解不等式中的数学思想方法

1、解不等式中的数学思想方法湖南 周友良 彭文英一解不等式中的简易逻辑思想 例1 已知；¬是¬的必要不充分条件，求实数的取值范围.分析 本题实为上一命题的姊妹题，将命题的表述重心移至充要条件，使用了学生较为熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念，新教材将这一内容的学习放在第一章，从而也可能利用第一章的知识内容来命题考查这一概念.本例是一道揉绝对值不等式、二次不等式的求解与充要条件的运用于一起的较好试题，要求学生能正确运用数学符号，规范数学学习行为，否则连读题审题都感困难.解答 由得，由，得，¬即，或，而¬即，或；由¬是¬的必要不

2、充分条件，知¬¬，设A=，B=，则有A，故且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，解得，此即为“¬是¬的必要不充分条件”时实数的取值范围.二、解不等式中的换元思想例2解不等式。 分析：若试图将不等式化为基本形式求解，须先去分母，有 或 至此，解题难以为继。 若令，则x=t2-1. x>-1, 且x0, t>0且t1, 不等式化为， 即， 6t(t+1)12(t>0). 解得2t3，从而, 即4x+19。不等式的解集是3，8。 三、解不等式中的数形结合思想例3设a<0为常数，解不等式。 分析：不等式化为。 作函数和g(x)=a

3、-2x的图象，如图1。 由，解得x=. 两个函数图象的交点为. 由图1知，当x>时，函数y=f(x)的图象位于函数y=g(x)的图象的上方。 不等式的解集是(,+). 注：无论解什么样的题，都既要掌握基本的解题方法，又要以灵活为主。会做，还要讲求做题效率。分析 由于左、右两边有相同的地方，因此可以换元，使不等式的结构变为简单形式距为a的平行直线系)，在同一坐标系内作出两函数的图象，如图1因为y1y2，所以(1)当0a1时，0t1，即0ax1，所以x0，+)综上所述当a(0，1)时，解集为0，+)，当a(1，评述 在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等

4、式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰四、解不等式中的函数方程思想例4 求a，b的值，使得关于x的不等式a +bx+ -10的解集分别是：(1)-1，2；(2)(-，-12，+)；(3)2；(4)-1，+)分析 方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通解(1) 由题意可知，a0且-1，2是方程a+bx+-10的根，所以(3)由题意知，2是方程a+bx+-1=0的根，所以4a+2b+a2-1=0 又2是不等式a+bx+-10

5、的解集，所以(4)由题意知，a=0b0，且-1是方程bx+-1=0的根，即-b+-1=0，所以a=0，b=-1五、解不等式中的分类类讨论思想解不等式 分析 这是一个分式型无理不等式，需要将其转化为有理不等式来求解解 (分类讨论)(1)当x=0时，原不等式显然成立(2)当x0时，评述：本题类比万能公式采用三角代换更加简单。分析：由x及的特征联想到万能公式于是可构造三角函数，令x=tan求解。解：令x=tan则由已知得，从而tan,x。六、解不等式中的构造思想例6、解不等式 分析；本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较烦。但注意到且题中出现 , 启示我们构造函数f(x)=x3+5x去投

6、石问路。解：将原不等式化为，令f(x)=x3+5x，则不等式变为，f(x)=x3+5x在R上为增函数原不等式等价于，解之得：1x2或x2。七、解不等式中的转化化归思想例7 对于满足0p4的一切实数，不等式x2px4xp-3恒成立，试求x的取值范围.分析:我们习惯上把x当作自变量，构造函数yx2(p-4)x3-p,于是问题转化为：当p0,4时，y0恒成立，求x的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的.如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y(x-1)p(x2-4x3)，则y是p的一次函数，就非常简单.即令f(p)(x-1)p(x2-4x3

7、).函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)0恒成立，当且仅当f(0)0，且f(4)0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是(-,-1)(3,).本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的.八、解不等式中的整体思想例8、已知f(x)=ax2-c,且-4f(1)-1,-1f(2)5,求f(3)的范围。解：令f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=(m+4n)a-(m+n)c,f(3)= ,又-4f(1)-1,-1f(2)5，-1f(3)20。评述：题中f(1)=a-c,f(2)=4a-c,

8、 且-4f(1)-1,-1f(2)5是四个整体，在解题过程中，整体谋划，不能破坏其固有的整体结构。九、解不等式中的变量分离思想例9设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围分析 认真观察不等式的结构，易知要解决的问题是对所有的x，x2(t-2)-2(t+1)x+2(t+1)0 不符合题意，所以t2因此对任意实数x，不等式恒成立的充左边等号当x=0时成立于是得ymin=-1，故t-1 (以下略)不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式、无理不等式化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，