初三数学正多边形和圆

1、初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算知识一. 本周教学内容： 正多边形和圆、弧长公式及有关计算学习目标 1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 2. 正多边形和圆的关系定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。 3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质： （1）半径（或边心距）的比等于相似比。 （2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。 4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是

2、等分圆周。 （1）画正n边形的步骤： 将一个圆n等分，顺次连接各分点。 （2）用量角器等分圆 先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。 5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。 6. 圆周长公式：，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值叫做圆周率。 7. n°的圆心角所对的弧的弧长： n表示1°的圆心角的度数，不带单位。 8. 正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。二. 重点、难点： 1. 学

3、习重点： 正多边形和圆关系，弧长公式及应用。 正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。 只有正五边形、正四边形对角线相等。 2. 学习难点： 解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。 例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ） A. B. C. D. 解：如图所示，BF2，过点A作AGBF于G，则FG1 又FAG60° 故选B 点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。 例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ） A. 123B. C. D. 解：如图所示，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高 设，则AO2r，AD3r O

4、DAOADr2r3r123 故选A 点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的。通过这个定理可以使问题得到解决。 例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 解析：设它们的周长为，则正三角形的边长是，正四边形的边长为，正六边形的边长为 故选B 点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。 例4. 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证： （1）； （2） 点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。 证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则 BEA36° （2

5、） 又公共角ABMEBA ABMEBA 例5. 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。 解：正六边形的半径等于边长 正六边形的边长 正六边形的周长 正六边形的面积 点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。 例6. 已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。 解：正方形的边长为2cm 正方形的外接圆半径为cm 外接圆的外切正三角形一边上的高为cm 正三角形的边长为 正三角形的面积为 点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。 例7. 如图所示，已知和外切于点P，和的半径分别为r和3r，AB为两圆的外公切线，A

6、、B为切点，求AB与两弧所围的阴影部分的面积。 解：连结，过点作 在中， 梯形的面积为： 又 扇形的面积为： 扇形的面积为： 阴影部分的面积为： 点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。 例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加_。 解：由弧长公式，得： 当弧所对的圆心角的度数增加1°，则弧长为 弧长增加，故填 点拨：本题主要考查弧长公式。 例9. 如图，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b，则a与b之间的关

7、系是（ ） A. B. C. D. 解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r 由题意，得： 小圆的半径 每个小半圆的弧长为 n个小半圆的总弧长 即，故选A。 点拨：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。 例10. 如图所示，两个同心圆被两条半径截得的的长为，的长为，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 解：设O，由弧长公式得： 又 阴影部分的面积为： 故选C 点拨：本题主要考查弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。 例11. 如图所示，O的半径OA为R，弦AB将圆周分成弧长之比为37的两段弧，求弦AB的长，如果将37改

8、为mn，此时弦AB的长度是多少？ 点悟：欲求弦长AB，需用弦长公式，需知圆心角的度数，AOB可通过两弧长之比37求得，再利用求得AD，AB就可求。 解：作ODAB于D，连结OB 这两段弧之比为37 这两段弧所对的圆心角之比也为37 设这两个圆心角的度数为3x，7x，则 即 DOA54°，又 ADRsin54° AB2AD 同理可得37改为mn时，解得： 点拨：有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助线，从而将问题转化为解直角三角形的问题。 例12. 已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积。 点悟：欲求内切圆的面积，根据圆面积公式，需求内切圆的半径OH，可依据正六

9、边形的性质及边长a求得，代入面积公式，即可。 解：如图所示，设正六边形的边长，内切圆的圆心为O，连结OA、OB，作OHAB于H，则AOH30° 例13. 已知正多边形的周长为12cm，面积为，则内切圆的半径为_。 解：设正多边形是正n边形，圆半径为r 正多边形的周长是12cm 正多边形的边长是 又正多边形的面积是 故应填2cm。 点拨：要注意内切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念。（答题时间：30分钟）一. 判断题。 1. 各边相等的圆外切多边形是正多边形。（ ） 2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形。（ ） 3. 各角相等的圆内接多边形是正多边形。（ ） 4. 各角相等的圆外

10、切多边形是正多边形。（ ） 5. 一个四边形不一定有外接圆或内切圆。（ ） 6. 矩形一定有外接圆，菱形一定有内切圆。（ ） 7. 三角形一定有外接圆和内切圆，且两圆是同心圆。（ ） 8. 依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。（ ）二. 填空题。 9. 若正多边形内角和是540°，那么这个多边形是_边形。 10. 两个圆的半径比为21，大圆的内接正六边形与小圆的外切正六边形的面积比为_。 11. 有一修路大队修一段圆弧形弯道，它的半径R是36m，圆弧所对的圆心角为60°，则这段弯道长约_m（精确到0.1m，）。三. 解答题。 12. 已知半径为R的圆有一个外切正方形和内接正方形，求这两个正方形的边长比和面积比。 13. 如图，AFG中，AFAG，FAG108°，点C、D在FG上，且CFCA，DGDA，过点A、C、D的O分别交AF、AG于点B、F。 求证：五边形ABCDE是正五边形。 14. 如图：三个半径的圆两两外切，求由三条切点弧围成的阴影图形的周长。参考答案一. 判断题。 1. ×2. ×3. 4. 5. 6. 7. ×8. 二. 填空题。 9. 正五