解几离心率求解的基本方法

1、解几求解离心率的基本方法设椭圆=1( a b 0)的左、右焦点分别为F、F2，如果椭圆上存在点P,使.F1 PF2二90，求离心率e的取值范围。解法1 ：利用曲线范围设 P(x，y)，又知 F1 (- c, 0), F2 (c, 0)，则TFf =(x c, y)， F2P =(x-c, y)由 F1PF2 =90，知 F1P _ F2P ,n., T T则 F1P F20,即(x c)(x -c) y2 = 0得x2 y2 = c2将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得2 2 2, 2a2 -b22 a c -a b x但由椭圆范围及 ZF1PF90知 0 _ x2 : a22 2 2.

2、2 a c -a b2Z2a -b可得 c2 -b2，即 C2 _a2 -c2，且 c2 a2 从而得e=E ，且e=E：1a 2a所以e 丄2, 1)2解法2:利用二次方程有实根由椭圆定义知2 2 2|PF1|PF2| = 2a= IPF1I IPF2I 2|PF1|PF24a又由.FiPF2 -90，知|PFIPF2I2 =|FiF2|2 = 4c2则可得 |PFi|PF2| = 2(a2 -c2)这样,|PF1|与|PF2|是方程u2 -2au 2(a2 -c2) = 0的两个实根，因此: =4a2 _8(a2 _c2) _02 c21二 e ya22申=e _2因此e 鼻，1)2解法3

3、:利用三角函数有界性记一PF1 F? -，一PF2F1 -由正弦定理有IPF1I = IPF2I _ 时2|sin ：sin ： sin 90=IPF1IIPF2Isin j 1 sin :=|Fi F2I又 |PF1PF2| = 2a，c1e =:-a sina +sin P|F1 F22c，则有1 1a + P a - P 厂 a - P2 sincos、2 cos2 2 2而0旳二刁：:：90知 01 : 4522cos12 2.2从而可得乞e ： 12解法4:利用焦半径 由焦半径公式得|PF11= a ex， | PF21 = a -ex又由|PF |PF2|2 =厅芾2|2，所以有2

4、小222222a 2cx ex a -2cx e x 4c2 2222小 222C- a2 e且x =二a，则知0巴x2 ： a2，即又点P( x，y)在椭圆上,即 a e x = 2c ，x2 22c a202 ae得e 二，1)2解法5:利用基本不等式由椭圆定义，有 2a =|PF1| |PF2|平方后得2 2 2 2 2 2 24a =|PFi| |PF2| 2|PFi|PF2|(|PFi| JPF2I )=2厅芾2| = 8c2f得 1 所以有e，鼻，1)a222解法6:巧用图形的几何特性由.F1PF2 =90，知点P在以|FiF2| = 2c为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭

5、圆有公共点P故有 c _b= c2 _b2 =a2 _c2jo由此可得e 二，1)22水深火热的演练、直接求出a, c或求出a与b的比值，以求解在椭圆中，e丄，e仝-_b2a aba1一：21.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为13.若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1,0), F2(3,0),则椭圆的离心率为 一24.已知矩形 ABCD AB= 4, BC= 3，则以A B为焦点，且过 C D两点的椭圆的离心率为2X5.若椭圆2a2与=1,(a b 0)短轴端点为P满足PF1 _ PF2，则椭圆b的离心率为e =2 26.已

6、知一 -=1(m0.n 0)则当mn取得最小值时，椭圆-告-1m nm n的的离心率为227.椭圆X2 -1(a b 0)的焦点为Fi, F2，两条准线与x轴的交点 a b分别为M , N，若MN b 0) 上 一点，R、F2是椭圆的左右焦点，已知a2 b2310. 已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若J6 PF1F2 =15PF2F1 =75 ,则椭圆的离心率为32 213. 椭圆 Xy2 =1 (ab0)的两顶点为A (a,0 ) B(O,b),若右焦点Fa2 b2到直线AB的距离等于1 I AFI，则椭圆的离心率是6。232 214. 椭圆笃 % =1 (ab0)的四个顶点

7、为 A、B、C D,若四边形 ABCDa b的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是5 -123215.已知直线L过椭圆如果坐标原点到直线y2 =1 (ab0)的顶点 A (a,0 )、B(0,b), b2aL的距离为一，则椭圆的离心率是22 2X V16. 在平面直角坐标系中，椭圆2 =1( a b 0)的焦距为2，以oa b广2、为圆心，a为半径作圆，过点 ,0作圆的两切线互相垂直，则离心、&丿率e =2、X2y2117. 设椭圆一22 =1(a b 0)的离心率为e ，右焦点为F(c,0),a b2方程ax2 bx-c=0的两个 实根分别为 x1和x2，则点P(x1, x2)(A )A.必在

8、圆x2 y2内E.必在圆x2 y2上C.必在圆x2 y2外D.以上三种情形都有可能二、构造a, c的齐次式，解出e1 已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2以椭圆的右焦点 F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于MN两点，椭圆的左焦点为Fi,直线 MF与圆相切，则椭圆的离心率是.3 -13.4.5.以椭圆的一个焦点 F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O并且与椭 圆交于M N两点，如果I MFI = I MO，则椭圆的离心率是 F2分别是椭圆准线上纵坐标为3c圆的离心率是丄222 21 a b 0的左、右焦点，P是其右a b（c为半焦距）的点，且RF2 = F2

9、P，则椭三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。_f1.已知内部,2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1 MF0的点M总在椭圆则椭圆离心率的取值范围是（0,）2F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且 F1PF2=90 ,椭圆离心率e的取值范围为|1：2，J3.已知R、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且 F1PF2 =60 ,_1 ）椭圆离心率e的取值范围为,112丿2 24.设椭圆笃*每=1 （ab0）的两焦点为R、F2,若椭圆上存在一点 Qa b使/F iQF=120o,椭圆离心率 e的取值范围为5在 ABC中，ABBC，边箱若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率_

10、 xy_6设Fi, F2分别是椭圆 2-1 ( a b 0)的左、右焦点，若在其a b右准线上存在P,使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值3范围是 丄，3丿7.如图，正六边形ABCDEF勺顶点A D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是“ 3 -1关于双曲线离心率、利用双曲线性质2 2例1设点P在双曲线 务= 1(a0, b 0)的左支上，双曲线两焦a b点为F、F2，已知PF, |是点P到左准线I的距离d和| PF2 |的比例中项, 求双曲线离心率的取值范围。解析：由题设|PF|2=d|PF2得：if电(=电(。由双曲线第二定义d| P

11、R | PF, | PF2 |a - ex1 e得： 2 e，由焦半径公式得：e，则dI PF, |a exx = _ (12 e)a _ _a，即 e2 -2e -1 _ 0 ,解得 1 ： e 乞 1. 2。e -e归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再2 2利用性质：若点P在双曲线 务-与=1的左支上则x _ -a ；若点p在双a b2 2曲线 务一% 二1的右支上则x _ a。a b二、利用平面几何性质2 2例2 设点P在双曲线 笃一与=1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两焦a b点Fi、F，| PFi 4 | PF2 I，求双曲线离心率的取值范围。解析

12、：由双曲线第一定义得：IPF, | - | PF2 |=2a，与已知|PF,|=4|PF2|联立解得：82|PFi |a, | PF2|a，由三角形性质|PFi|PF?| F1F2| 得：33825a a - 2c 解得：1 ： e 艮333归纳：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。三、利用数形结合例3 (同例2)解析：由例2可知：82I PF1 |a, | PF2 | a，点P在双曲线右支上由图1可知：3382| PF |Kc +a， | PF2 |Xca，即一a 狂 c + a, a zc a，两式相加得

13、:3355a _c，解得：1 ： e 乞一。3例4已知点P在双曲线2X2a2b-1(a00)的右支上，双曲线两焦四、利用均值不等式点为f、f2，巴丄 最小值是8a，求双曲线离心率的取值范围。IPF2I解析：应PF? 2a)2卩2| 土 4a_8a，由均值 |PF2|IPF2 IIPF2I定理知：当且仅当I PF2 I = 2a时取得最小值 8a，又I PF2 I_ c - a所以2a _ ca，贝U1 ： e 3。五、利用已知参数的范围例5(2000年全国高考题)已知梯形 ABCD中，IABI=2CDI ,点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当_3 一 4-

14、求双曲线离心率的取值范围。解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为2 2X2 -y? =1(a0,b0)，设 A(-c,O)、B(c,O)、C(二h)、E(Xo,y。)a b2其中h是梯形的高，由定比分点公式得x0(空,yo二丄，把c、2(， 1) - 1E两点坐标分别代入双曲线方程得2 2c h2 24a b仏-2)2c2 一，4(1)2a22 2丸h(1)2b2两式整理得( -2)2e2_24(1)(2叵一1)=1，从而建立函数关系式1)2 4e2 -1 e2 2,解得.7 e , 10 。,由已知六、利用直线与双曲线的位置关系2例6已知双曲线 -y2 =1(a . 0)与直线| :

15、 x y =1交于P、Qa两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。解析：把双曲线方程和直线方程联立消去x得(1 -a2)y2 -2y，1 - a2 =0,1-a2 =0时，直线与双曲线有两个不同的交点则:0，江=4 4(1 a2)2 =4a2(2 a2)0，即 a2 ： 2且 a=1，2 c213V6r所以 e =2=1，2 ，即 e 且 e=2。a2a222七、利用点与双曲线的位置关系2例7已知双曲线 务-y2 =1(a0)上存在p、q两点关于直线ax - 2y =1对称，求双曲线离心率的取值范围。M(a21a2 2，a2 2)2 当点M在双曲线内部时 a(a2 +2)21(a2 2)2整理得：a4 - 3a2 5 ： 0 无解;当点M在双曲线外部时，点 M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知1 2(a2 2)2(a20，即 a ： 1，则e2 =1 丄 2，所以 e 2。a八、利用非负数性质2 2例8已知过双曲线 筈_与=1(a . 0,b . 0)左焦点F1的直线I交a b双曲线于P、Q两点，且OP _ OQ ( O为原点)，求双曲线离心率的取值范围。解析：设P(x1, y1), Q(x2, y 2)，弦PQ中点为 M，由点差法求得解析：设P(X1 ,yj、Q(X22)，过左焦点F1的直线I方程：222224x -ty -c,代入双曲线