实数1认识无理数

1、1第二章实数§ 2.1认识无理数（一）教学目标（一）知识目标：1. 通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性2. 能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由（二）能力训练目标：1. 让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2. 通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数， 训练他们的思维判断能力.（三）情感与价值观目标：1. 激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情2. 引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3. 了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆

2、质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.教学重点1. 让学生经历无理数发现的过程 .感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2. 会判断一个数是否为有理数 .教学难点1. 把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程2. 判断一个数是否为有理数.教学方法教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.教学过程一、创设问题情境，引入新课师同学们，我们学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢 ？生在小学我们学过自然数、小数、分数.生在初一我们还学过负数.师对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，弓I入了负数，即把从小学 学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能

3、满足 我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题二、讲授新课1. 问题的提出师请大家四个人为一组， 拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？生好.（学生非常高兴地投入活动中）.师经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.师现在我们一齐把大家的做法总结一下：a,则a应满足什么条件呢？所以根据正方形面积公式可知下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为 生甲a是正方形的边长，所以 a肯定是正数.生乙因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积, a2=2.生丙

4、由a2=2可判断a应是1点几.师大家说得都有道理， 前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？ a是分数吗？请大家分组讨论后回答.生甲我们组的结论是：因为12=1, 22=4, 32=9,整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.1 11 224 111生乙因为，两个相同因数的乘积都为分数，所2 24 339 3 39以a不可能是分数.师经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.2. 做一做投影片§ 2.1.1 A(1) 在下图中，以直角三角形的斜边为边

5、的正方形的面积是多少？(2) 设该正方形的边长为 b,则b应满足什么条件？ b是有理数吗？师请大家先回忆一下勾股定理的内容.生在直角三角形中，若两条直角边长为a, b,斜边为c,则有a2+b2=c2.2 2 2师在这题中，两条直角边分别为1和2,斜边为 b根据勾股定理得 b=1 +2，即b2=5,则b是有理数吗？请举手回答.生甲因为22=4 , 32=9 , 4 v 5V 9,所以b不可能是整数.生乙没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.生丙因为没有一个整数或分数的平方为5,所以5不是有理数.师大家分析得很准确，像上面讨论的数a, b都不是有理数，而是另一类数一一无理数.关于无理数的发

6、现是付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海， 他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的， 后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的 a2=2中的a不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验， 另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停

7、留在某处而不前进， 要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神三、课堂练习（一）课本P35随堂练习如图，正三角形 ABC勺边长为2,高为h, h可能是整数吗？可能是分数吗？解：由正三角形的性质可知h2=3. h不可能是整数,也不可能是分数（二）补充练习为了加固一个高 a米，则由勾股定理得2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为2 2 2 2a=l +2，即a =5, a的值大约是多少？这个值可能是分数吗？解：a的值大约是2.2，这个值不可能是分数四、课堂小结1. 通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感受有理数又不够用了2. 能判断一个数是否为有理数

8、五、课后作业：见作业本。§ 2.1认识无理数（二）教学目标（一）知识目标：1借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想2.会判断一个数是有理数还是无理数.（二）能力训练目标：1借助计算器进行估算，培养学生的估算能力， 发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有 理数，训练大家的思维判断能力.（三）情感与价值观目标：1. 让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力2. 充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力教学重

9、点1. 无理数概念的探索过程.2. 用计算器进行无理数的估算.3. 了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断教学难点1. 无理数概念的建立及估算2. 用所学定义正确判断所给数的属性教学方法老师指导学生探索法教学过程一、创设问题情境，引入新课师同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a, b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来 揭示它的真面目.二、讲授新课1. 导入：师请看图1 111面积为21大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由生因为3个正方形的面积分别为1 , 2, 4,而面积又等于边

10、长的平方，所以面积大的正方形边长就大.师大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长 a的大致范围呢？生因为a2大于1且a2小于4,所以a大致为1点几.师很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1 v av 2.那么a究竟是1点几呢？请 大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.1 2=1.21 , 1.2 2=1.44 ,1.3 2=1.69 , 1.4 2=1.96 , 1.5 2=2.25，而 a2=2，故 a 应比 1.4 大且比 1.5 小，可以写成 1.4 v a v 1.5 ,所以a是1点4几，即十分位上是 4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上 的数字.2 2

11、生因为1.41 =1.9881 , 1.42 =2.0164，所以a应比1.41大且比1.42 小,所以百分 位上数字为1.2 2 2 2生因为 1.411 =1.990921 , 1.412 =1.993744 , 1.413 =1.996569 , 1.414 =1.999396 , 1.415 2=2.002225，所以a应比1.414大而比1.415 小,即千分位上的数字为4.生因为 1.4142 =1.99996164 ,1.4143 =2.00024449，所以 a应比 1.4142 大且比 1.4143 小，即万分位上的数字为2.师大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下

12、，用表格的形式反映出来生我的探索过程如下.边长a面积S1 v av 21 v Sv 41.4 v av 1.51.96 v Sv 2.251.41 v av 1.421.9881 v Sv 2.01641.414 v av 1.4151.999396 v Sv 2.0022251.4142 v av 1.41431.99996164 v Sv 2.0002444921师还可以继续下去吗？生可以师请大家继续探索，并判断 a是有限小数吗？生a=1.41421356，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数师请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长 b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰

13、好等于5 ?请大家分组合作后回答.（约4分钟）生b=2.236067978，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数 生边长b不会算到某一位时，它的平方恰好等于5，但我不知道为什么师好这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识 学扎实，学透，大家应该向这位同学学习这个问题我来回答如果b算到某一位时，它的平 方恰好等于5,即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5,所以b不可能是有限小数2. 无理数的定义请大家把下列各数表示成小数4 5 823, 4,5,2，三，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数大5 9 45 11家可以每个

14、小组计算一个数，这样可以节省时间丄45*生3=30 , =08 ,=0,5 ,59820,17 ,1.81845114 5 8 2生3, 4是有限小数，5,2，三是无限循环小数5 9 45 11师上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数像上面研究过的a2=2, b2=5中的a, b是无限不循环小数.无限不循环小数叫无理数 （irratio nal number）.除上面的a, b夕卜，圆周率n =3.14159265也是一个无限不循环小数，0.5858858885（相邻两个5之间8的个数逐次加1）也是一个无限不循环小数，它们

15、都是无理数3. 有理数与无理数的主要区别（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数（2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能4. 例题讲解下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？4*3.14 , ,0.57 , 0.1010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1）.34*解：有理数有 3.14， 一，0.57 . 无理数有0.1010010001.3三、课堂练习（一）随堂练习 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？10.4583 , 3.7, n , 一，18.1解：有理数有 0.4583 , 3.7 , -, 18.无理数有n .7(二)补充练习投影片

16、(§ 2.1.2 A)判断题(1) 有理数与无理数的差都是有理数.(2) 无限小数都是无理数.(3) 无理数都是无限小数.(4) 两个无理数的和不一定是无理数.解：(1)错.例n 1是无理数.(2) 错.例1.5是有理数.(3) 对.因为无理数就是无限不循环小数，所以是无限小数对.因为两个符号相反的无理数之和是有理数.例n n =0.投影片(§ 2.1.2 B)下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？2 * *0.351 4 96 , 3.14159 , 5.2323332 ，123456789101112 (由相继的正整数组成 ).3，2 *解：有理数有 0.351 ,

17、,4.96 , 3.14159 ,3无理数有5.2323332 ，123456789101112 .5生有理数集合填 0, ， 3.113无理数集合填一 n , n , 0.323323332.2四、课时小结本节课我们学习了以下内容.1. 用计算器进行无理数的估算.2. 无理数的定义.3. 判断一个数是无理数或有理数.五、课后作业：见作业本。昨天我所在学校期中考试成绩，有个别同学考的不太理想，跟我发微信，自己 在期中考试前已经非常努力的做题了， 但最后的成绩却很差。部分家长也反映孩子很努力，却始终考不出成绩，问到底如何才能学好物理?回答这个问题前，我们先讨论以下，努力和好成绩之间的关系，是不是

18、努力 了就一定会有好成绩？答案是否定地！按照这个逻辑，如果有学生24小时不断地学习就得保送清华北大；中国足球只要训练的足够刻苦，就一定能踢赢巴西； 我作为老师只要足够的努力就能当上教育局局长？很显然，努力和最后的结果并 不是必然的关系，在努力和结果之间，还有存在一桥梁，那就是方法。高中生普遍认为物理难。一遇到多过程的物理问题头就疼，其实是因为他不 会学物理。高中所有课程，每一门都有自己的特点，都需要大家根据这些特点，制定相应的方法。那学物理有什么方法呢？方法是根据特点制定出来的。所以，我们首先要了解 物理这门课的特点。物理最大的特点就是，大多数的研究对象以及研究对象的变 化过程都是形象的，是可以在我们脑海呈现出来并且通过图像画出来。不管是学习新的物理概念还是平时做题，只要你试着把题目描述的物理过程在脑海中显 现出来并能够通过图像把物理过程描绘出来，那么你的物理不可能差。以上这些2是学好物理的一个必要的前提，抛开这个方法去谈物理学习都是扯淡!"现化式转方效应<« VI)反射 定律色光混合