高等数学：D1_5极限运算法则

1、二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节极限运算法则时, 有,min21一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 .设0lim( )0,xxx0lim( )0,xxx,010,当010 xx时 , 有2( ) x20,当020 xx时 , 有2( ) x取则当00 xx( )( )( )( )xxxx22因此0lim( ( )( )0.xxxx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小

2、!类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设u在x0的领域内有定义且有界，则10100,(,),Mxx 和使得( )u xM又设0lim(x)0,xx即,020,当),(20 xx时, 有( )Mx取,min21则当),(0 xx时 , 就有( ) ( )u xx( )( )u xxMM故0lim ( )( )0,xxu xx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .oyx例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定

3、理 2 可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有( )( ) ,( )( )f xAxg xBx(其中,为无穷小) 于是( )( )( )( )f xg xAxBx()( ( )( )ABxx由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小BA的关系定理 , 知定理结论成立 .定理定理 3 . 若定理定理 4 . 若,)(lim,)(limBxgAxf则有)()

4、(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .说明说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )BA为无穷小B2B1)(1xg)(0 xx定理定理 5 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf有( )( ),( )( ),f xAxg xBx其中,设( )( )( )f xAxg xB(

5、 )( )AxABxB( )( )( )BxAxB BxBA因此由极限与无穷小关系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxf( )( )( )f xAxg xB为无穷小,定理定理6 . 若,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .定理定理7: 若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf则.BA)()()(xgxfx利用保号性定理证明 .提示提示: 令例例2. 设

6、 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例3. 设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxx

7、xx6231 若例例5 . 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,因且在x=1的去心邻域内不等于0,例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母原式一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当( 如如P47 例例5 )( 如如P47 例例6 )( 如如P47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当三、三、 复合

8、函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又lim( ),uaf uA则有 )(lim0 xfxxlim( )uaf uA证证: lim( )uaf uA,0,0当au0时, 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02当200 xx时, 有ax)(对上述取,min21则当00 xx时ax )(au 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.定理定理7. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又lim( ),uaf uA则有 )(lim0 xfxxlim( )uaf uA 说明: 若定理中,)(lim

9、0 xxx则类似可得 )(lim0 xfxxAufu)(limlim ( ),uf uA内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂(2) 复合函数极限求法设中间变量作业作业P49 1 （5），（7），（12），（14） 2 （1），（3） 3 （1）思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.?321lim2222n