五年级方程 教材解读

1、简易方程教材分析 湖北省武汉市武昌区千家街小学邹杰（初稿）湖北省武汉市武昌区教研培训中心魏汉陵（修改）湖北省武汉市教育科学研究院马青山（统稿）本单元的教学内容主要有：用字母表示数和解简易方程。其中，在解简易方程部分又包括以下四个方面内容：方程的意义、等式的性质、解方程、实际问题与方程。具体结构图如下：1用字母表示数例1用字母表示数量关系()例2用字母表示数量关系例3用字母表示运算定律和计算公式例4用字母表示数量关系（）例5用字母表示数量关系2解简易方程方程的意义 方程的意义等式的性质 等式的性质1 等式的性质2解方程例1方程的解  解方程例2例5解不同类

2、型的方程实际问题与方程例1的应用例2的应用例3的应用例4的应用例5的应用    这些内容是在学生具备一定的算术知识（如整数、小数的四则运算及其应用），已初步接触了一点代数知识（如用字母表示运算定律，用“”“”或“”表示数）的基础上进行学习的。一般地说，在小学教学简易方程有以下几方面的意义：一是有助于培养学生的抽象概括能力，发展学生思维的灵活性。因为对小学生来说，从具体事物的个数抽象出数是认识上的一个飞跃，现在由具体的、确定的数过渡到用字母表示抽象的、可变的数，更是认识上的一个飞跃。而且，在用字母表示未知数的基础上，使学生解决实际问题的数学工具从列出算式解发展到列出

3、方程求解，这又是数学思想方法认识上的一次飞跃，它将使学生运用数学知识解决实际问题能力提高到一个新的水平。二是有助于巩固和加深理解所学的算术知识。通过用字母表示所学过的数量关系、运算定律以及一些图形的周长、面积计算公式，可以使学生加深对这些知识的理解。同时，由于用字母表示比用文字表述更简明易记，所以便于学生巩固所学知识。三是有利于加强中小学数学知识的衔接。让学生初步接触一点代数知识，能使学生摆脱算术思维方法中的某些局限性（逆向思考，未知数不参加运算，思维的步骤增加），为进一步学习代数知识做好认识的准备和铺垫。一、用字母表示数本部分教学内容充分体现了学生的认知规律：从具体到一般（抽象概括）、再到具

4、体（代入应用）的正、反两个思维过程，最后进行拓展应用，为数学归纳法的学习进行了很好的前期渗透。教学例1反映的两个数量之间的加减关系，更加充分体现了“具体一般具体”的学生认知过程。同时，由于这是学生正式学习简易方程的第一个例题，本题还着重渗透了学生学习代数知识所必备的抽象概括能力、函数思想及代入求值的解题方法。教学例2反映的是两个数量之间的乘除关系，重点突出了从具体到一般的抽象概括能力，并使学生体会到了符号化的简洁性。进一步体现了数学归纳法的学习过程，同时强调了代数式的表示方法及书写习惯。教学例3是通过含有字母的代数式表示运算定律和计算公式，让学生体会到了代数式可以表示两个量之间的任意数量关系，

5、更加体会到了代数式的优越性（或是符号化的优越性），同时为学生渗透了代入法求值的解题方法。前面三个例题，从两个量之间的数量关系入手，为学生学习用字母表示数、建立符号意识打下了基础。例4、例5则从多个量之间的数量关系开始，为学生的符号化意识、代数思想进行拓展，让学生体会到了代数式的功能性作用，为学生学习用方程解决实际问题奠定了基础。二、方程的意义通过动手操作、直观体会、对比感知等手段，使学生建立方程的概念，感知方程的多样性，能判断一个式子是否为方程。在这个过程中，一定要突出含有未知数、等式这两个必须满足的客观条件，从而进一步加深学生对方程的认识。三、等式的性质长期以来，在小学教学简易方程，方程变形

6、的依据总是加减运算的关系或乘除运算之间的关系。这实际上是用算术的思路来求未知数。到了中学又要另起炉灶，引入等式的基本性质或方程的同解原理，然后重新学习依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程，而且小学的思路及其算法掌握的越牢固，对中学代数起步教学的负迁移就越明显。现在，根据义务教育数学课程标准（2011年版）的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导入解方程的方法。这就较为彻底地避免了同一内容两种思路、两种算理解释的现象，有利于加强中小学数学教学的衔接。本部分内容旨在通过两幅“天平游戏”的主题图向学生分别揭示等式的基本性质。因此，在进行这部分内容教学时，教师一定要让学生通过动手实验、

7、双向观察、细致分析，从而使学生的思维从天平联想到等式，从同时增加、减少相同质量的砝码联想到同时加上或减去同一个数，从物体质量同时成倍扩大或缩小整数倍联想到同时乘或除以同一个不为0的数。通过这样一个个联系的纽带，水到渠成地总结出等式的基本性质。四、解方程如果说前面三部分内容只是前奏，是为学生更好学习方程奠基，那么这部分内容就是学生学习方程的重点。教材首先向学生揭示的就是方程的解、解方程这两个学生容易混淆的概念，然后用了5个不同的例题呈现出对五种不同类型方程的解答，从中不难发现解答方法是一致的：即运用等式的基本性质进行解答，并且这是教材中强调的小学生解方程的唯一方法。同时，通过这5个例题也强调了用

8、代入法的方式来进行验算。教学例1强调用等式的加减性质解答形如的方程，并运用转化思想解答形如的方程，同时建立方程的解与解方程两个概念；教学例2强调用等式的乘除性质解答形如的方程，同时要让学生尝试解答形如的方程；教学例3强调解答形如的方程，但更重要的是在于让学生通过转化的思想，联系例3的解答，尝试解答形如的方程；教学例4、例5是转化思想、运用整体意识解答具有较复杂数量关系的方程。五、实际问题与方程本部分内容属于方程的应用部分，也是学生学习方程的难点所在。通过本部分的学习培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。教学例1通过简单的数量关系教学形如的应用，同时告诉学生通过观察、运用，体会到列方程解题的基

9、本方法和步骤，特别是要强调等量关系式对于列方程解题的重要性；教学例2通过对形如的应用，使学生进一步体会到列方程解题的基本方法，更加体会到列方程解题的优越性。通过例1、例2的学习，引导学生总结列方程解题的三个基本步骤，突出等量关系式对于列方程的重要性。后面三个例题都是列方程解答含有稍复杂数量关系的实际问题。教学例3解决的是运用形如这样的方程解决实际问题，在这部分可以鼓励学生通过几个不同的等量关系式列方程解题，体现出方程解题的多样性，也再一次突出等量关系式对于列方程的重要性；教学例4教学运用两个未知数列形如方程，并进行解答；教学例5强调在列方程之前可以通过线段图帮助学生对数量关系的理解，在此基础上

10、再列方程并解方程。简易方程课标解读 湖北省武汉市武昌区教研培训中心魏汉陵（初稿）湖北省武汉市教育科学研究院马青山（统稿）    一、课标要求义务教育数学课程标准（2011年版）在“学段目标”的“第二学段”中提出“能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程”。义务教育数学课程标准（2011年版）在“课程内容”的“第二学段”中提出“在具体情境中能用字母表示数”“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示”“能用方程表示简单情境中的等量关系（如，），了解方程的作用”“了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程”。 二、课标解读“简易方程”是数与代数领域“代数”中的

11、重要内容。通过本单元的教学，要使学生初步认识用字母表示数的意义和作用，能够用字母表示学过的运算定律和计算公式；能够在具体情境中用字母表示常见的数量关系；初步学会根据字母所取的值，求含有字母式子的值，培养学生的符号意识。使学生初步了解方程的意义，初步理解等式的基本性质，能用等式的性质解简易方程。使学生感受数学与现实生活的联系，初步学会到方程解决一些简单的实际问题，培养学生根据具体情况灵活选择算法的意识和能力。下面就“符号意识”“问题解决”及“应用意识”等方面，结合“简易方程”单元的教学，进行简要解析。（一）“符号意识”的解读及教学实施“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规

12、律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”。通过上面这段表述，我们可以明确这样几个关键词：理解、运用。1理解从具体到抽象，懂得符号表征用字母表示具体情境中的数量关系，也像普通语言一样，首先要引进基本字母。在数学语言中，像数字以及表示数字的字母、表示点的字母、运算符号、关系符号等，都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。学生在学习本单元之前都有一些这样的经验，本单元的学习要引导学生深入理解符号表征对象的内涵与外延，如“”可以读作：“比大”“比小”“减去等于”“与的差是 ”；反之亦然。用符号语言更能体现出数学语言

13、的简练、明确等特点，更好地满足数学思考的需要。用具体的数和运算符号所组成的式子只能表示个别具体的数量之间的关系，而用字母表示数，既简单明了，又能概括出数量关系的一般规律，在较大范围内肯定了数学规律的正确性。如：在教学“用字母表示数”时，出示：爸爸比小红大30岁。提问：小红1岁时，爸爸多少岁？小红2，3，4岁时，爸爸多少岁？学生得出：1+30，2+30，3+30，4+30。教师进一步提问：小红的年龄每年都在变化，爸爸的年龄每年也在变化，但是什么没有发生变化？上面的每一个式子只能表示某一年爸爸的年龄，能不能用一个式子简明表示出任何一年爸爸的年龄呢？引导学生用“”来表示任何一年爸爸的年龄。教师进一步

14、引导学生体会符号的概括性：表示什么？又表示什么？这样的教学，使学生经历从具体到抽象的认知过程，逐步体会字母的现实意义，感受数学符号的简洁美和概括性。同时也渗透了函数思想。2运用经历符号化过程，实现数学建模会用符号表示，也就是会把实际问题中的数量关系用符号表示出来，这个过程叫做符号化。符号化的问题已经转化为数学问题，随后就是进行符号运用和推理，最后得到结果，这就是数学建模的思想。如：从这纸上剪下2 cm，4 cm，5.6 cm，8 cm长度的部分，所得的面积分别是多少？如果随意剪下一段，面积又是多少？引导学生用字母表示为。又如：要求学生看图，说一说3本书与2.4元之间的关系。学生开始可能会说道:

15、“3本书的价钱一共是2.4元”。教师可以引导学生试着用一个式子表示它们之间的关系，学生可能会说道：“每本书的价钱×3=2.4元”。教师进一步要求学生用含有字母的式子表示出它们的关系，这时学生可能会用“”来表示其数量关系。这一过程是学生逐步数学化的过程，从具体情境中抽象出数量关系，并用符号来表示，是将问题进行一般化的过程，能很好地提升学生的认知水平，增强学生的符号意识。本单元中，关于符号意识的培养，教师可以关注以下三点：（1）关注由具体到一般的抽象概括过程；（2）有意识地渗透数学的思想方法；（3）方程的教学不要作为一节纯概念课，而要当作一节新的数学思想方法的学习课。（二）通过“问题解决

16、”教学提升学生的“应用意识”义务教育数学课程标准（2011年版）的“课程总目标”的“问题解决”方面强调：“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”。教师应重视培养学生的应用意识，将这些目标落实到数学课堂教学中。对照义务教育数学课程标准（2011年版）的要求，教师要让学生认识到在现实生活中蕴含着大量与“简易方程”有关的实际问题。1从数学的角度发现和提出问题。本单元教材提供了学生熟知的情境：跳远比赛、比身高、足球（黑白皮块数比较）、购物、骑自行车（相遇）等。在教学过程中要注意引导学生用数及其关系表达和交流信息，从数学的角度发现和提出问

17、题，使得学生感受到数学就在我们的生活中。充分体现数学的应用价值。2用数学的方法分析和解决现实生活中的问题。例1的教学，学生可以用原有的算术方法解答：4.12-0.06=4.15（m）。随后教师引导学生用方程进行解答：。这里无需对两种方法进行比较，只是要让学生知道对于现实生活中的问题可以运用所学的数学知识进行解答，方法是多样的。例5的教学，不必提出这是“相遇问题”。这里主要是要强调“数学直观”（即用线段图的方法）帮助我们分析实际问题中的数量关系，从而实现问题解决。3义务教育数学课程标准（2011年版）的课程总目标中提出：了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，

18、具有初步的创新意识和科学态度。本单元例5的教学，明确给出了解决问题的三个环节：“阅读与理解”“分析与解答”“回顾与反思”，这与低学段学习解决问题时要求是一致的，只不过在“回顾与反思”环节要求高一些。例5的教学不仅要求学生检查解答是否正确，还要学会将其数量关系进行沟通，同时还要求回顾“几何直观”这一重要的思想方法。总之，这几个环节的要求一定要在问题解决教学过程中落实，以帮助学生养成良好的解决问题的思维习惯。简易方程重难点突破 湖北省武汉市武昌区教研培训中心魏汉陵（初稿）湖北省武汉市教育科学研究院马青山（统稿）一、理解用字母表示数的意义和作用，掌握用字母表示数的一般方法突破建议：1关注由具体到一般

19、的抽象概括过程。本单元的知识大多数都比较抽象，教学时要充分利用学生原有的认知经验和基础，关注到由具体实例到一般意义的抽象概括过程。如爸爸比小红大30岁，当小红是1岁、2岁、3岁时，学生会用“1+30，2+30，3+30”这样的式子表示爸爸的年龄，然后在教师的引导下，学生用一个式子来表示任何一年爸爸的年龄即“”。之后教师可以继续追问：这里的表示什么？又表示什么？让学生明白“”既表示爸爸的年龄，还能反映出爸爸和小红年龄之间的关系，这样表示既简明又高度概括了爸爸和小红的年龄情况。使学生体会由特殊到一般的认识需要，初步感知抽象的作用。2注意突显用字母表示数的意义和作用。在教学用字母表示运算定律和计算公

20、式时，教师可以用对比的方法让学生深切体会用字母表示简明易记、便于运用。以乘法分配律为例，先让学生用语言表述：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把所得的积相加。再让学生用字母表示为,这样形成鲜明、强烈的对比，使学生感悟到用字母表示数的意义和作用。3适当加强用含有字母的式子表示数量的训练。用含有字母的式子表示数量的训练，也就是写代数式的训练。如：“一本书有页，张华每天看8页，看了天，用式子表示还没有看的页数”“商店原有120 kg苹果，又运来10箱，每箱重 kg。用式子表示出商店一共有多少箱苹果”等，这是列方程的基础。加强这方面的训练可以是书面作业的形式，也可以采用口答方式

21、（个别口答、集体口答、小组互说、同桌互说均可），以提高练习的效率。4注意渗透函数思想。在归纳数量关系用字母表示时，可适当渗透变量间的对应关系、依存关系。如爸爸的年龄随小红的年龄变化而变化，两个量之间具有一一对应的关系。在说明字母取值范围时，可适当渗透函数的定义域思想。可以追问：式子中的字母还可以表示哪些数？可不可以是200？为什么？使学生初步认识到式子中的字母还可以是许多其他的数，但是在这里是有一定的范围的，这个范围要根据具体问题进行具体分析的，不可一概而论。二、初步理解方程的意义和作用，掌握列方程的一般方法突破建议：1可由分类揭示方程的意义。对于方程的概念的建立，教师可以引导学生通过观察下面

22、的式子：50+50=100，等，让学生自己分类，从中获得像这样这样含有未知数的等式就是方程。2注意引导学生经历由生活语言到用数学语言，逐步数学化的过程。当学生看到天平平衡时会用生活语言：“空杯子和水共重250克”来表述他们所看到的。教师引导：谁能用一个式子来表示？学生可能用“100 g+水的质量=250 g”来表示。教师进一步引导：你能用一个含有字母的式子来表示吗？学生可能用“”也可能用“”等来表示。在教学“3本练习本共用2.4元”时，也可以采用这样的方法。让学生经历数学化的过程，可以更好地帮助学生理解方程的意义和作用。3适当增加一些列方程的练习。如“小明家有一些橘子，吃了5个，又买回8个，这

23、时还有17个，小明家原有橘子多少个？请用方程表示题中的数量关系”。当学生列出方程“”之后，建议教师再让学生说说这个方程的含义，这样不仅可以加深学生对方程意义的理解，同时让学生感受到用方程表示数量关系简单明了，感知方程的作用和学习方程的必要性。像这样用纯文字表述的题在教材中比较少，建议教师在教学的过程中适当增加一点，以帮助学生更好地掌握列方程的方法，为后面学习用方程解决实际问题做一些铺垫。三、理解等式的基本性质，学会用等式的基本性质解方程突破建议：1通过天平游戏，让学生充分感知天平等值变换过程。关于天平游戏教师可以用实物进行演示，让学生真真切切地看到天平游戏中平衡的天平两边加上（或减去）同样重量

24、的物品，天平保持平衡。如果受到条件的限制，建议也要用动画来进行游戏，将这一过程让学生有充分的感知，从而确认这一事实。教材中是两边加上的是杯子，教师也可改变一下物体（如两边同时加上一把茶壶等）。这样便于概括出：平衡的天平两边加上（或减去）同样重量的物品，天平保持平衡。等式的性质2的教学也建议如此。2适当增加具体的等式等值变换的例子，帮助学生理解等式的基本性质。在经过天平游戏感知到天平的等值变换后，教师可引导学生举例子说说等式有没有同样的性质。如：；    ；。或者设一把茶壶重克，1个茶杯重克，就会有：；。对于含有字母的式子，如果学生还有疑问，教师可以引导学生将字母具

25、体成一个数进行验证，让学生确信不疑。这样增加一个环节，更加便于学生自己概括出等式的基本性质，理解更加深刻。3教学解方程时，可以由方程的意义入手，先让学生看图列出方程“”。再让学生明确所谓解方程实际上是这样一个问题：求的值是多少时，方程左右两边才能相等？明确解题目标之后，可以先让学生自己思考、探索的值，也可以组织小组讨论并交流。学生介绍自己的想法时，教师要注意引导学生不仅说出自己是怎样推算的，还要启发他们说出推算的依据，同时利用书上的图进行演示加以论证。在学生确信的值是6时，教师可以引出解方程的概念，明确指出：方程的解是一个数，而解方程是一个推算的过程。随后教师一定要追问：为什么要减去3？而不是

26、其他的数呢？让学生明确解方程的一般思路。4要重视解题步骤和书写格式的指导，促进学生规范书写和自觉检验的良好学习习惯的形成。解方程实际上是在进行一个方程的同解变形的过程，因此教师要强调解方程时一定要在原有的方程下面再写出一个方程来，不能连着写等号(如),或者是解：。学习解方程一定要强调解方程之后要进行检验，一方面为后期继续学习打下坚实基础，另一方面在此培养学生良好的学习习惯。关于解题步骤，开始一般要求写出解题全过程，之后熟练了可以适当省略一些。5对于稍复杂的方程，解答时可以采用化繁为简的策略，引导学生自主探索。例4的教学，首先要关注学生列方程的练习，根据数量关系列方程是本单元的教学重点，也是教学

27、的难点。在方程的意义教学时要注意加强这方面的训练，随后的学习中要不断训练，这里的教学是一个很好的契机。解答时，应先把看成一个整体。至于为什么要把看成一个整体？这是教学的难点。建议一：可以借助直观图加以说明：建议二：可以把看作“”，原方程就可以看成“”了。这样引导学生先把这个方程的解求出来，再把“”还原成即可推算出的值了。这样化繁为简，引导学生自主探究出这类稍复杂的方程解法。建议三：可利用运算顺序的事实说明。由于要先算二级运算，后算一级运算，即先要算是多少，后算加法，也就是说是求3与的积与4的和是多少。所以可以把先看成一个整体。解答方程“”时，要先把看作一个整体，也是同样的道理。四、掌握列方程解决问题的基本思路和一般方法，学会用方程解决实际问题突破建议：1首次学习列方程解决问题，应以四则运算和数量关系为基础，注意从算术思路到方程（代数）思路的过渡和对比，掌握列方程解决问题的思考方法和特点：将未知的数用字母表示，分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并列出方程。要向学生明确说明这是一种新的解决问题的方法，今后的学习中会用得非