常微分复习资料

1、第二章复习参考题求下列方程的通解1. xy1 ydxxdy 02. dyyy!dxxx33. e ydy1xexdx4. dy y exydx x5. xy 1 y2解答：1.解：ydx xdy xy2dx 0ydxyxdy2xdx得到dx1 2x cy2阳x1 2即一x2cy2另外y 0也是方程的解。2.解：令yu ,则dyu xduu1 2 uxdxdxx即；du121 ,dudxx -dxu x得到飞u2 x故-11口1c 1c,即_2uxyx x另外y 0也是方程的解3.解:原方程可改写为:dydxx xeu,则dydxdudxdydudxdxduxdx即.u eu1e2故方程的解为令

2、exyu，4.解:1xey则令 xx2exdydx1x du u dxdu那么ux dx 即理 xdx u1两边积分得 x2即为方程的解。In1 2x22In u2xIn uxIn u2xxy5.解令：/1两边对求导得P则由方程得解得厂一上Iy 一"这里r是任意常数。因此，方程的通解表成参数形式:求解齐次方程-第二章 复习思考题及答案y+y解：令y xu，得变量分离方程通解为尸=左丘，|'*'|,欢；还有特解 a（工味0）,它不包括在通解内，而是对应于u = o的解.顺带指出，由于积分曲线 F 7心 工Q）上每一点都与通解中的一条积分曲线相切，我们可以将所得的解连续可

3、微地"拼接”成定义域在 < 0上另两类解族：（1）= jt In 2（ x/t? “），当怎兰时；JV -0，当c < X < 0时.y，当<0时；F = x站忌），当0 > x> C时.类 似地可以连续可微地“拼接”成定义域在> 0上的两类解族（留作练习）由此可见，在特解jv -0,（工x 0）的积分曲线上每一点有方程的不止一条积分曲线与之相切具有这种性质的特解称为奇解（singular solution） .2. 试用极坐标变换 工厂cog出p rm 8，求解线性分式方程：（写成定积分形式的解即可）+ by答案：-I："L 一上

4、，其中a cos3 &十（b 十 e） stn £ cos &十 sin ' 0c cos止 * 4 一口） sin & co5 & - isin &3试导岀伯努利方程的通解公式.答案：尸.jo-帅池.” 4（i用4.试讨论用取+ J"（兀刃加求解全微分方程的方法.并用方程 （斑亏+ 8,临+ （?斗脇亏+12异）切=Q加以验证.解答：设"（兀对=亡（力十*舛妙，其中C（H）为一个待定的x的可微函数（它也可认为是对等式 卩=M的两边，把x看成参数，对y进行积分而得）.为求C（Z）,对 上式关于x求导，并利用J得ug）

5、 Y3"（J叭2）如b,从而上式右端实际上与 y无关，将其关于x积分一次即得 .对方程：.-? I - -： ",/-.设通解为D （兀刈=JMaj）如+ CO） =/» + 4异,+4护 4-CW，5 =+ 8xy3 +M（為刃=“ 2y，t?（工）q,取 |cg） o|,得U （為尸）=?y +Ty3,从而得方程的积分： 石 S+4".5求线性方程和伯努利方程的积分因子解答：将线性方程+ 凶)写成() + 20) -dx-O,则有仅与t有关的积分因子J - -：'- | "叮.将伯努利方程 竺 p(0k + Q(n写成(尸約不+ &

6、#163;?«)卅)出一也丸则有积分因子弭(f)uxp(® T)jp(0ck)|6为什么可以说积分因子法是变量分离法的推广?解答：因为将变量分离方程/(兀抱0)写成f ()g(y) dx - dy 0 ,它有积分因子My)=一. 旳)7积分因子是否唯一? 解答：不是。例如，考虑方程 ydxydx xdyxd (arcta n ) y1 12y2xydx xdyxdy 0,d(-) y显然它不是全微分方程。但是，因为ydx xdydj： y)x d(l n)yydx xdyydx xdyxy1 .，二 厂2都是此方程的积分因子。x y x y(x, y)是方程 M (x, y

7、)dx 有 du Mdx Ndy。Ndy)f (u)也是方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0的积分因所以，=,x一般地，设数 u u(x, y)f (u)( Mdx其中F(u)是f (u)的一个原函数，可见子，因而方程M (x, y)dx N (x, y)dy0有无穷多个积分因子。MdxNdy) f(u)( MdxN(x, y)dy现对于u的任f (u)du dF(u)0的一个积分因子，于是存在二元函 一连续函数f (u),由于例1求解方程一 一 一 1十.。解这里方程不是恰当方程。将方程改写为血 ox3 1 1胁八则左端有积分因子"歹”只，但考虑到右端只与尸有关,1y

8、dx - xdy1 , ,x 1故取一 为方程的积分因子，由此得到，因此,通解为即yyyy y2. 若方程能就.：（或T ）解出 _或：，则令】后，把问题化为求解关于丁与工-（或T ）之间的一阶方程：dx或（241.1°）Pdy若按§ 2.1 § 2.3介绍的方法求得方程（2.4.1.3） 或（2.4.1.10） 的通解为-或'则它与I或1一起构成原方程的通解的参数形式为例2求方程匚一;的解。1 12齐解令 -，则： " 一 ： 十丨（2.4.1.4） 解出？1得两端对»求导dx2p数并以F代替丄，得到-dx22必p歹必即f-或-。由丄

9、-解得二二聋这里r是任意常数。因此，原方程的通解为dx xdx r-:- -这里r为任意常数。由M - 直接推得L '也是方程的解。3. 若方程不能就_：'，=或.：解岀，对于形如I 或-I :的方程，可按介绍2.4.2介绍的方法处理：引入参数：，将方程表示为参数形式，再注意到关系式；'.-，就将问题转化为求解关于.：（或工）与：的一阶方程，且其导数dt（或）已表示为上的已知函数，最后的工作就是求积分问题。例3求解方程如（这里八空dx）。I解令匕L -。于是 L' -2 .'一：门,积分之，得到二'+- -这里是任意常数。jFjx =r 十f因此

10、，方程的通解表成参数形式：彳3 oy =-r +1L+C2例4求解方程r】 -+ （这里V' - '）dx解令1，则由方程得宀-丁两边对T求导得一-1 创+血P2 dy dydx 城T蹈史方程A=o坐榇平楼解得J .：- t-这里二是任意常数。天 M P + 因此，方程的通解表成参数形式：4戸y=-p2 -ln|/?| +c所有上列情形都归结到形如I 或_工 I.，：-. 的方程的求解问题。在§ 2.1 § 2.3里，我们主要介绍了五种类型的方程（变量分离方程，齐次方程，线性方程，伯努利 方程及恰当方程）的初等解法。实际上作为基础的不外是变量分离方程和恰当方

11、程，其他类型的方程均可 借助变量变换或积分因子化为这两种类型的方程，这可简略地表示如下图。线性方程QX伯努利方程dx判断题型的顺序为了熟练掌握初等积分法，不仅要掌握每种可积类型方程的解法，而且还要正确而又敏捷地判断一个给定方程属于何种可积类型。即:在判断题型时，经验告诉我们，可以按如下顺序判断,线性显式方程一阶方程.非线方程性方程伯努利方程齐次方程变量可分离方程隐式方程高阶方程全微分方程（积分因子）判断顺序，由左向右，通常积分因子在最后加以考虑。熟悉各种类型方程的解法，正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而按照所介绍的方法进行求解，这自然是最基本的要求，但仅仅能做到这一点还不够，因

12、为我们所遇到的方程未必都恰好是所介绍的那几种方程类型，因此还要求注意学习解题的技巧，从中总结经验，培养自己的机智和灵活性； 还有一点也很重要，就是要善于根据方程的特点，引进适宜的变换，将方程化为能求解的新类型，从而求解。例5求方程的解。解 方程可变为。这是一个线性方程。所以dxy匚血瞄渔制北4匕三sig忑4匚匚0£貫这里匕 是任意常数。例6求方程L -'的解。dx x x解 这是二=2的伯努利方程。故可令厂则二一丄空.代入原方程得 血-这是一个线性方程。解得X1从而一y这里r是任意常数。X A此外，易见也是原方程的解。最后，我们要强调指岀：能有初等解法的微分方程是很有限的,

13、方程：补W）宀）严例如形式很简单的黎卡提（Riccati ）一般就没有初等解法（当然，若我们有办法找到方程的一个特解y刃，则经变换y=2y后,Liouvile ）在1841年所证明，这就方程就变为伯努利方程，因而可解）。这一事实为法国数学家刘维尔（迫使人们放弃将主要注意力放在寻求各种微分方程的通解的原有想法，微分方程研究的主要目标和主要方 法从此逐渐开始转移。一、填空题dv1方程xtan y的所有常数解是(dx2若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为).).x轴和y轴上的截距分别是3. 若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy=

14、0是全微分方程，同它的通积分是(4. 设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在).程,5.当(其原函数为()时，方程 M (x, y)dxN(x, y)dy0称为恰当方程，或称全微分方x二、单选题1方程 yin ydx (xIn y)dy 0 是(A)可分离变量方程(C)全微分方程2.方程吐 .y(0dx(A) 一个解(C)无数个解3方程 x(y2 1)dx+y(x2 (A) y= ± 1, x= ± 1,(C) x= ± 1(B )线性方程(D)贝努利方程)，过点(o, o)有(B)两个解(D)三个解1)dy=0的所有常数解是(B

15、) y=± 1(D) y=1, x=14若函数y(x)满足方程xyy2i n x0，且在x=1 时，y=1,贝 U在 x = e 时 y=().1(A)-e1(B)-2C)2(D)参考答案一、填空题1.,k0,1,2,2.Cdyjx)y2(x)%(x)3.M (x, y)dxxyN(x°,y)dy Cyo Xoy。y。x°y y5.U (x, y)M (s, y)dsx0y,N (x0 ,t)dt ,或y0U (x，y)(s，y。)dsyNy0(x，t) dt ；二、单选题4. B第三章第三章选做作业、填空题1. 若 (X) 在(-s, +8)上连续，则方程 y

16、(x)y 的任一非零解() 与X轴相交.2. 方程y1 y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是().3. fy(x, y) 连续是保证方程 或 f(x,ydx4. 方程一y 1满足解的存在唯一性定理条件的区域是.dx8.方程矽dx1 y2的奇解是、dy5.方程-sin xcos y满足解的存在唯一性定理条件的区域是dx、dy6.方程-2 xy2满足解的存在唯一性定理条件的区域是dx7.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件.、单选题1.方程dy 1 y2过点(0, 0)的解为y sin x，此解的存在区间是(). dx(A) (s,+s)(B)2 2(C (s, 0)( D) :

17、 0 ,+s2.方程. y满足解的存在唯一性定理条件的区域是 dx(A)全平面；(B)y > 0的上半平面；(C)y V 0的下半平面；(D)除去x轴的全平面3.方程yy x2是否存在奇解().(A)无奇解；(B)有奇解；(C)不一定；(D)可能有奇解.4.函数 f(x, y) y对y是否满足李普希兹条件().(A)不满足；(B)满足.(C)可能满足；(D)可能不满足5.如果f (x, y)，f (x, y)都在xoy平面上连续，那么方程dydxf (x, y) 的任一解的存(B)必为(0,(C)必为(,0)(D)必为(在区间().(A)将因解而定参考答案：一、填空题1.不能 2.满足1

18、y 0的平面区域3.充分4. D( x, y) R2 y0，(或不含x轴的上半平面)5. xoy 平面 6.xoy平面7.充分8.二、单选题填空题第7小题解答我们可举反例，如：方程(1)的右端在包含irr的任何区域不满足ece (2)及特解;-1-(对卜-相遇。因此，对；y轴上的点(3)y x(4) y | y |解:(1) f (x, y)2y方程y2y 在xoy平面上初值解存在且唯一. f (x, y)siny,y cosy利普希茨条件，当然在也不存在微商，但是(1)有通解应于 U = 8 )。对于0的任何有限值，曲线(2)都不与(7 ，仍只有唯一的积分线卩一 j经过此点。由此可见，利普希

19、茨条件并非唯一性的必要条件。第三章典型例题分析例1判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且唯一? y x sin y方程y x sin y在xoy平面上初值解存在且唯一.(3)f(x, y)1x3fy(x,y)0方程y0的平面上初值解存在且唯一.(4)f(x, y)MX)2 y，fy(x,y)2y方程y| y |在y0的平面上初值解存在且唯一.例2(P83,12-15 行结论证明)设 f(x, y) 在整个平面上连续有界，对y有连续偏导数，试证明：方程dydxf (x, y)的任一解y(x)在区间上有定义.(记max f (x, y)(x,y) R证明：任取平面上一点(x0, y0)，记过

20、该点的解为 y y(x)，它满足下面的积分方程xy(x) y。x0 f (s,y(s)dx下面用反证法证右行解存在区间为x0,).假如该解的存在区间不是x0,)，那么存在x0,)，使得y y(x)只能在x0,)上存在，于是有xI y(x) I I y0 Ix°l f (s, y(s) I dsI y0 | M (x x。)Iy°I M(x°) M1即 y y(x)在x。，)上有界，从而lim I y(x) Ix 0，又由已知条件f (x, y), fy (x, y)在全平面上连续，可知任一解yy(x) 都可延拓到平面的无穷远因此假设不成立.故解的存在区间是x0,)

21、.同理可证左行解存在区间为(，x0 ，这样就证明了该方程任一解的存在区间是(-8，+OO)例3假设方程dyf (x, y)在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且 y(x), y2(x)是dx定义在区间I上的两个解求证：若 yjx。) <y2(x0), x0 I，则在区间|上必有y'x)<y2(x)成立.证明:仅证x x0方向，(反之亦然).假设存在x x0，使得y1 (x) > y2 (x)( y1 (x) = y2 (x)不可能出现，否则与解惟一矛盾).令y(x)=yi(x)- y2(x) ，那么y(x°)=yi(x。)- y2(x°)<

22、o， y(x) = yi(x)-y2(x)>0*由连续函数介值定理，存在 x(x0 , X)，使得y(x*) = %(x*)-y2(x*) = 0* *即yi(x )=y2(x )这与解惟一矛盾故若y(x0) < y2(x0)，x0 I，则在区间i上必有y(x)< y2(x)成立.例4设f阳)在区域G内连颂耳对妙是单调不增的试证初值问 题#*氏讥讥如=帥的右行解是惟-的证：用反证法.若右行解不惟、则心在初值问题的山f ： 啊(叭血(瑰便得在这两个解的共同区间勘川上定不恒等的.令比)=血(氏)一亦剧:则=打対罔 一 P (®) 鬥対 A) - / Hpl 9)x<

23、;x<b即 xo<j<力所以d倒1 Os与假证申例 5； I -in- ' “'' - .-一-仗冲,)和卩如肖TO = 1 £AJ = 0时的&迖式解：丁码0詢利(xjXOjjp)当W = 1 W = 0时的衣达式分 dzQdya旅_込(呼) drX别兄微分方程分别满足初始条杵r£l) = O和疋=1的解所以負 E L 0) = 03 及如.it. 1+1= exp(If71由于就眄1,0)= Q,代入上式得£】) =第四章选做作业一.填空题1若y i(x)和y 2(x)是二阶线性齐方程的基本解组，则它们 ()

24、有共同零点.2. 二阶线性齐微分方程的两个解y 1(x), y2(x)成为其基本解组的充要条件是().3. 在方程y" + p(x)y' +q(x)y = 0中，p(x), q(x)在(-，+)上连续，则它的任一非零解在xOy平面上()与x轴横截相交.4. n阶线性齐微分方程的所有解构成一个()维线性空间.nn 1d xdx5线性齐次方程-pi (t)nrPn(t)x 0 ,x I 的 n 个解 x1(t),x2(t),.xn(t)是基本解dtdt组的充要条件为()O二、单选题1.在方程y" +p(x)y' +q (x)y=0中，若p(x),q(x)在(-，

25、+ )上连续，则它的非零解在xOy平面上()与x轴相切.(A)可以；(B)不可以；(C)也许可以；(D)也许不可以.2 .函数 1(x),2(x)在区间a,b上的伏朗斯基行列式恒为零，是它们在a, b上线性相关的()(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充分必要条件;(D)充分非必要条件.3. n阶线性非齐微分方程的所有解是否构成一个线性空间?()(A)是；(C)也许是；4 .方程 y +xy z(A) (- g，+ g);不是； 也许不是.(B)(D)+ x2y= sinx的所有解的最大存在区间一定是().(-g ,0)；(B)(C) (0,+ S);(D参考答案一.填空题1.不能 2.5.

26、有 t0 I 使 w(t0) 0二、单选题线性无关3.可以4.一、(3)解答:在方程y p(x)yq(x)y0中,已知 p(x)，q(x)在(上连续求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.证明：由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是显然，该方程有零解 y(x) 0.假设该方程的任一非零解y1 (x)在x轴上某点x0处与X轴相切，即有y1(x0)y1 (x0)=0，那么由解的惟一性及该方程有零解y(x) 0 可知 y1(x)0, x (是因为零解也满足初值条件y1(x0) y1 (x0) = 0，于是由解的惟yi(x)y(x) 0, x (

27、).这与y(x)是非零解矛盾.习题选讲dnxdn 1x盯 a1(t)d?7T个解,它们所构成的伏朗斯基行列式记为w(t).试证明w(t)满足一阶线性方程 wa1 (t)w有1.设xi (t)(i1,2, n)是n阶齐线性微分方程an(t)x0的任意0,因而w(t)w(t0)etai (s)dst0,t°,t a,b证明：因为 w(t)X1 (t)X2(t)Xn (t)X1 (t)X2 (t)Xn (t)7(t)(n 1)X2(t)(n 1)Xn(nXi(t)w(t)到第n-idtnXi(t)Xi (t)w(t)(n 2)Xi(t)(n)Xi(t)ai(t)w(t)X2(t)X2 (t

28、)(n 2)X2(n)X2Xi(t)Xi (t)(n 2)Xi(t)(n)Xi (t)Xn(t)Xn (t)(t)(t)X2(t)X2 (t)Xi(t)Xi (t)(n 2) Xi Xi(n) (t) ai (t)Xi(t)(n %)行分别乘以an(t),dn ix解此方程有:w(t)单项选择题i.A微分方程3 B 42.3.方程xyCx4.(n 2)Xn (t)(n)、Xn (t)Xn (t)Xn (t)(n 2)Xn (t)(n)Xn (t)X2Xi(t)X2(t)Xn(t)ai(t)Xi (t)(n i)Xi(t)X2(t)Xn (t),a2 (t)加到第n行,X2(t)X2 (t)(n

29、X2(n) (t)ai (t)x2%)(nX2i)(t)Xn(t)Xn (t)(n i)Xn(n 2)Xn(t)(n)(nXn(t)ai (t)Xn将此行列式的第一行并由Xi (t)(ii,2,n)是n阶齐线性微分方程an(t)x 0的任意n个解，即有：wai(t)w 0。w(t°)etai (s) dst0,t°,ta,b(过程略)i)(t)(t)xyyC 5X的通解是y2xy Ce方程2xy CeC0的通解为2y3xe By x C3x ei 3xe5用待定系数法求 应设特解具有形式A y C0e B5.Cix的通解是Ce2x0的阶数是C2 DCix C2e3xDyCe

30、2xi 3xe52xe的特解时,()(CiX C°)eXx2 xC yC0 xeC1 D y C°x e答案1.D 2.C 3.C 4.C 5.B填空题(1)答案:、典型例题分析n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为(2)方程yy 0的基本解组是个.答案：cosx ,sin x(3)方程y4y 0的基本解组是答案：sin 2x, cos2x(4)方程 y 4y 4y0的基本解组是答案：e 2x, xe 2x占八、(5)若 y i(x), y2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零答案：没有(6) n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个答案：n维线性空间.(7

31、)函数组i(x),2(X), n(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零.答案：充分(8)若函数组i(x),2(x)在区间(a,b)上线性相关，贝陀们的朗斯基行列式 W(x)在区间(a,b)上.答案：恒等于零(9)函数组yisin x的朗斯基行列式 W(x)是cosx答案：W(x)sin x cosxcosx sinx(10)在方程y p(x)y q(x)y 0中，如果 p(x) , q(x)在()上连续，那么它的任一非零解在xoy平面上 答案：不能与x轴相切.例2单项选择题(1 )若y,x), y2(x)是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则在其定义的区间上

32、，它们 ( ).(a)可以有共同零点(b)可在x0处有共同零点(C)没有共同零点(D)可在x 1处有共同零点正确答案：C(2)方程y y 0的任一非零解在xoy平面上()与 x轴横截相交.(A)可以(B)不可以(C)只能在x 0处可以(D)只能在x 处可以2正确答案：A(3) n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个.(a) n-i(b) n(C)n+i(d) n+2正确答案：B(4) n阶线性齐次方程的所有解构成一个()维线性空间.(a ) n2(b ) n 1(C) n(D) n 1正确答案:C(5)若 y1(x),y2(x)是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解

33、可用这两个解表示为().(A)1(x)2(X)(B)1(X)2(X)(c ) C1(x)2(X)(D) C( 1(X)2(x)1(X)正确答案:D(6)方程x3x0的任一非零解在(t, x, x)空间中().(a )不能与t轴相交(C)可以与t轴横解相交正确答案：A(b)可以与t轴相交(D)可以与t轴相切例3求下列方程的通解：11 X(1) y y(2) y yecosx2(3) y 3ye5x2(4) y 5y5x(5) x x si nt解(1)对应齐次方程的的通解为y C1 cosx C2 sin x令非齐次方程的特解为y1G(x)cosx C2(x)sinxCl (x),C2 (x)满

34、足cosxcosx si nx C1 (x) sinx cosx C(x)解得Ci (x)竺，C2(x)1cosx积分，得C1(x) In cosx , C2(x) xxsin x原方程通解为y Ci cosx C2Sinx cosxln cosx(2) 对应的齐次方程的特征方程为：特征根为：1 1, 21故齐次方程的通解为:C1exC2e因为1是单特征根.所以，设非齐次方程的特解为y1 (x) Axex1代入原方程，有 2 Aex Axex Axex ex,可解出21故原方程的通解为y C1ex C2e x - xex4(3) 对应的齐次方程的特征方程为2 30，特征根为10，2 3故齐次方

35、程的通解为y C1 C2e3x因为5不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为5xy1(x) Ae代入原方程，得25Ae5x 15Ae5xe5x1即A丄，103x 1 5x故原方程的通解为y C1 C2ee10(4) 对应齐次方程的特征方程为特征根为齐次方程的通解为y C1 C2e5x因为°是特征根。所以，设非齐次方程的特解为y1(x) x(Ax2 Bx C)代入原方程，比较系数确定出225原方程的通解为5x 13122y C1 C2e x x x3 525(5) 对应齐次方程的特征方程是特征根为1,2 i，齐次方程的通解为x C1 cost C2 sin t因为 ii是一重特征根故非齐

36、次方程有形如x1 (t) t(Acost Bsi nt)的特解，代入原方程，得A -, B 02、 1 故原方程的通解为x C1 cost C2 si nt t cost2例4设y,x)，y2 (x)是方程y p(x)y q(x)y 0的解，且满足 y,Xo)= y2(Xo) =o，%(x)0，这里 p(x), q(x)在(,)上连续，x0(,).试证明：存在常数 c使得y2(x) =c y1 (x) )上有定义，其朗斯基行列式为证明 设ydx)，y2 (x)是方程的两个解，则它们在(W（x）%（x） y2（x）%（x） y2（x）0由已知条件，得W（X0）yg） y2（«）ydx。

37、） y2（«）0y1（x°）0y2(x。)故这两个解是线性相关的.由线性相关定义，存在不全为零的常数i，2，使得i yi (x)2 y2 (x)0，x (,)由于(x)0，可知20.否则，若20，则有 iyi(x)0，而 y-! (x) 0，则 i 0，这与yi (x)， y2 (x)线性相关矛盾.故y2(x)yi(x)Cyi (x)2例5在方程y p(x)y q(x)y 0中，已知p(x) , q(x)在(,)上连续求证：该方程的任一非零解在 xoy平面上不能与x轴相切.证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是(,)显然，该方

38、程有零解 y(x) 0.假设该方程的任一非零解 y1 (x)在x轴上某点x0处与x轴相切，即有y1(x0)y1(x0) = 0，那么由解的惟一性及该方程有零解y(x) 0可知y,x)0, x (,)，这是因为零解也满足初值条件 yi(x°) yi(x°) = 0，于是由解的惟一性，有 (x) y(x) 0, x (,) 这与 y1 (x)是非零解矛盾.例6设f(t)是0,)上的连续函数,tHm f(t) 0 .证明：方程d2x dt28空dt7xf(t)的任一解x(t)均满足tlim x(t)证明先求齐次方程通解为x(t)Ciet C?e 7t令非齐次方程特解为x1 (t)

39、C1(t)e t C2(t)e 7tCi (t),C2 (t)满足C1 (t)e tC1 (t)e t解出 C1 (t)C2 (t)原方程的通解为C2 (t)e 7t 07C2 (t)e 7t1f(t)et，61f67t(t)e ，f(t)Cl (t)f()e dx(t) C1e t0 f( )e dJim x(t) 00 f(limt)e dx(t) 0C2e 7tC2(t)tf()e7 dt0f( )e d6et0 +1 lim6tf (t)ette0 f(的解。)e7t70f( )e d16 e7t，则由洛比达法则,-1 lim6tf(t)e7te7t，则显然有解 令I. .:，代入方程

40、，则得到特征方程， .1 -r匚-丄-'。因此，我们得到原方程的通解为t - '亠解 令，代入方程，则得到特征方程儿 -一它有两个不同的特征根 其中二.：-,为任意常数。它有两个不同的特征根。因此，我们得到两个复值解再利用叠加原理求得两个实值解-和、二- |:-，从而得到原方程的通解为-:其中为任意常数。例3 求方程的通解。d? dt2 I解先求对应的齐线性方程- I的通解。这里特征方程f ._ _ 有两个Mdt根1. - 7 Z1 - 。因此通解为，-丄J - .，其中二.匚二为任意常数。再求原方程的一个特解。这里， j ，因为：刚好是特征方程的单根，故有特解形如；.，将它代

41、入原方程得到 2 1 1；.,r - J,' ，从而，于是._ ，所以原方程的通解为I - - "' + 一亠其中二.？为任意常数。例4求方程-一的通解。解特征方程.> '-' -:有两个根- '. _ -丨。，因此对应的齐线性方程的通解为,止，其中门工二为任意常数。现求非齐线性方程的一个特解。因为二口不是特征根，我们求形如：£；.,的特解，将它代入原方程并化简得到*?r'：' I -： I '' :- ' i ，比较同类项系数得-_，"-_ ，从而QrQjT，因此原方程的通解为

42、'，其中55r55彳为任意常数。例5求方程“.；-.）的满足初始条件L及.；： 的解。解设级数：- -f -（4.321） 为方程的解。首先，利用初始条件，可以得到'-'，/1因而.-I - H ' I x =1 + 2a/ + 3af十十如詁+X 2码 + 3” 2口# + - + 并（屋 _ 1）口廿？ + .将的表达式代入原方程，合并:的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到：2a2 = 0(5)堆'（甘-1）耳十（丹-2）吐+監j = 0因而赴5x3x17x5x3xl9>7x5x3xl也即lx3x5x-.x-l) j -对一切正整数.成立将

43、心.1 ， 的值代回（4.321）就得到53x1Ix3x5x-.x(2?t-l)综合练习这就是方程的满足所给初始条件的解。试解下列各方程： y - 2y -4y +S> = 0= o(4) y t4y sin 2x®(5*2)y-6C5+2x)y*gj; = 0(6)(1+ xfy + (1 + x)y +y - 4 coslnfl + a)参考答案: -, - ”其中匚m 为任意常数。-L . I . . - . ： 1其中:n、.亠为任意常数。其中二，为任意常数。i4)-.IT 二：其中二.j 为任意常数。；I :. ' I i'L- J . . I .其中

44、：为任意常数。一 -一r ' 1 1 r _1 11 1 'iii1'其中:为任意常数。、填空题第五章选做作业dY1. 若A(x)在(Q，+ «上连续，那么线性齐次方程组 A(x)Y , Y Rn的任一非零解在Rn 1空dx间()与x轴相交.dY2. 方程组 一 F(x,Y),x R,YRn的任何一个解的图象是 ()维空间中的一条积分曲dx'''线.3. 向量函数组Y1(x), Y2(x),(x)线性相关的()条件是它们的朗斯期行列式W>)=0.4. 若矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1, V2 , Vn，它们对应的特征值分别为

45、线性方程组dt1,2, n那么矩阵(t)=AX的一个基解矩阵.二、单选题dY1. 线性非齐次方程组A(x)Y F (x), xdx(A)构成一个n维线性空间(B) 构成一个n +1维线性空间(C) 不是线性空间(D) 构成一个无穷维线性空间2. 若 A(x), F(x)工0dYA(x)Y F (x),x dx(A)可以与x轴相交(C)也许可以R, Y Rn的所有解(那么线性).次方程组R, YRn的任一非零解是否可以与x轴相交?().(B)不可以与x轴相交(D)也许不可以3. 两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的基本解组?(A)不可以(B)可以(C)也许不可以(D)也许可以dY4. 若

46、(x)是线性齐次方程组dx.(A(x)Y的一个基解矩阵,为非奇异nXn常数矩阵，那么(x) T是否还是此方程的基解矩阵(A)是(C)也许是)(B)不是(D)也许不是参考答案一.填空题2.n+11.不能二.单选题1 . C 2 . A 3. A3必要4. e1t 1,e2t2 ,e.t4.典型例题分析例1求下列方程组的通解dxdtdydt4x(4)dxdtdydt3x2y3y2y4ydxdt屯dt2x3xdx4ydtdydt4x ydxdtdydt3x8x(i)(2)(3)(5)解（1）特征方程为特征根为11 ,255对应的特征向量分别为故原方程组的通解为y（2）方程组的特征方程为C25te2e5t特征根为15对应的解为X1a1y1th5te5对应的特征向量的分量