同济大学(高等数学)-第三篇-常微分方程

同济大学(高等数学)_第三篇_常微分方程同济大学(高等数学)_第三篇_常微分方程/NUMI）同样的方法确定的系数.综上所述，我们有如下结论：二阶常系数线性齐次微分方程有如下形式的特解其中是与同次（次）的多项式，而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的二重根，分别取0，1或2.例1求微分方程y5y6yxe2x的特解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x2).则与所给方程对应的齐次方程为y5y6y0，它的特征方程为r25r60.解得特征方程有两个实根r12，r23.由于2是特征方程的单根，所以应设方程的特解为y*x(b0xb1)e2x，把它代入所给方程，得2b0x2b0b1x.比较两端x同次幂的系数，得，2b01，2b0b10.由此求得，b11.于是求得所给方程的一个特解为.例2求微分方程的一个特解.解因为方程右端，属于型，其中，且不是特征方程的根，所以可设特解为因而有，将代入原方程并整理，得比较两端同次幂的系数，有解之得所以原方程的特解为.例3求微分方程的通解.解（1）先求对应齐次方程的通解因为特征方程有两个相等的实根，所以对应齐次方程的通解为.（2）求非齐次方程的一个特解因为方程右端，属于型，其中，，且是特征方程的二重根，故设特解为，因而有，，将代入原方程并整理，得，比较两端同次幂的系数，得，于是特解为，所以原方程的通解为.型其中为常数，分别是的次，次多项式，并且其中有一个可以为零.我们可以推导出这种类型的二阶常系数非齐次微分方程的特解的形式方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解形式应用欧拉公式可得ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]，其中，而mmax{ln}.设方程ypyqyP(x)e(i)x的特解为y1*xkQm(x)e(i)x，则必是方程的特解，其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.于是方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解为xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx].综上所述，我们有如下结论：如果f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]，则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)的特解可设为y*xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]，其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式，mmax{ln}，而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例4求微分方程的一个特解.解方程右端属于型，其中，因为原方程对应的齐次方程的特征方程的根为，故不是特征方程的根，所以可设特解为，因而有，，将代入原方程并整理，得，比较两端同次幂的系数，有，解之得，所以原方程的特解为.习题6-51．求方程下列微分方程的通解．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；；(8).2.求下列微分方程满足初始条件下的特解：（1）；（2）；（3）；（4），.3．求下列微分方程的通解．（1）；（2）；（3）；（4）；(5)；(6).4.设函数满足求.微分方程应用6.1经济应用如何用微分方程确定商品价格浮动的规律例1设某种商品的供给量与需求量是只依赖于价格的线性函数，并假设在时刻价格的变化率与这时的过剩需求量成正比.试确定这种商品的价格随时间的变化规律.解设，（6-6-1），（6-6-2）其中，，，都是已知的正常数.当供给量与需求量相等时，由（6-6-1）式与（6-6-2）式求出平衡价格为.当供给量小于需求量时，价格将上涨，这样市场价格就随时间的变化而围绕平衡价格上下波动.因而我们设想价格是时间的函数.由假定知道，的变化率与成正比，即，其中是正常数.将（1）和（2）代入上式，得，（6-6-3）其中，都是正常数.式是一阶线性微分方程，其通解为如果初始价格，则（3）式的特解为，该式即为商品价格随时间的变化规律.6.2工程应用建筑构件的冷却时间如何计算？例2建筑构件开始的温度为100℃，放在20℃的空气中，开始的600s温度下降到60℃.问从100解设物体的温度为，冷却系数，则该问题的方程,其初始条件为.方程中的负号是因为介质温度20℃<，物体放热，是降温过程，此时.该方程是可分离变量的微分方程，也是一阶线性非齐次微分方程.其解为.又因为开始的600s下降到60℃，即，代入得.所以，当时，，解得.即2400s后，物体温度下降到25℃.习题6-61．作直线运动的物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s时与原点相距100m，在20s时与原点相距200m,求物体的运动规律.2．试建立常微分方程，从微分方程的角度说明正确的减体重的方法.设每天的饮食可产生热量,用于新陈代谢消耗热量，活动消耗热量体重，并且理想假定减重时产生的热量主要由脂肪提供，每千克脂肪转化的热量为，记为体重，于是平衡方程为：.第7节MATLAB软件的应用MATLAB中主要用dsolve来求解常微分方程的解析解，ode45,ode23,ode15s求解数值解，其中dsolve常用命令格式为：S=dsolve（‘方程1’,‘方程2’，...,‘初始条件1’,...,‘初始条件2’,...,ode45是最常用的求解微分方程数值解的命令，对于刚性方程组不宜采用，ode23与ode45类似，只是精度低一些，ode12s用来求解刚性方程组，是用格式同ode45.可以用helpdsolve,helpode45查阅有关这些命令的详细信息.例1

求下列微分方程的解析解（1）；（2）；（3）.解（1）输入命令：clear;s=dsolve('Dy=a*y+b')输出结果：s=-b/a+exp(a*t)*C1（2）输入命令：clear;s=dsolve('D2y=sin(2*x)-y','y(0)=0','Dy(0)=1','x')simplify(s)

%以最简形式显示s输出结果：s=(-1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*sin(x)+(-1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*cos(x)+5/3*sin(x)ans=-2/3*sin(x)*cos(x)+5/3*sin(x)（3）输入命令：clear;s=dsolve('Df=f+g','Dg=g-f','f(0)=1','g(0)=1')simplify(s.f)

%s是一个结构simplify(s.g)输出结果：ans=exp(t)*cos(t)+exp(t)*sin(t)ans=-exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t)例2求解微分方程先求解析解，再求数值解，并进行比较.解输入命令：clear;s=dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1','t')输出结果：simplify(s)可得解析解为.下面再求其数值解，先编写M文件fun1.m输入命令：%M函数fun1.mfunctionf=fun1(t,y)f=-y+t+1;再用命令clear;close;t=0:0.1:1;y=t+exp(-t);plot(t,y);

%化解析解的图形holdon;

%保留已经画好的图形，如果下面再画图，两个图形和并在一起[t,y]=ode45('fun1',[0,1],1);plot(t,y,'ro');

%画数值解图形，用小圈画xlabel('t'),ylabel('y')输出结果：如图6-7-1

图6-7-1解析解与数值解总复习6（A）一、选择题.1.微分方程的阶数是（）．(A).1(B).2(C).3(D).52.是方程的()，其中，为任意常数．通解（B）特解（C）是方程所有的解（D）上述都不对3.微分方程，当时为（）．（A）.一阶线性齐次微分方程（B）.一阶线性非齐次微分方程（C.）伯努利方程（D）.一阶非线性齐次微分方程4.下列微分方程中，()是二阶常系数齐次线性微分方程．（A）．（B）．（C）．（D）．5.在整个数轴上线性无关的一组函数为（）.（A）.（B）.（C）.（D）.6.用待定系数法求方程的特解时，下列设法正确的是（）.（A）.（B）.（C）.（D）.二、填空题.1.若函数满足方程及，则．若是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．3.已知和是齐次线性方程的两个解，则．三、计算题1、解下列微分方程．（1）；（2）；（3）；（4）.（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.2．求下列微分方程的通解或特解．（1）求的一个特解；（2）求的通解.（3）求微分方程满足条件的解．四、应用题已知一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间.总复习6（B）选择题1.（2011、数学二）微分方程的特解形式为（）．（A）（B）（C）（D）2.（2008、数学二）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（）． 3.（2010、数学二）设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则（）．（A）（B）（C）（D）4.（2006、数学二）函数满足的一个微分方程是（）．（A） （B）（C） （D）5.（2004、数学二）微分方程的特解形式可设为（）．（A）.（B）.（C）.（D）填空题1.（2013、数学一）已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则该方程的通解__________．2.（2012、数学二）