第四章 杆件的变形 简单超静定问题

1、第四章 杆件的变形 简单超静定问题一 、基本要求1熟练掌握拉（压）杆变形计算2熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件3掌握积分法求梁的弯曲变形4熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算5理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法6了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算 二、 内容提要1拉（压）杆的轴向变形、胡克定律拉（压）杆的轴向变形为,式中、分别为变形前、后杆的长度。当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形，即 （4.1） 图 4.1式中，EA称为杆件的抗拉（压）刚度。显然，轴力FN为正时，l为正，即伸长变形；轴力FN为负时，l为负，即缩短变形。公式（4

2、.1）的适用条件：（1） 材料在线弹性范围，即；（2） 在长度内，FN，E，A均为应力常量。当以上参数沿杆轴线分段变化时，则应分段计算变形，然后求代数和得总变形。即 （4.2）当FN，A沿杆轴线连续变化时，式（4.2）化为 （4.3）2拉压超静定问题定义 杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。超静定问题的求解方法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。解题步骤：（1） 画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次

3、数；（2） 根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程；（3） 将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程；（4） 联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。超静定结构的特点：（1） 各杆的内力按其刚度分配；（2） 温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。3圆轴的扭转变形与刚度条件 超静定问题1， 变形计算圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为l的两个横截面的相对扭转角为 (rad) (4.4)若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为 (rad) (4.5) 式中称为圆轴的抗扭刚度。显然，的正负号与扭矩正负号相同。公式（4.4）

4、的适用条件：（1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即；（2） 在长度l内，T、G、均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。即 (rad) (4.6)当T、沿轴线连续变化时,用式(4.4)计算。2， 刚度条件扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角不得超过许可的单位长度扭转角,即 (rad/m) (4.7)或 （） （4.8） 根据刚度条件可以进行校核刚度、设计截面与确定许可载荷等三类刚度计算。 3，扭转超静定问题 定义 当杆端的支反力偶矩或横截面上的扭矩仅由平衡方程不能完全确定，这类问题称为扭转超静定问题。 扭转超静定问题的解法 根据变形协调条件建立

5、变形几何方程，将扭转角与扭矩间的物理关系代入变形几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得全部未知力偶。 4梁的变形 挠曲线近似微分方程及其积分 1，挠曲线 挠度与转角 在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑连续的弹性曲线，称为挠曲线。在对称弯曲情况下，挠曲线为纵向对称平面内的平面曲线，其方程为梁横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，用表示。梁横截面相对于原来位置绕中性轴转过的角度，称为截面转角，用表示。小变形时，有 图4.3 在图4.3所示坐标系中，向上的挠度和反时针的转角为正，反之为负。 2，挠曲线的近似微分方程及其积分 在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系对于

6、跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即 （4.9）将上式积分一次得转角方程为 （4.10）再积分得挠曲线方程 （4.11）式中，C,D为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。 挠曲线的某些点上的挠度或转角是已知的，称为边界条件。挠曲线是一条连续光滑的曲线，在其上任意一点，有唯一确定的挠度与转角，称为连续性边界条件。 3，梁的刚度条件 限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即 ， （4.12） 5用叠加法求

7、弯曲变形 叠加原理 在小变形和线弹性范围内，梁在几种载荷共同作用下任一横截面的挠度与转角，分别等于每一种载荷单独作用下该截面的挠度与转角的代数和。 应用叠加原理的条件 小变形与材料在线弹性范围。 6简单超静定梁梁上未知力的数目超过静力平衡方程数目，仅由平衡方程不能确定全部未知力，这类梁称为超静定梁。超静定梁的解法与前述拉（压）杆、扭转超静定相同。具体步骤如下：1，首先判断超静定梁的次数。解除多余约束代之以多余约束力，得到原超静定梁的相当系统。注意解除多余约束以后的梁应该是静定梁的形式。2，根据相当系统的变形与原超静定梁的变形应该相同，建立变形协调方程。3，将变形与力之间的物理关系代入上述变形协

8、调方程，得补充方程。由补充方程解出多余约束力。4，由平衡方程求梁上其余的约束反力。然后就可以进行梁的强度与刚度的计算。7.杆件的应变能1）应变能 弹性体在外力作用下，因发生弹性变形而储存在弹性体内的能量，称为应变能或变形能。用或表示。2）弹性体的功能原理 在弹性体变形过程中，储存在弹性体内的应变能（或）在数值上等于外力所做的功W，即 （4.13） 3）轴向拉伸或压缩杆件的应变能在线弹性范围内，由功能原理得 当杆件的横截面面积A、轴力FN为常量时，由胡克定律，可得 （4.14）杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用表示。线弹性范围内，得 （4.15） 4）圆截面直杆扭转应变能在线弹性范围内，由功

9、能原理得 将与代入上式得 （4.16） 图4.5根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度： （4.17） 5）梁的弯曲应变能在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得 将与代入上式得 （4.18） 图4.6横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用式（4.18），积分得全梁的弯曲应变能，即 （4.19）三、典型例题分析例2-1 设横梁ABCD为刚体。横截面积为76.36mm2的钢索绕过无摩擦的滑轮。设F20kN，试求钢索内的应力和C点的垂直位移。设钢索的E=177GPa。解法一解：1.求钢索内的应力以横梁ABCD为为研究对象，受力如图b所示。列平衡方程解得 钢

10、索的应力 2.求C点的垂直位移作结构的变形位移图如图c所示。因ABCD为刚体，故发生位移后，A、B、C、D仍为一直线。小变形条件下。可以“以切线代替圆弧”画变形图。由B1向钢索作垂线得点，设。同理由D1向钢索作垂线得点，设。则钢索的伸长为。由胡克定律由图C，得C点的垂直位移为解法二 用能量法求解C点的垂直位移解：1.求钢索内的应力与解法一相同，得2.求C点的垂直位移由弹性体的功能原理，即例2-2 图示杆系的两杆均为钢杆，E=200GPa，。两杆的横截面积同为A=10cm2。若BC杆的温度降低20，而BD的温度不变，试求两杆的应力。解：设杆1受拉力，杆2受压力。以节点B为研究对象，受力如图b所示

11、。因B点的未知力有三个，而平衡方程仅有两个，故为一次超静定问题。列平衡方程 （1）作结构的变形位移图如图c所示。图中为温度引起的变形，为引起的变形，为引起的变形。小变形条件下，以切线代替圆弧。变形后B点位移至B1点，即两杆在B1点铰接。由图c得变形协调方程 （2）物理方程为 （3）式中为温度改变量。将式（3）代入式（2），得补充方程 （4）联立求解式（1）与式（4），得 杆1 杆2 例2-3 传动轴的转速n500r/min，主动轮1输入功率为P1=372.8kW，从动轮2、3分别输出功率P2=149.1kW，P3=223.7kW。已知70MPa，´1°/m，G80GPa。（

12、1）确定AB段的直径d1和BC段的直径d2；（2）若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d；（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理？解：1.确定d1和d21）求外力偶矩2）作轴的扭矩图，如图b所示。3）按强度条件设计直径，AB段 BC段 4）按刚度条件设计直径，AB段 BC段 经比较，取，2若AB和BC两段选用同一直径，则。3若将主动轮放在两从动轮之间，则，有利于提高轴的强度和刚度，故较合理。例2-4 试用叠加法求图示梁A截面的挠度与B截面的转角。EI为已知。解：将梁的载荷分为两种载荷，单独作用的情况如图（b）与（c）所示。1）在qa单独作用时，图（b）所示，查表4.1可得2）在均布载荷q单独作用时，图（c）所示，为求与，可利用图（d）与（e）两种情况，即分别考虑AB段与BC段的变形。由图（e），查表4.1得由图（d）、（e）两种情况，应用叠加法，得3）在两种载荷共同作用下，应用叠加法得例2-5 图示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为，由钢杆CD连接。CD杆的长l5m，横截面面积,E=200GPa。若F5