高考真题文科数学解析分类汇编10立体几何

1、2012高考文科试题解析分类汇编：立体几何 一、选择题1.【2012高考新课标文7】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）【答案】B【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题.【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为=9，故选B.2.【2012高考新课标文8】平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为 （A） （B）4 （C）4 （D）6【答案】B【解析】球半径，所以球的体积为，选B.3.【2012高考全国文8】已知正四棱柱中 ，为的中点，则

2、直线与平面的距离为（A） （B） （C） （D）【答案】D4.【2012高考陕西文8】将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）【答案】B.【解析】显然从左边看到的是一个正方形，因为割线可见，所以用实线表示；而割线 不可见，所以用虚线表示故选B5.【2012高考江西文7】若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A B.5 C.4 D.【答案】D【解析】通过观察三视图，确定几何体的形状，继而求解.通过观察几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为六边形（2条对边长为1，其余4条边长为），高为1的直棱柱.所以该几何体的体积为故选D.【点评】本题考

3、查三视图及空间想象能力，体现了考纲中能掌握三视图所表示的简单的立体图形以及对空间想象能力的要求，来年三视图考查仍然围绕根据三视图求几何体的表面积或体积，以及根据几何体来求三视图等问题展开，难度适中.6.【2012高考湖南文4】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点

4、题型.7.【2012高考广东文7】某几何体的三视图如图1所示，它的体积为图1正视图俯视图侧视图55635563A. B. C. D. 【答案】C【解析】几何体是半球与圆锥叠加而成它的体积为8.【2102高考福建文4】一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 【答案】D.考点：空间几何体的三视图。难度：易。分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）

5、和俯视图均为正方形；圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。9.【2012高考重庆文9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（A） （B） （C）（D）【答案】A 【解析】：，【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题10.【2012高考浙江文3】已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3【答案】C【命题意图】本题考查的是三棱锥的三视图问题，体现了对学生空间想象能力的综合考查。【解析】由题意判断出，底面是一个直角三角形

6、，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为.11.【2012高考浙江文5】设是直线，a，是两个不同的平面A. 若a，则a B. 若a，则aC. 若a，a，则 D. 若a, a，则【答案】B【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识，具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。【解析】利用排除法可得选项B是正确的，a，则a如选项A：a，时，a或a；选项C：若a，a，或；选项D：若若a, a，或12.【2012高考四川文6】下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两

7、个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C解析若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.点评本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.13.【2012高考四川文10】如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平

8、面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（）A、 B、 C、 D、【答案】A解析以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，则A点评本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.14.【2102高考北京文7】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直

9、关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体表面积，故选B。【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题，原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年者的是表面积，因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力。二、填空题15.【2012高考四川文14】如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是_。【答案】解析方法一：连接D1M,易得DNA1D1 ,DND1M, 所以，DN平面A1MD1，又A1M平面A1MD1，所以，DNA1D1，故夹角为90方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2

10、,1），M（0,1,0）A1（2,0,2）故，所以，cos = 0,故DND1M，所以夹角为90点评异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决.16.【2012高考上海文5】一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为【答案】【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为，所以该圆柱的表面积为：.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题.17.【2012高考湖北文15】已知某几何体的三

11、视图如图所示，则该几何体的体积为_.【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是.【点评】本题考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景，考查常见组合体的表面积.18.【2012高考辽宁文13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.【答案】12+【命题意图】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。【解析】由三视图可知该几

12、何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积。19.【2012高考江苏7】（5分）如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3【答案】6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。【解析】长方体底面是正方形，中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。四棱锥的体积为。20.【2012高考辽宁文16】已知点P，A，B，C，D是球O表面上的

13、点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则OAB的面积为_.【答案】【命题意图】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。【解析】点【点评】该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。21.【2012高考天津文科10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积.【答案】【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为，五棱柱的体积是，所以几何体的总体积为。22.【2012高考安徽文12】某

14、几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_。【答案】【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱几何体的的体积是23.【2012高考山东文13】如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为.【答案】考点：空间多面体的体积解析：求的体积，显然为定值，也就是说三棱锥的地面面积与三棱锥的高都为定值，因此，我们需要找底面三角形的面积为定值，三角形的面积为（为定值），而E点到底面的高正合适为正方体的高为1（为定值），因此体积为24.【2012高考安徽文15】若四面体的三组对棱分别相等，即，则_(写出所有正确结论编号)。四面体每组对棱相互垂直四面体每个面的面积相等从四面体每个顶点出发

15、的三条棱两两夹角之和大于而小于连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长【答案】【解析】四面体每个面是全等三角形，面积相等从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于连接四面体每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长25.【2012高考全国文16】已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为_.【答案】【命题意图】本试题考查了正方体中的异面直线所成角的求解问题。【解析】首先根据已知条件，连接，则由可知或其补角为异面直线与所成的角，设正方体的棱长为2，则可以求解得到，再由余弦定

16、理可得。三、解答题26.【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。（）证明：平面；（）设二面角为，求与平面所成角的大小。【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。解：设,以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。（）证明：由得， 所以，所以，。所以,，所以平面；（） 设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。 所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的

17、正弦值为，所以与平面所成角为.【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。27.【2012高考安徽文19】（本小题满分 12分）如图，长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。（）证明：；（）如果=2，=，,，求的长。【解析】（I）连接，共面长方体中，底面是正方形面（）在矩形中， 得：28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)如图，在三棱锥中，点在平面内的射影在上。（）

18、求直线与平面所成的角的大小；（）求二面角的大小。命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.解析（1）连接OC. 由已知，所成的角设AB的中点为D，连接PD、CD.因为AB=BC=CA,所以CDAB.因为等边三角形，不妨设PA=2，则OD=1，OP=, AB=4.所以CD=2，OC=.在Rttan.6分（2）过D作DE于E，连接CE. 由已知可得，CD平面PAB.据三垂线定理可知，CEPA，所以，.由（1）知，DE=在RtCDE中，tan故 12分点评本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，

19、重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）.29.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（）小问4分，（）小问8分）已知直三棱柱中，为的中点。（）求异面直线和的距离；（）若，求二面角的平面角的余弦值。【答案】（）（）【解析】（）如答（20）图1，因AC=BC， D为AB的中点，故CD AB。又直三棱柱中， 面 ，故 ，所以异面直线 和AB的距离为（）：由故 面 ，从而 ，故 为所

20、求的二面角的平面角。因是在面上的射影，又已知 由三垂线定理的逆定理得从而，都与互余，因此，所以，因此得从而所以在中，由余弦定理得30.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC平面ABCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。【解析】（I）是与所成角 在中， 异面直线与所成角的正切值为（II）面面平面平面（III）过点作于点，连接 平面平面面是直线与平面所成角 在中， 在中， 得：直线与平面所成角的正弦值为31.【2

21、012高考新课标文19】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点()证明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.CBADC1A1【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.【解析】（）由题设知BC,BCAC，,面, 又面，,由题设知,=,即,又, 面, 面，面面；（）设棱锥的体积为，=1，由题意得，=，由三棱柱的体积=1，=1:1， 平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1.32.【2012高考湖南文19

22、】（本小题满分12分） 如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.（）证明：BDPC；（）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30，求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】【解析】（）因为又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，而平面PAC，所以.（）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，所以均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积在等腰三角形中

23、，所以故四棱锥的体积为.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积.33.【2012高考山东文19】(本小题满分12分)如图，几何体是四棱锥，为正三角形，.()求证：；()若，M为线段AE的中点，求证：平面.【答案】(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，又已知，所以平面OCE.所以，即OE是BD的垂直平分线，所以.(II)取AB中点N，连接，M是AE的中点，是等边三角形，.由BCD120知，CBD30，所以ABC60

24、+3090，即，所以NDBC，所以平面MND平面BEC，故DM平面BEC.34.【2012高考湖北文19】（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2。A 证明：直线B1D1平面ACC2A2；B 现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？解：（）因为四棱柱的侧面是全等的矩形，所以，. 又因为，所

25、以平面ABCD. 连接BD，因为平面ABCD，所以.因为底面ABCD是正方形，所以. 根据棱台的定义可知，BD与B1 D1共面. 又已知平面ABCD平面，且平面平面，平面平面，所以B1 D1BD. 于是由，B1 D1BD，可得，.又因为，所以平面.（）因为四棱柱的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以.又因为四棱台的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以.于是该实心零部件的表面积为，故所需加工处理费为（元）. 【解析】本题考查线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直线面垂直面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；四棱柱与四棱台的表面积都是由

26、简单的四边形的面积而构成，只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行，面面平行特别是线面平行，以及体积等的考查.35.【2012高考广东文18】本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥中，平面，是的中点，是上的点且，为中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积；（3）证明：平面.【解析】（1）证明：因为平面，所以。因为为中边上的高，所以。 因为， 所以平面。（2）连结，取中点，连结。 因为是的中点， 所以。 因为平面，所以平面。则，。（3）证明：取中点，连结，。 因为是的中点，所以。因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以。因为， 所以。因为平面， 所以。 因为，所以平面，所以平

27、面。36.【2102高考北京文16】（本小题共14分）如图1，在RtABC中，C=90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2。(I)求证：DE平面A1CB；(II)求证：A1FBE；(III)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由。【考点定位】本题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决。第三问的创新式问法，难度比较大。解：（1）因为D,E分别为AC,AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB,所以DE平面A1CB.（2）由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC.所以DEA1

28、D,DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC,所以DEA1F.又因为A1FCD,所以A1F平面BCDE.所以A1FBE（3）线段A1B上存在点Q,使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQBC.又因为DEBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由（2）知DE平面A1DC,所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点，所以A1CDP,所以A1C平面DEP,从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,使得A1C平面DEQ.37.【2012高考浙江文20】（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1

29、D1中，ADBC，ADAB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。（1）证明：（i）EFA1D1；（ii）BA1平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。【答案】【解析】（1）（i）因为，平面ADD1 A1，所以平面ADD1 A1.又因为平面平面ADD1 A1=，所以.所以.（ii） 因为，所以，又因为，所以，在矩形中，F是AA的中点，即.即，故.所以平面.(2) 设与交点为H，连结.由（1）知，所以是与平面所成的角. 在矩形中，得，在直角中，得，所以BC与平面所成角的正弦值是.38.【2012高考陕西文18】

30、（本小题满分12分）直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ，=（）证明;（）已知AB=2，BC=，求三棱锥的体积【解析】（）如图，连结,是直三棱柱，=，平面,故 又，四边形是正方形，又，平面，故 （）， 由（）知，平面，S=39.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱，AA=1，点M，N分别为和的中点。 ()证明：平面; ()求三棱锥的体积。（椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积，h为高）【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。【解析】（1）（法一）连结，由已知三棱

31、柱为直三棱柱，所以为中点.又因为为中点所以，又平面平面，因此6分（法二）取的中点为P，连结MP，NP，分别为和的中点， MP,NP,MP面,NP面, , 面MPN面，MN面， MN面.()（解法一）连结BN，由题意,面面=,面NBC， =1, .(解法2)【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。40.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点求证：（1）平面平面； （2）直线平面【答案】证明：（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 又平面，平