直线与椭圆的位置关系练习题三

1、1 椭圆C:2 2= 1(a b 0)（1）求椭圆C的标准方程;直线与椭圆的位置关系练习题三的长轴长是短轴长的两倍，且过点A(2,1) 若直线I : x 1 y =0与椭圆C交于不同的两点 M , N，求|MN|的值.【答案】（1）2 2x y1 ；( 2)8 212. 25【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用2 2(1)由条件 a =2b，所以 C： x2 y2 =14b b，代入点（2,1）可得b = 2（2）联立椭圆和直线方程可得直线 5x2 - 8x - 4 = 0，所以84x x2,x1x2二，结合相交弦的公式得到结论。552 2 2 2xyxy解：

2、（0由条件a - 2b，所以C : 22=1，代入点（2,1）可得b = , 2，椭圆C的标准方程为1 ；4bb82（2）联立椭圆和直线方程可得直线 5x2 - 8x - 4 = 0，所以84x-ix2, x-|x2 =55由相交弦长公式可得|MN 1 = 运丁（为+x2）2 4x,x212 252 （本小题12分）离心率为5的椭圆C :52 2+ - =1(>>0)的左、右焦点分别为a2b2R (-1,0)、F2(1,0)，O是坐标原占八、（1）求椭圆C的方程；（2）若直线x = ky +1与C交于相异两点M、N，且OMON = 一31，求k .（其中O是坐标原点）92 2【答案

3、】（1）十=1 ； （n） k = ±1。54【解析】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的综合应用，其中根据已知条件求岀椭圆的标准方程是解答本题 的关键.（1）利用椭圆的几何性质可知道参数a,b,c的值，进而求解得到。(2)由x =ky +12 2牛 +5y =20二(5k4)y28ky-16 =0=0结合韦达定理得到向量的关系式以及参数k的值。解：（1）依题意得a2 =b2 +c2cv'5a 5c =1解得；a2 =5b2 =4J2 2X y故椭圆C的方程为1546(U)由x = ky+1224x2 +5y =20(5k24)y2 8ky-16 = 0=0

4、yi设 M (人，y!),N(X2, y2)则-8k24k 5-16yi y224k 5=Xi X2 =(ky1)(ky2 1) =/力丫2k(%y?) 1-20k2524k25=OM ON = x1x2 y1 y22-20k -1124k 531102- k2 =1，从而 k =112分2 23.（本小题12分）椭圆 =1的左、右焦点分别为 F1、F2，直线I经过点F1与椭圆交于 代B两点。43（1）求 ABF2的周长；（2） 若l的倾斜角为"，求 ABF2的面积。4【答案】（1）a =2，. ABF2的周长为8。（2）S亦2 =*|苛2 口呼=竽”【解析】本题考查三角形周长的求法

5、和三角形面积的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质， 注意椭圆定义、韦达定理在解题中的合理运用.（1） 由椭圆的定义，得 AF+AF2=2a，BF+BF=2a，又 AF1+BF1=AB,所以， ABF 的周长=AB+AF+BF2=4a.再由 a2=4，能导出 ABF 的周 长.y = x 1,（2） 由F1 （-1，0），AB的倾斜角为一，知直线AB的方程为y=x+1 由 x2 y24丄=1,I. 43消去x,得7y2-6y-9=0，设A （X1，yj，B （X2, y2），借助韦达定理能够求ABF的面积.解：（1 ）由椭圆的定义，得 IA&I |AF2

6、F2a，|BF1 | ' | BF2 2a，2 分又 | AF1 | | BF1 = AB，所以 lABF2 的周长为 AB AF2 BF2 =4a。4 分又因为a2 =4，所以a =2，故.ABF2的周长为8-5 分(2)由条件，得Fj-1 , 0)，因为AB的倾斜角为一，所以AB斜率为1,4故直线AB的方程为y = x 1。6分消去 X，得 7y2 -6y-9=0，y = x 1,由 x2y2 dI +±_ =143，.10 分设A(x”),B(X2,y2)，解得丿学，仆“学所以S辱=2时2山1 丫:冷仑卑匚畀212分2 2y xI4 直线 I 与椭圆 22 =1(a b

7、 0)交于 A(X1,yJ，B(X2, y?)两点，已知 m =(ax1,byj，n= (ax2,by2)，若 m_na b且椭圆的离心率 e=3，又椭圆经过点(一1) ， O为坐标原点.2 2 '(I)求椭圆的方程；(H)若直线I过椭圆的焦点 F(0,c) (c为半焦距)，求直线I的斜率k的值；(山)试问：.AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由2【答案】(I) y X2 =1 (n) k -?: 2 (山)三角形的面积为定值。证明见解析4【解析】(I)由e和椭圆过点可得到关于a,b的两个方程，从而解出a,b值求出椭圆的方程(II)设I的方程为y =kx 3

8、，由已知m n - 0 得:a,/ b2y1y2 =4为乂2 (心 3)(kx2、3)=(4 k2)x-ix23k(x-i x2) 3=0然后直线方程与椭圆方程联立消 y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理建立关于k的方程求岀k值.I2222(III)要讨论ab斜率存在与不存在两种情况.研究当ab斜率存在时，由已知m m = 0，得4x1 一屮= X ，又A%,%)在椭圆上，所以/+于十曲晋,汁血11，从而证明出S 一 咅% - y2 为2 %尸1为定值.22解：（I）：e c Ja2 _b2長a a 21 3 /孑4b2a = 2,b = 12椭圆的方程为y X2 =143分（u）依题意

9、，设I的方程为y =kx 3y = kx 亠 x 3y2二(k2 +4)x2 +2T3kx_1 =0L+x2 =1.4显然=-0-2 康-1x1 x2 4和2* 4由已知m n = 0 得:ax1x2 b2y1y4xlx2 (心、.3)(kx2、3) = (4 k2)x1x23k(x1 x2) 3訴2./以I 3：亠。解得k =26.分（山）当直线 AB斜率不存在时，即x- = x2, y1 - -y2 ,2 2 2 2由已知 m n =0，得 4为 一 y1 0= y1 4x1又A（Xi, yj在椭圆上,4 22所以 xj+一 =1 n | 为 |= y1 |=4211S|x1 | y1 -

10、y21| 121 y11 ,三角形的面积为定值.22当直线 AB斜率存在时：设 AB的方程为y =kx ty 二 kx ty22= (k2 +4)x2 +2ktx+t2 _4 =0Z+x2=1l.4必须 0 即 4k2t2 -4(k24)(t2 -4)05-4得到X1x2 二-2ktk24X-|X2k243m _ n,二 4XX2 %y2 = 0 二 4x1x2 (kx t)(kx2 t) = 0代入整理得：2t2_k2=410分S 二1"1 |AB|=1 |t| .(Xi - X2)211 分2 .1 k22'所以三角形的面积为定值.12分|t | J4k2 -4t2 16

11、 苛彳 2 -1k2 42|t |5 .已知椭圆方程为2X2a= 1(a b 0)，它的一个顶点为 M (0,1)，离心率e(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点 O到直线I的距离为，求 AOE面积的最大值.【答案】(1)【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆位置关系的综合运用。(1)设c = a2 -b2，b =1依题意得ce =一a. a2 -b22分解得，解得。(2)联立方程组，结合韦达定理和三角形的面积公式得到结论。解：(1)设 c = a2 - b2，依题意得b =1=6_ 3c Ja2 -b2 e =a解得椭圆的方程为(2)当AB_ X轴时

12、,| AB戶咕3当AB与X轴不垂直时,设直线 AB的方程为 y = kx m, A(x1, y1), B(x2, y2),|m|由已知r-厂-2 '得1),扌巴y = kx m代入椭圆方程,整理得2 2 2(3k1)x 6kmx 3m -3=0,-6 km3(m21)x1x2 _ 3k2 . 1 ,x1x2 _ 3k2 . 12 2“AB|2"k2)(x2x1)；"心赵12(m2 -1)3k2 112(1 k2)(3k2 1-m2)3(k2 1)(9k2 1)(3k2 1)2(3k2 1)2212k2=3229k2 6k2122 19k2 ： -26k2(k 式0)

13、兰 3+12一 =4.当且仅当9k212k2，即k_3时等号成立，此时3| AB |=2.10分当 k =0时,|AB|= 3.11分综上所述:I AB Imax 二 2，此时 AOB面积取最大值S=1 | AB |max2 212分有其它解答，请老师们参考评分标准酌情给分!二，焦距为2，求线段AB的长。32 2x y6.已知直线y二-x 1与椭圆二 2 = 1(a b 0)相交于A, B两点。若椭圆的离心率为a b【答案】AB =凶35【解析】本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用。联立方程组，结合韦达定理以及椭圆的几何性质先求解岀a,b的值然后利用弦长公式解得AB的长度。2 27.(

14、本小题满分10分)求以椭圆x 之的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程.852 2【答案】a =爲3, c f J5, b =-2则双曲线的方程为 x - y =13 22 2【解析】本试题主要是考查椭圆方程以及几何性质与双曲线方程的求解的综合运用。根据椭圆的方程为x y=1可知85_ 2 2a=J8,b=J,则c = J3。再结合两者的关系可知双曲线中a = J3, c = J5, b = J2,则双曲线的方程为 互一丄=132解：由椭圆的方程为2 2+ =1可知a 二 8,b 二 5,则c 二 3 ,22x程为y ,3222又因为双曲线以椭圆 1 +1 =1的焦点为顶点，以椭圆的顶

15、点为焦点85所以可知双曲线中a = . 3, c = . 5, b = 2,则双曲线的方8 . (13分)在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0 , . 3) , (0 , - . 3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为Cok为何值时(1) 求出C的轨迹方程；(2) 设直线y =kx 1与C交于A、B两点,2【答案】(1) yx2 =141(2) k = _2【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。(1) 因为点P到两点(0, .3) ,(0.3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为Co符合椭圆的定义，因此可知 a,c的值得到椭圆的方程。(2) 设直线与椭圆

16、方程联立方程组，然后结合韦达定理得到根与系数的关系，进而得到k的值。y22解：(1) * X2 =1(5分)4设 AX ,yj, Bg, y2)f2由 x2y =1由4y 二 kx 1得(k2 4)x2 2kx3=0，0恒成立k24kx1 x22.4 xW34OA_OB OA OB =0 x1x2 %y2 =0 x<|X2 (kx1 1)(kx2 1) =02 2 22(k1)x1x2 k(x-ix2) 1 =-3( k1)-2k k 4 小 ,10 k = _二当 k = 一1 时OA _OB213 分)9 .(本题12分)已知命题p :2方程x16 m2二 =1表示焦点在x轴上的椭圆

17、；命题q :点(m,4)在圆m422(x -10)(y -1) =13内.若p q为真命题,p q为假命题，试求实数 m的取值范围.2【答案】4 ： m乞8或10乞m ： 12.【解析】先求出p、q为真的条件，然后根据p q为真命题，p q为假命题可知p、q 一真一假，再分两种情况求 m的 取值范围，再求并集即可.命题 p : 4 : m <10 ； 命题 q : 8 ： m ： 12由题意，命题 p和命题q 真一假，若p真q假，则4 ： m乞8 ；若p假q真，则10空m ： 12 ；故实数m的取值范围是4 ： m岂8或10乞m : 12.10.(本题12分)已知椭圆的焦点是 Fj(-1

18、,0)和F2(1,0)，又过点(1, 3).2(1)求椭圆的离心率； (2)又设点P在这个椭圆上，且| PR | | PF2 | = 1，求/ F1PF2的余弦的大小22(2)cos._ F1PF2【答案】(1)方程为X . y =1，4 33【解析】(1)由已知条件可知c,然后根据P (1 ),|PF 1|+|PF 2|=2a,求出a值，则离心率确定，2根据|PF1|+|PF 2|=4,| PR | - | PF2 |=1,|F 1F2|=2，根据余弦定理可求出 FFF2的余弦值.2 211.(本题满分12分)给出命题p:方程x y=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：曲线y =X2 (2a

19、_3)x T与x轴a 2 a交于不同的两点.(1)在命题p中，求a的取值范围；(2)如果命题“ p q "为真，“ p q "为假，求实数a的取值范围.15【答案】(1)0cav1；(2).【解析】本试题主要考查了命题的真值，以及椭圆的方程，抛物线于x轴的交点问题的运用。第一问中利用命题p为真，得到a的范围。第二问中，因为命题“ p q "为真，“ p q "为假:二 p, q中一真一假，那么分情况讨论得到。解: (1)命题 p 为真=2 - a a 0 = 0 a ： 1 4分2 1 5(2)> 命题 q 为真 u = (2a - 3)-4 0

20、二 a < 或 a -2 2命题“ p q "为真，“ p八q "为假二 p, q中一真一假6分土 0 : a : 1当p真q假时，1 . 5，得-a 三 _2 21a <1'a兰0或a X1当p假q真时，1十5，得|a w 或 a a I221 .5所以a的取值范围是（co ,0U_,1）U（，址）12分2 22 2P到直线3x 4y =24的最大距离和最小距离。X y12 点P在椭圆1上，求点169(3)【答案】dmax5dmin12(22)。5【解析】利用点到直线的距离公式可知，设P(4co,3sin .)，则 d = 12co12曲一2412Qc

21、os(B + 扌)245ji，当 cose：）1 时, 12 结论可知。当 COS(；一)=1 时，dmin (2 - I 2)。5解：设 P(4cos v,3sin 门，则 d J2c°s _12sin 八2412 石 cos(B +中)245，当 塚 4）一1 时,d max晋（2也;当 cos( ) =1 时,4dmin2（22）。52 x2 a13 已知椭圆求椭圆的方程;= 1(a b 0)的离心率为 3 ，长轴长为，直线I : y 二 kx m交椭圆于不同的两点 A、B.(1)(2)求 m =1,且OA OB =0,求k的值（O点为坐标原点）；(3)若坐标原点o到直线I的距离为2 ，求AOB面积的最大值.2X 2彳 y =1.(2)k3【答案】(1)3.当|AB|最大时，厶AOB的面积最大值0349分15【解析】(1)依题意得a - 3,a3 ，所以 c = 2,b 二1.椭圆方程为2 X 'y3=1(2)直线方程与椭圆方程联立，保证，求岀6k2,X1X2,1 3k2利用，可得(3 )由原点O到直线I的距离为 2 得m2 =?(1 +k2)4.直线方程与椭圆方程联立，保证0,，求出| AB J(1 k2)(X2-xJ226km3m -3X1