动力学的临界和极值问题

1、精品文档动力学的临界和极值问题教学目标：教学重点、难点：新课引入：教学过程：一、临界和极值在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体 有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语 时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会 有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会 出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具 有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的 受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。1、相

2、互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力N 0，而且此时它们的速度相等，加速度相同。【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板， 将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射 出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（）A、一直加速B、先减速，后加速.fC、先加速、后减速D匀加速答案：C 【例】如图所示，劲度系数为k的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为m。的托盘，托盘上有一个质量为m的木块。用竖直向下的力将原长为I。的弹簧压缩后突然撤去外力，则 m即将脱离m0时的弹簧长度为（）A 、I。 B、I。m。C、I。

3、mgkD 、I。m°gk答案：A 【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为 45的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为 m的小球。当滑块至少以加速度a 向 左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以 a加速度向左运动时，线的拉力大小 F 。答案：g、 5mg【例】一个质量为0.2kg的小球用细线吊在倾角53的斜面顶端，如图,斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10m/s2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力答案：2.83N、0【例】如图所示，在倾角为 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块 A、 B。它们的质量分别为mA、mB，

4、弹簧的劲度系数为k , C为一固定挡板。系统 处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B 刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d，重力加速度为答案：aFmA mB gsinmAmA mB gsln。k【例】如图所示，一根劲度系数为 k质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体A。手持一质量为M的木板B，向上托A，使弹簧处于自然长度。现让木板由静止开始以加速度 a（ a g ）匀加速向下运动，求：（1）经过多长时间A、B分离。（2）手作用在板上作用力的最大值和最小值答案：t2m g a ; ka最大：F M m g a ;最小：F mg a。

5、解：分离时弹力为0,而且加速度为a ;开始运动时力最大：对系统：M mg F M m a ；AB分离时力最小：对 B : mg F ma【例】如图所示，木块 A、B的质量分别为mi、m2，紧挨着并排放在光 滑的水平面上，A与B间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成角，A与B间的接触面光滑。现施加一个水平力F作用于A，使A、B一起向右运动且A、B 一不发生相对运动，求F的最大值。答案：F mi mi mi? gta nm2【例】如图所示，一质量为 m的物块A与直立轻弹簧的上端连接，弹簧的 下端固定在地面上，一质量也为 m的物块B叠放在A的上面，A、B处于静止 状态。若A、B粘连在一起，用一竖直向上

6、的拉力缓慢上提B，当拉力的大小为0.5mg时，A物块上升的高度为L,此过程中，该拉力做功为W ;若A、B不 粘连，用一竖直向上的恒力F作用在B上，当A物块上升的高度也为L时，A与 B恰好分离。重力加速度为g，不计空气阻力，求恒力F的大小。rB-A1答案：1.5mg静止时，对AB :x2mg ； k ；粘连时，缓慢地提:对 AB: F k xL2mg ；又 F 0.5mg不粘连，分离时：N0 ；对 B : F mg ma ；对 A: k x Lmgma ；由以上各式可得：F1.5mg。解:37的光滑斜面的10m/s2）【例】如图所示，质量 m 10kg的小球挂在倾角为 固定铁杆上，当小球与斜面一

7、起向右以：（重力加速度为g（1）ai 0.5g时，绳子拉力和斜面的弹力大小；（2）a2 2g时，绳子拉力和斜面的弹力大小。答案： 100N50N : 100 5N 02、绳子的张紧和松驰也会存在着临界问题，此时绳子的张力：T 0。【例】如下图所示，两绳系一个质量为m 0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L 2m,两绳都拉直时与轴夹角分别为30和45。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧?答案：2.40rad / s 3.16rad / s【例】如图所示，两细绳与水平的车顶面的夹角为60和30，物体的质量为m。当小车以大小为2g的加速度向右匀加速运动时，绳1和绳2的

8、张力大 小分别为多少?答案：0、5mg3、由运动情况造成的临界和极值问题，此时题目中将会出现“最大”、“最小”、“刚好”、“恰好”等词语。【例】物体A的质量M 1kg，静止在光滑水平面上的平板车 B的质量为m 0.5kg、长L 1m。某时刻A以v°4m/s向右的初速度滑上木板B的上表面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力。忽略物体 A的大小,已知A与B之间的动摩擦因数0.2，取重力加速度g 10m/s2。试求:（1）若F 5N，物体A在小车上运 动时相对小车滑行的最大距离；（2）如果要使A不至于从B上滑落， 拉力F大小应满足的条件。答案：0.5m :1N F 3N。解：由牛

9、顿第二定律：对 A: Mg Ma1 ；对 B : F Mg ma2;此后，物体A将做减速运动，而B将加速，直到达到共速；有：v共 v0 a1t a2t 得：t 0.25s此时，相对位移S相SA SB 0.5m 1m之后，A将从B的左端滑下。当F较小时，A将从B的右端滑下，临界条件是：A到达B的右端时，A、B具有共同的速度。当F较大时，A将从B的左端滑下，临界条件是：达到共同速度 时，A、B相对静止。此时：f滑fm。【例】一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为 1，盘与桌面间的动摩擦因数为2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离

10、桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度 a满足的条件是什么?（以g表示重力加速度）答案：a 一J ig2解：圆盘的运动应该是先在桌布上加速，后在桌子上做匀减速运动，如果圆盘未从桌面上掉下来（设从桌布上掉下来时的速度为V，末速度为0），则有：对圆盘：S皿s减L-2加速阶段：1mgma ；S加2 V2a1减速阶段：2mgma ；S减2V2a2设桌布从盘下抽出所经历时间为t ,在这段时间内桌布移动的距离为 S1对桌布：S at2 ；2L1由运动情况：S S加； S加af。22由以上各式得：a 12 2 ig。2【例】如图所示，一质量 m 500kg的木箱放于质量M

11、 2000kg的平板 车的后部，木箱到驾驶室的距离I 1.6m，已知木箱与木板间的动摩擦因数0.484，平板车运动过程中所受的阻力是车和箱总重的0.2倍。平板车以V。22m/s的恒定速率行使，突然驾驶员刹车，使车做匀减速运动，为了不让木箱撞击驾驶室，试求：(1)从刹车开始到平板车完全停止至少要经过多长时间?(2)驾驶员刹车时的制动力不能超过多少？答案： 4.4s: 7.42 1 03N。解：设箱的位移为s，车的位移为S2 ；车的加速度为a箱子如果不与车相碰，则有：S S2 l由牛顿定律，对箱：mgma1 ；由运动学公式，对箱：Si2Vo2ai对车:S22Vo2a由以上各式有：a 5m/ s2，

12、所以t V 4.4sa设汽车的制动力为F ,由牛顿第二定律：mg F k M mg Ma得：F 7.42 103N【例】一木箱可视为质点，放在汽车水平车厢的前部，如图所示，已知木 箱与汽车车厢底板之间的动摩擦因数为。初始时，汽车和木箱都是静止的。现在使汽车以恒定的加速度a0开始启动沿直线运动。当其速度达到 V。后做匀速 直线运动。要使木箱不脱离车厢，距汽车车厢尾部的距离应满足什么条件？【例】如图所示，在光滑桌面上叠放着质量为 mA 2.0kg薄木板A和质量 为Eb 3.0kg的金属块B。 A的长度L 2.0m。B上有轻线绕过定滑轮与质量 为me 1.0kg的物块C相连。B与A之间的滑动摩擦因数

13、0.10，最大的静摩2(g 10m/s)。擦力可视为等于滑动摩擦力。忽略滑轮质量及与轴间的摩擦。起始时令各物体 都处于静止状态，绳被拉直，B位于A的左端（如图所示），然后放手，求经过 多长时间后B从A的右端脱离（设A的右端距滑轮足够远）【例】一圆环A套在一均匀圆木棒B上，A的高度相对B的长度来说可以 忽略不计。A和B的质量都等于m , A和B之间的滑动摩擦力为f （ f mg）开始时B竖直放置，下端离地面高度为 H , A在B的顶端，如图所示。让它们由静止开始自由下落，当木棒与地面相碰后，木棒以竖直向上的速度反向运动，气阻长？并且碰撞前后的速度大小相等。 设碰撞时间很短，不考虑空 力，问：在B

14、再次着地前，要使A不脱离B，B至少应该多答案：L -8H ；mg f解：开始释放后，B一起做自由落体运动,设其到达地面前瞬间的速度为由机械能守恒：2mgH2-mvi ；B与地面撞击后，环A将做加速运动（设其加速度为a1），而B将做减速运动（设其加速度为a2），当B的速度减为0后，反向又以a2加速，直到B再次落地，由对称性可知：此时B的速度依然为v1。由牛顿第二定律，对A:mgma1；mgma2 ；故它们运动的时间为:2via2此时：棒运动的位移为0,环相对于棒运动的位移，对环:十12有：S v1t a1t ；2棒的长度：L S，即8m2g22 H。mg f4、最大静摩擦力也会造成临界和极值问题，此时有:m滑。【例】如图所示，质量分别为 m和2m的两物体A、B叠放在一起，放在光滑的水平地面上，已知 A、B间的最大摩擦