高中数学截面与距离问题练习

1、高中数学截面与距离问题练习典例分析棱锥、棱台的中截面与轴截面【例1】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的 k倍，求k的取值范围.【例2】 正四棱锥的斜高为 2,侧棱长为 卮求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？例3 正四棱台的高为17,两底面的边长分别是 4和16 ,求这个棱台的侧棱长和斜高.例4 已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a , b , c ,则它的高和斜高分别为 例5 已知正三棱锥S ABC的高SO h,斜高SM l ,求经过SO的中点且平行于底面的截面A1B1C1的面积.例6 如图所示的正四棱锥 V ABCD,它的高VO 曲，侧棱长为 由, 求侧面上的

2、斜高与底面面积.O'是高VO的中点，求过 O'点且与底面平行的截面（即中截面）的面积.【例7】 如图，已知棱锥V ABC的底面积是64cm2,平行于底面的截面面积是4cm2,棱锥顶点V在截面和底面上的射影分别是Oi、O,过OQ的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积.圆锥、圆台的中截面与轴截面【例8】 把一个圆锥截成圆台， 已知圆台的上、下底面半径的比是 1 ：4,母线长10,求圆锥的母线长.【例9】一圆锥轴截面顶角为120 ,母线长为1,求轴截面的面积.【例10 圆台的母线长为2a,母线和轴的夹角为 30 , 一个底面半径是另一个底面半径的2倍，求圆台的高与上下两底面面积

3、之和.【例11】圆台两底半径分别是 2和5,母线长是3炳，求它的轴截面的面积；【例12】圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30 , 一个底面半径是另一个底面半径的2倍,则两底面半径为.【例13 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面白面积等于392cm2,母线与底面的夹角是45 ,求这个圆台的母线长.【例14】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1 ：4,截去的圆锥的母线长是3,求圆台的母线长.【例15 圆台母线长为2a,母线与轴的夹角为 30°, 一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面半径以及两底面面积之和.【例16】圆锥轴截面顶

4、角为120 ,母线长为1 .求轴截面的面积； 过顶点的圆锥的截面中，最大截面 的面积.球的截面【例17】在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49n和400n.求球的半径.【例18】已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为【例19】（2008四川卷8）设M ,N是球心O的半径OP上的两点，且 NP 截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（A. 3:5:6B. 3:6:812支和16支,求这两个截面间的距离.MN OM ,分别过N,M,O作垂直于OP的平面 ）C. 5:7:9D. 5:8:9【例20】球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB 18,B

5、C 24、AC 30,球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径.【例21】（2008全国II）已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2 ,则两圆的圆心距等于（）A. 1B.亚C. 73D. 2组合体的截面分析【例22】一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值.【例23】（2007湖南理8）棱长为1的正方体ABCD ABC1D1的8个顶点都在球O的表面上，E, F分别是棱AA , DD1的中点，则直线 EF被球O截得的线段长为（）A.?B. 1C1 芋D. V2【例24】（2008年江西卷10）连结球面上

6、两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦 AB、CD的长度分别等于2"、4点，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB、CD可能相交于点 M弦AB、CD可能相交于点 NMN的最大值为5MN的最小值为1其中真命题的个数为（）3 -B. 2个C. 3个D. 4个多面体与简单旋转体的表面最短距离问题【例25 如图正方体ABCD ABiGDi ,其棱长为i , P,Q分别为线段AA , CQ 上的两点，且AP GQ .求在正方体侧面上从P到Q的最短距离.【例26 已知如图，正三棱柱 ABC DEF的底面边长为1,高为8, 面绕行两周到达D点的最短路线

7、的长为一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧【例27 【例28 如图所示，正三棱锥S AMN的周长的最小值.ABC的侧棱长为1,ASB 45°,M和N分别为棱SB和SC上的点，求如图，长方体ABCDABiCiDi 中，ABa, BC b,BBi c ,并且a b c 0.求沿着长方体的表面自 A到C1的最短线路的长.A1aDiBiCi【例29】如图所示，设正三棱锥V ABC的底面边长为 相交的截面AEF ,求截面周长的最小值.a ,侧棱长为2a , AVB.过A作与侧棱VB,VCB35 -【例30 如图，圆台上底半径为1,下底半径为4,母线AB 18,从AB中点M拉一绳子绕圆台侧面转到A点

8、（A在下底面）.求绳子的最短长度；求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.【例31 【例32】(0005江西,理 15)如图，在直三棱柱 ABC AB1cl 中，AB BC 2 , BB 2 , ABC 90 ,E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从 E到F两点的最短路径的长度为已知以A为顶点的正四面体A BCD,其棱长为1, P,Q分别为AB,CD上的两点，且AP CQ.求在正四面体侧面上从 P到Q的最短距离.【例33 如图所示，正三棱锥S ABC的侧棱长为1, ASB 40°, M和N分别为棱SB和SC上的点，求AMN的周长的最小值.球面距离【例34 （2008

9、辽宁）在体积为4再 的球的表面上有 A,B,C三点，AB 1 , BC J2 , A, C两点的球面距离为,则球心到平面ABC的距离为【例35 （06四川卷理10）已知球O的半径是1, A、 B、C三点都在球面上， A、B两点和A、C两点的球面距离都是兀 I/ 一 J_ _ ， ， I I ,、B、C两点的球面距离是，则一面角 B OA C的大小是（）71B.71C.71D.【例36 A、B是半径为R的球O的球面上两点，它们的球面距离为g R,求过A、B的平面中，与球心的最大距离是多少？【例37 已知A,B,C三点在球心为 O,半径为R的球面上，且 AB AC BC R,那么A, B两点的球面

10、 距离为,球心到平面 ABC的距离为 .【例38 -R ,求过A、B的平面中，与球心 2A、B是半径为R的球O的球面上两点，它们的球面距离为的最大距离是多少？【例39】（2009陕西）如图球 O的半径为2,圆Oi是一小圆，OQ我，A、B是圆Oi上两点，若A , B【例40 【例41 【例42】两点间的球面距离为 红，则 AO1B =（2009四川卷）如图，在半径为3的球面上有 A、B、C三点, 到平面ABC的距离是 乎，则B、C两点的球面距离是（）A. -B.兀 C. %D.2 n33球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的求这个球的半径.ABC 90o, BA BC ,球心 O

11、-,经过3个点的小圆的周长为4式,6（06浙江）如图，O是半径为1的球心，点A, B,C在球面上，是大圆弧AB与AC的中点，则点E,F在该球面上的球面距离是（OA,OB,OC两两垂直，E, F分别）71B.71C.71D.22兀43【例43 （2008安徽）已知 A, B , C , D 在同一个子面上， AB 平面 BCD , BC CD ,若 AB 6, AC 2/13 , AD 8 , 则B, C两点间的球面距离是 .【例44 （2009辽宁卷文）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬A. 0.8B. 0.7560纬线长和赤道长的比值为（C. 0.5D. 0.257 -【例45 【例46

12、 【例47 【例48 在半彳仝为R的球面上有A , B两点，球心为O,半径OA, OB的夹角是-,则A, B两点的 球面距离为.在北纬60纬线上有 A, B两地，它们分别在东经 60o与西经120°的经线上，设地球半径为R,求A , B两地的球面距离.已知地球的半径为 R,球面上A,B两点都在北纬45圈上，它们的球面距离为 -R, A点在东经 330上，求B点的位置及 A, B两点所在的纬线圈上对应的劣弧的长度.从北京A （靠近北纬45°、东经120°,以下经纬度均取近似值）飞往南非首都约翰内斯堡B （南纬30°、东经30° ）,有两条航空线可供选择：甲航空线：从北京 A沿纬线向西飞到土耳其首都安卡拉C （北纬45°、东经30°）,然后向南飞到目的地B .乙航空线：从北京 A沿经线向南飞到澳大利亚的珀斯D （南纬30°、东经120°）,然后向沿纬线向西飞到目的地B .请问：哪一条航空线较短？如果这条航线的两段都分别选择最短路线，那么这条航线的总长为多 少？（地球视为半径 R的球）（2008陕西）长方体 ABCD AB1C1D1的各顶点都在球 O的球面上，其中AB: AD : AA 1:1:友.A , B两点的球面距离记