高等数学：第四章 习题课

1、第四章第四章 习题课习题课 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 . 1 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx tx )23(令令解解.cos1)sin1( . 2 dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 原式原式= =解解.15)1ln( . 322 dxxxx求求5)1ln

2、(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 原式原式= =解解. 11 . 422 dxxxx求求,1 tx 令令dttttt)1(1)1(111222 dttt 112 22212)1( 11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx ( (倒代换倒代换) )原式原式= =.cos . 5bxdxeax 求积分求积分bxdxeaxcos 解解 )(cos1axebxda )(cos1cos1bxdeabxeaaxax其中其中 bxdxeaxsin bxdxeabbxeaaxaxsincos1

3、 )(sin1axebxda.cossin1 bxdxeabbxeaaxaxbxdxeaxcos .cossin22Cebabxbbxaax 于是于是解解.)1ln(arctan . 62 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd xxxxarctan)1ln()1(21222 dxxxx1)1ln(21222 原式原式= =解解.)2( . 710 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010

4、.)2ln(201ln2110Cxx .2)1ln(2 3)1ln()1(arctan212222Cxxxxxxx 解解.)1()1( . 8342 xxdx求求 )1()1( 342 xx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 则有则有 原原式式 234)1()11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx .)1()11(234 xxx解解.cos1sin . 9 dxxxx求求 原原式式dxxdxxx 2tan2cos22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx dxxxxx 2cos22cos2sin22.sin3sinsin1 . 10 dxxx

5、x求积分求积分解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x .tan41Cx 解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322.)()()()()( .1132 dxxfxfxfxfxf求求

6、 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 原式原式= =解解.11 .12632dxeeexxx 求积分求积分6 xet 令令,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(解解., 1max .13 dxx

7、求求, 1max)(xxf 设设,1,11,11,)( xxxxxxf则则 , ),()(上连续上连续在在xf).(xF则则必必存存在在原原函函数数.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF )(须处处连续，有须处处连续，有又又xF),21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即),(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即 dxx, 1max故故.1,2132CCCC 可得可得,1CC 联联立立并并令令.1,12111,211,2122 xCxxCxxCx .tan3 ,tan11,tan .14521xdxIxnIdxx

8、Innnnn并求并求求证：求证：设设证明证明dxxxInn )1(sectan22 xdxxxdnn22tan)(tantan.tan1121 nnIxn3155tan151IxI 1134tan131tan41Ixx xdxxxtantan21tan4124.coslntan21tan4124Cxxx .coscossin)cos( , .152 xbadxxbaxAxbadxba使下式成立：使下式成立：确定确定解解 在上式两端分别对在上式两端分别对 x x 求导，得求导，得,cos1)cos(cos)cos(122xbaBxbabxaAxba 于是于是xBbBaAbxAacoscos1 ,cos)(xBbAaBaAb 比较系数，得比较系数，得 , 0, 1BbAaBaAb解此方程组，解此方程组，;,2222baaBbabAba 时时当当 . 为何值，原式均不成立为何值，原式均不成立、