2019高考数学专题十六圆锥曲线的几何性质精准培优专练文

1、培优点十六 圆锥曲线的几何性质-X2+ -y2=1 a . b . 0 的上顶点、左顶点、左焦点分别为 a b心为 O ,其离心率为-2，则 SAABF: SBFO二（）A.2-、.3:3B.2、.3-3:3C. 2- 3 :2D. 2 3-3:2【答案】B【解析】由SAABF= SAABO SABFO，得 SAASB=S(SXBS：)b C(C:)c3_而，所以 SAABF：SA BFO= 2 J3 3 : 3，故选 B.a 22.抛物线的几何性质例 2：已知抛物线 C : y2=2px p 0 的焦点为F ,准线 I: x ，点M在抛物线 C 上，点M在直线 l:x = -1 上的射影为A

2、，且直线AF的斜率为-.3,则MAF的面积为（ ）设准线 I 与x轴交于点 N，所以 FN =2，因为直线AF的斜率为- 3，所以/AFN =60 ,1 椭圆的几何性质例 1 如图，椭圆B、A、F，中A.3【答案】C【解析】B. 2 3C. 4. 3D. 8 32所以 AF =4 ,由抛物线定义知， MA| |MF，且.MAF =/AFN = 60，所以MAF是以 4 为边长的正三角形，其面积为 42=4 .3 .故选 C.43双曲线的几何性质2 2例 3:已知点P是双曲线 D1的右支上一点，M, N 分别是圆X 102y4和36 64v f2(x10 j +y2=1 上的点，贝 y PM -

3、 PN 的最大值为 _.【答案】152 2【解析】在双曲线 -y1中，a =6 , b=8 , c=10 ,36 64 F1-10,0 , F210,0 , PF1- PF2=2a =12,7 MpJPF-|MF1, PNI|PF2|NF?, PM|PN 乞 Ph| |MF1- PF2ITNF2=15 .卜对点增分集训一、单选题1抛物线y2=2px p 0上的动点 Q 到其焦点的距离的最小值为1，贝 U p=()1A.B. 1C. 2D. 42【答案】C【解析】抛物线y2=2px p 0上的动点 Q 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：卫=1

4、, . p=2 .本题选择 C 选项.22设点 F1, F2是双曲线X2- ? 1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若 3 PF1= 4 PF,3则厶 PF1F2的面积等于()A. 5 .3B. 3、15C. 4 5D. 2 103【答案】Ca = .2 , b =1 , c=1，取一个焦点 F 1,0，则直线方程=mx m 0 的焦点作直线交抛物线于P, Q 两点，若线段 PQ 中点的横坐标为3, PQ#m,【答案】B【解析】据题意,PR= PF2，且PF1IPF2=2，解得PF1=8 ,PF?=6 .又 F1F2=4，在 PF1F2中由余弦定理，得 cos. F1PF2二PF1PF2一F1F

5、22 PR PF?从而 sin . F PF2.1COS2. RPF2二，所以 SAPF1F=! 6 8=3.15，故选 B.、8 2 8PF1F23.经过椭圆x22y2=2 的一个焦点作倾斜角为 45 的直线 I，交椭圆于 M , N 两点，设 0为坐标原点,OMON 等于（B. J3C. -13D. 一12A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】【解析】设 PQ 的坐标分别为 冯， X2, y2，线段 PQ 中点的横坐标为 3，则笃产=3，PQ -xim 5x2p =6m,由此解得 m =6 .故选 B.442 25.已知双曲线a b=1 a 0,b 0 的右焦点为F,点A在双曲线的渐近

6、线上， OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（2Ax2A.y =1322C. x_y_，14122B x2-y1322x y “D.1124【答案】B【解析】椭圆方程为代入椭圆方程得3x2-4x = 0, M，所以 OM ON =-，故选 C.34.过抛物线 y245【答案】aiai-R R2 2【解析】双曲线 笃_笃=1 a 0,b 0 的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上，OAFa b是边长为 2 的b_b2等边三角形（O 为原点），可得 c =2 ,b= .3，即笃=3 ,aa2 2c - - a23 ,解得 a =1 , b = . 3,a2双曲线的焦点坐

7、标在 x 轴，所得双曲线的方程为 X2-Z 1，故选 B.36如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道n绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道川绕月飞行.已知椭圆轨道I和n的中心与F在同一直线上，设椭圆轨道I和n的长半轴长分别为 ai, a2，半焦距分别为 ci, C2，则有（)A.CaC2a2c.B. a - G 叮 a2C2a2D.【解设圆形川的半径为R,C2_ OZa2a2由 a1a2知虫纟a1a2故选 C.2j 已知双曲线G：二12

8、 2C2：% -占=1 a b 0 的左、右焦点分别为 F1, F2, a b6A. 32B. 4C. 8D. 161 - a2M是双曲线 C2的一条渐近线上的点，且OM _MF2，O 为坐标原点，若 SOMF2=16，且双曲线 G , C2的离心率相同，则双曲线 C2的实轴长是（）7【答案】Dx2/5【解析】双曲线 C1: - y3=1 的离心率为，设 F2c,0，双曲线 C2一条渐近线方程为by x,a2 2 29.已知椭圆 C1:x2y2-1a1b10 与双曲线 C2:x2aibia2可得厂b，即有OMc2-b2a,1由SAOMF2=16，可得ab2=16，即 ab =32，又 a2b2

9、=C2，且-,a 2解得 a =8 , b=4 ,C=4.5，即有双曲线的实轴长为16.故选 D.&已知F是抛物线C : y = 2x2的焦点，N 是x轴上一点,线段 FN 与抛物线 C 相交于点M,若 2FM =MN，贝 U FN =(A. 1B.-2C. 52D. 88【答案】D【答案】A【解析】由题意设焦距为 2c，椭圆长轴长为 2a1，双曲线实轴为 2a2,令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义PFj |PF2=2a2，由椭圆定义 PF.-|PF2=2a1，又 PR _PF2, PFi2PF?2=4c2，2+ 2，得 |PFi2+ PF?2=4 异 +4a22，将代入，得S12-

10、 a22=2c2,时，称厶 ABC 为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（A. 0 个B. 1 个C. 3 个D.无数个【答案】D【解析】抛物线方程为y2=4x,A,B, C 为曲线 C 上三点，当 FA FB FC =0 时，F为 ABC 的重心， 用如下办法构造ABC，连接AF并延长至D，使 FD 二【解析】由题意得点F的坐标为0,8，设点M的坐标xo,yo，点N 的坐标 a,0 ,所以向量：FM =rx0，y。85MN = a-xo,-yo,由向量线性关系可得：3 冷=a , 2yo -1二-yo，解得:4代入抛物线方程可得：沧6，则 a6,1241y0%，由两点之间的距离公式可FN 匚

11、.故选 D.2-y2=1a20,b20 4ee224 c2aia259-2 2，故选 A10.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,A,B, C 为抛物线 C 上三点,FA FB FC 二 09丄 AF ,2当D在抛物线内部时，设 D Xo，yo，若存在以D为中点的弦 BC ,设 B g,ni, C m2,门2,n _ 门2贝 U mim2= 2xo, ni压 二 2yo,kBc,mb_m2则ni =4mi，两式相减化为 nin2叱互=4 ,In22=4m2mi _m2kBC=，所以总存在以D为中点的弦 BC，所以这样的三角形有无数个，故选 D.mi m2yo102 2 2 211 已知双曲线

12、：笃冷 =1 a .0,b .0 的左右焦点分别为 Fi,F2，椭圆-2： 7=1 的离心率为e，直线 MN 过点 F2与双曲线交于M, N 两点，若 cosRMNNOSFM , 且 匕出=e，则双曲线 F 的两条渐近线的倾斜角分别为（）FiNA. 30 ，150B. 45，135C. 60 ，120D. 15，165【答案】C【解析】由题 cosZRMN rosNFM，：上F1M =ZF1F2M，二MF1= F1F22C,由双曲线的定义可得| MF2|；MF1I-2a =2c-2a ,NF2=4C-2a ,222椭圆：2:-3=1 的离心率.4-3e 二21 |RM12，F1N2.NF1=4

13、C,cos. F1F2M 二空 土竺土二口2 2c(2c-2a) 2c在 NF1F2中，由余弦定理可得：2 2 2 2 24c4c -2a16c a c 4accos F F? N 2 2c、(4c 2a )2c(2c a ) hF2M F1F2N =n,.cos F1F2M cos hF2N =0，即2c22a c 4ac0 ,2c 2c - a4在厶 MF1F2中，由余弦定理的11整理得 L - 设双曲线的离心率为ei,. 3e2_7e,2二0,解得e =2或-(舍).312渐近线的倾斜角为 60 , 120 .故选 C.2 212.已知P为椭圆 二y1 上一个动点，过点P作圆 x 12-

14、 y2=1 的两条切线，切点分43丿 y【答案】C【解析】如图，由题意设.APB =2 二，则当且仅当“=2，即 t =1 一 2 时等号成立，此时 C0S2V -1- 2 .1 t17又当点P在椭圆的右顶点时， sin v , cos2 T -2sin2,391779 11-7 9956PA PB的取值范围是_2 2-3，?，故选 CB.四C.2 运3,D.丿12 99别是A，B，则 PA PB 的取值范围为（）A 3,：2 .2a亍 4 , . 3a2二 b2, a双曲线的渐近线方程56此时 PA PB 最大，且最大值设 cSt，则肚曲告右一3一 2 Z 二亠22-3，13二、填空题13已

15、知过抛物线y2=_2x的焦点F，且斜率为,3 的直线与抛物线交于A、B两点，则AF BFAB【答案】-22112 由由亠知 P，由焦点弦性质 AF+BF 亍2，而 AF BFAF BF1 _P _1|AB|AF| + |BF|1+12 2 X2214已知椭圆 y2=1的左、右焦点为 F1、F2，点 F1关于直线y-X 的对称点P仍在椭a圆上,则 PF1F2的周长为_.【答案】2 22【解析】设 F1-c,0 , F2c,0 c 0 ,F1关于直线 y =-x 的对称点P坐标为 0,c ,点 P 在椭圆上，则：c2=1，则 c = b =1 , a2=b2 c2= 2，则 a = 2 ,a故厶

16、PF1F2的周长为：PF1 PF2ITF1F2=2a 2c=2&，2 .x2y2I -*15.P为双曲线1 右支上一点，F1, F2分别为双曲线的左、右焦点，且PF1PF0,49直线 PF2交y轴于点A，则AF1P 的内切圆半径为 _.【答案】2【解析】 PF1_ PF2, APF1的内切圆半径为 r ,【解14 PF -|PA| 卜耳=2r , PF22a - PA| |AF2r , AF2I卜片=2r -4 ,由图形的对称性知： AF2=AF, r=2.故答案为 2.2 216已知直线 I 与椭圆一亍=1 a 0,b 0 相切于第一象限的点 P x0,y0i,且直线 I 与xa b

17、轴、y轴分别交于点A、B，当 AOB （ O 为坐标原点）的面积最小时，./FIPF2=60 （ F1、F2是椭圆的两个焦点），若此时在PF1F2中，.F1PF2的平分线的长度为3a，贝 U 实数m的m值是_ .【答案】52【解析】由题意，切线方程为笃x+書y-1,ab广 2f , 2、/ 2. 2直线 l 与x轴分别相交于点A,B，二 A ,0,B0 丄1 a b，SAAOB_ 八,芒丿 y。丿2 x0y0匕27， 士堆，$当且仅当汽峥时， AOB （ O 为坐标原点）的面积最小,设 PF1二 x, PF?二 y , 由余弦定理可得4c2=x2 y2-xy=4a2- 3xy, . xy =4

18、b2,3-SAPF1F2=丄 xysin 603b2, .12c y3b2,2323二空 b, c=b,a 二主 b,23315空 a , 1 x 2a 1 1 y 仝 a 1m2 m 22 m 2心5，故答案为 三、解答题17.设常数 t 2 .在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F 2,0，直线 I : x =t，曲线】： y3 4=8x 0_xmt,y0 .I 与x轴交于点A、与丨交于点B.P、Q 分别是曲线丨与线段AB上的动点.由抛物线的性质可知：BF =t =t 2 BF =t 2 ;2（2） F 2,0 , FQ =2 , t =3，则 FA =1 , AQ ；3 , Q 3,

19、.2，设 OQ 的中点D,3-0kQF二=-.3，则直线 PF 方程：y = 3 X2 ,3_22联立 3 X 2，整理得：3X2-20X 10,y =8x解得：X=-, x =6 （舍去）， AQP 的面积 S =1 . 3 7；32363设 t =3 , FQ =2，线段 0Q 的中点在直线FP，求 AQP 的面积；4 设 t =8，是否存在以FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点E在丨上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) t 2 ; (2); (3)存在，P2,45.6(5 5 丿+. F1PF2的内角平分线长度为2m3b2,D3貶“D ，-I2 2丿1卫 2

20、a3 15b222m2m 9(1)16f 2 f 2c2（3）存在，设 P : E m_,m:则 kpF=亠=邛, kFQ=J_, ,8 丿 ,8 丿y2_2y2-16 8y8 -292/2直线 QF 方程为 y=d2b（x2 ）, yQ=d（8_2）=仝也,Q 8，坯空8y8yy4y4y18与椭圆相交于A、B两点，F2关于直线 h 的对称点E在椭圆上斜率为 -1 的直线 12与线段AB相交于点P,与椭圆相交于 C、D两点.根据FP FQ =FE，则 E厂2y+6848 y24y165存在以FP、FQ 为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上，且 P8 +y2i4yf2=8 +6，解得:l8丿17（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形 ACBD 面积的取值范围.x2Ci （2）32,32 .84；（2）9 3则 tan：=b，又 a2= b2c2，得 sin : -b, cos: =