相互独立的各小块是否放出粒子是相互独立的.则体积为则体积为V的某放射物质在时间的某放射物质在时间t内放出内放出k个个粒子粒子,可可近似看作在近似看作在n个独立的小块中恰有个独立的小块中恰有k块放出粒子块放出粒子,于是于是)1(nnknnknknpqqpCkXPekqpCkXPkknnknknn!limknkknkknnknknnnnknnknnkknnnppC)1 ()1)(11).(21)(11 (1 !)1 ()(!) 1).(1()1 (1)1 ()1 (1)11).(21)(11 (1limlimlimknnnnnennknn!)1

45、 (limkeppCkknnknknn,.2 , 1 , 0!kekkXPk下面再证下面再证记记=V，则，则pn=V= V/n=/n,所以所以对于任意固定的对于任意固定的k,有有故有故有例：设某国每对夫妇的子女数例：设某国每对夫妇的子女数X X服从参数为服从参数为 的泊松的泊松分布分布, ,且知一对夫妇有不超过且知一对夫妇有不超过1 1个孩子的概率为个孩子的概率为3e3e-2-2. .求任选一对夫妇求任选一对夫妇, ,至少有至少有3 3个孩子的概率。个孩子的概率。23 101),(eXPXPXPpX且21013XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee解解:由题意由

46、题意,232eee323. 0)2(1XP)8()10000050000500000(XPXP002. 0250080!)002. 02500(ekkkkkkkC2500802500)998. 0()002. 0(580!5ekkk931906. 04.3.3 泊松分布数学期望泊松分布数学期望 证明:0,.;2 , 1 , 0,!kekkXPkeekeekkXEkkkk110)!1(!)( 定理定理:设随机变量X服从泊松分布,即则随机变量X的数学期望E(X)= .4.3.4 泊松分布的方差泊松分布的方差ekkXEkk022!)( 定理：定理：设随机变量X服从泊松分布X(),则D(X)=.证明证

47、明2222)()()(XEXEXDekkkk1)!1() 11(20110222)!1()!2(ekekkkkk4.4 超几何分布超几何分布 0, 1, 2, min( ,)kn M则称X服从超几何分布，记为),(MNnhXnNknMnkMCCCkXP )(既然 min( ,)0()1n MkP Xk我们实际上证明了 nNknMnkMMnkCCC,min04.4.1 超几何分布的数学期望超几何分布的数学期望 ),(MNnhX设nNknMnkMMnkCCkCXE/)(,min0nNknMnkMMnkCCCNMn/11,min0NMn4.4.2 超几何分布的方差超几何分布的方差 nNknMnkMM

48、nkCCCkXE/)(2,min02NMnCCCkknNknMnkMMnk/) 1(,min2NMnNNnnMM) 1() 1() 1() 1()()(2NNnNMNnMXD4.4.3 超几何分布的二项近似超几何分布的二项近似 则令时当,/,NMpNn当 N 很大时，超几何分布可以用二项分布来近似计算（不放回抽样可用放回抽样近似）（不放回抽样可用放回抽样近似） knkknnNknMnkMppCCCC)1 ( 例:袋中有红球袋中有红球,黄球黄球,蓝球各一个蓝球各一个.从中有放回地从中有放回地每次任取一个每次任取一个,直到取到红球为止直到取到红球为止.试求取球次试求取球次数数X的概率分布的概率分布

49、,以及第以及第4次首次取到红球的概率次首次取到红球的概率. 解解:有放回地取球,每次取到红球的概率为p=1/3. 所以取球次数X的概率分布为 PX=k=(1-1/3)k-1/3, k=1,2, 第4次首次取到红球的概率是PX=4= (1-1/3)3/3=8/814.5 几何分布几何分布4.5.1 几何分布几何分布, 2 , 1,)1 ()(1kppkXPk则称则称X服从参数为服从参数为p的的几何分布,记为记为)(pGeX4.5.2 几何分布的数学期望几何分布的数学期望定理：定理：设随机变量X服从几何分布,即121.)321 ()(kkqqppqkXE证明证明 其中0q=1-p1时时,X的全部取

50、值为的全部取值为:m,m+1,m+2,mpmXPPX=m+1=P第第m+1次试验时成功并且次试验时成功并且 在前在前m次试验中成功了次试验中成功了m-1次次,.2, 1,)1 (111mmmkpppCkXPmkmmkpppCmmm)1 (115.1 均匀分布均匀分布5 常用连续型随机变量常用连续型随机变量XUa,b时,分布函数为abaxbaxaxbxdtdtabdtbxadtabdtaxdtxF，010100)(bxbxaabaxax，10)(lxXxP与x的取值无关.ablabxlxdtablxx1解解 客车停靠时间TU12:10,12:45,其密度函数为，其他，045:1210:12351

51、10451)(ttf所求概率为)50:1220:12(TP753514520dt其他, 01100900,90011001)(xxp5 . 0200110509501050950dxRP 例例: :设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900欧至1100欧.求R的概率密度及R落在950欧至1050欧的概率.解解 R的概率密度为故有5.1.1 均匀分布的数学期望均匀分布的数学期望 babxaabxp其他, 0,1)()(21211)()(2baxabdxabxdxxxpXEbaba 定理定理:设连续型随机变量X的密度函数为则E(X)=(a+b)/2. 证明证明:5.1.2 均匀分布的方差均匀分布的

52、方差)(311)(2222aabbdxxabXEba 定理定理:设随机变量X服从均匀分布XU(a,b),则D(X)=(b-a)2/12.证明证明222)(121)()()(abXEXEXD5.2 指数分布指数分布 指数分布的分布函数为 0001)(xxexFx，指数分布在在实际中有广泛的应用,如电子元件的寿命,随机服务系统的服务时间等都服从指数分布. 怎样得到的？.0,0,0,)(3xxKexpx0, 00,)(3xxKexpx103dxKex. 0, 0, 0,3)(3xxexpx7408. 03)(1 . 01 . 031 . 0dxedxxpXPx例例: :设随机变量X具有概率密度试确定

53、常数K,并求PX0.1.解解 由于即有解得K=3.于是X的概率密度为先猜一下k=？解解（1） ) 15 . 0( XP（2） )2(XP35 . 115 . 0315 . 033eeedxexx623233eedxexx（3） )(XXP33)(3eee)()(XPXP)(),(XPXXP)(1)(1FF5.2.1 指数分布的数学期望指数分布的数学期望 0, 0, 0, 0,)(xxexp0)()(dxxedxxxpxEx 定理定理:设连续型随机变量X的密度函数为则随机变量X的数学期望为E(X)=1/.证明证明01dttextt1)(100dtetett5.2.2 指数分布的方差指数分布的方差

54、21)(XD20222)(dxexXEx 定理定理:设随机变量X服从参数为 的指数分布,则证明证明22222112)()()(XEXEXD5.2.3 指数分布的无记忆性指数分布的无记忆性)|(sXtsXPtstseee)()()(sXPtsXP)(),(sXPsXtsXP)(1)(1sFtsF证明)(tXP5.3 正态分布正态分布 正态分布是一种最常见的随机变量,正态分布的一些性质与特点使其在概率论与数理统计理论中有特别重要的地位.5.3.1 正态分布的概念正态分布的概念 (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x= 对称对称p()maxp(x) .21正态分布有两个特性正态

55、分布有两个特性：(2) 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻，。，。正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布5.3.2 标准正态分布标准正态分布 dteuUPutu2221)()()(1)(uu这时可利用附表计算:)(1)(uuUP)()()(abbUaP1)(2)|(|ccUP9357. 0)52. 1 ()52. 1() 1 (UP0643. 09357. 01)52. 1 (1)52. 1()2(UP0643. 0)52. 1 (1)52. 1()3(UP)75. 0()52. 1 ()5

56、2. 175. 0()4(UP7091. 0)75. 0(1 )52. 1 (8714. 01)52. 1 (2)52. 1|(|)5(UP5.3.32 一般正态分布概率的计算一般正态分布概率的计算 证证 dtexFxt222)(21)(令 st于是 dtexFxt222)(21)(dsesx2221)(x解解 )45()62()6245(FFXP)5 . 0(1 )2 . 1 ()5 . 0()2 . 1 (5764. 06915. 018849. 0)6040()1050(XPXP1) 1 (2)1 (1 ) 1 () 1() 1 (6826. 018413. 02)105045()105

57、062()105040()105060(解解 45. 0)640()()(111xxFxXP所以)640(1x查表得13. 06401x从而22.3940613. 01x55. 045. 01)640(11x解解 由)(1)(22xFxXP 知86. 0)6402x（ 查表得08. 16402x从而48.4640608. 12x在自然现象中,大量随机变量都服从或近似服从正态分布. 在概率论和数理统计的理论研究和实际应用中正态分布随机变量起着极其重要的作用.14. 0)640(12x5 . 090895 . 09089XPXP例例:将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内, 调节器整定在d,液

58、体的温度X(以计)是随机变量,且X N(d,0.52). (1)若d=90,求X小于89的概率. (2)若要求保持液体的温度至少为80 的概率不低于0.99,问d至少为多少?解解 (1)所求概率为)2(1)2()5 . 09089(0228. 09772. 015 . 0805 . 08099. 0ddXPXP解 (2)所求的d 应满足即(80-d)/0.5 1-0.99=0.01故(80-d)/0.5 -2.327，即d81.1635例例:将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内, 调节器整定在d,液体的温度X(以计)是随机变量,且XN(d,0.52). (1)若d=90,求X小于89的概

59、率. (2)若要求保持液体的温度至少为80 的概率不低于0.99,问d至少为多少?)5 . 080(15 . 0805 . 01dddXP5.3.4 正态分布的数学期望正态分布的数学期望 dxxxXE)(21exp21)(22 定理定理:设连续型随机变量XN(,2) ,则 E(X)=.证明证明dttttx2exp)(2122dttdttt2exp22exp(212222dtt2exp222dssst2exp22为什么?5.3.4 正态分布的方差正态分布的方差)()(2XEXD 定理定理:设随机变量X服从正态分布XN(,2) , 则D(X)=2.证明证明dxxx2)(exp21)(2222222

60、22dtetxtt5.4 伽玛（伽玛（ Gamma ）分布）分布5.4.1 伽玛函数伽玛函数函数dxexx10)(伽玛函数的性质伽玛函数的性质:)21(; 1) 1 () 1 ()() 1()2(5.4.2 伽玛分布伽玛分布0, 00,)()(1xxexxpx5.4.3 伽玛分布的数学期望和方差伽玛分布的数学期望和方差dxexXEx0)()(1)() 1(dxexXEx102)()(22) 1(1)()2(22222) 1()()()(XEXEXD5.4.4 伽玛分布的两个特例伽玛分布的两个特例1. 当=1时,伽玛分布就是指数分布:)(), 1 (ExpGa)()21,2(2nnGa0, 00