2019高考数学考点突破——计数原理：排列与组合学案

1、排列与组合【考点梳理】1 .排列与组合的概念名称定义排列从n个不冋兀素中取出mmc n)个不冋兀素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数从n个不同元素中取出刑曲n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数(2)从n个不同元素中取出 n(mcn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数3 排列数、组合数的公式及性质公式mn!(1)An=n(n1)(n2)(n m+1)(n帀,mA1n(n1)(n2)(n m+1)(2)C nAm=mn!*o 一(n，m N，且me n).特别地 G 1m(nm!性质(1)0 ! 1； Ann!

2、.(2)Cm cnm；C+1cm+ 沪【考点突破】考点一、排列问题【例 1】有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(1)选 5 人排成一排；排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3) 全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4) 全体排成一排，女生必须站在一起；(5) 全体排成一排，男生互不相邻 解析从 7 人中选 5 人排列，有 A7= 7X6X5X4X3= 2 520(种).分两步完成，先选 3 人站前排，有启种方法，余下 4 人站后排，有江种方法，共有 ATA4=5 040(种).（3）法一（特殊元素优先法）先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A6种排

3、列方法，共有 5XA6=23 600（ 种）.法二（特殊位置优先法）首尾位置可安排另 6 人中的两人， 有 A2种排法， 其他有 Al种排法，共有 A2A5=3 600（种）.（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A 种方法，再将女生全排列，有 A4种方法，共有 A4 A4= 576（种）.（5）（插空法）先排女生，有 A 种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位安排男生，有A种方法，共有 A4 Al= 1 440（种）.【类题通法】1对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、 元素分析法， 在实际进行排列 时一般采用特殊元素优先原则，即先安排

4、有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过 多的问题可以采用间接法 .2对相邻问题采用捆绑法、 不相邻问题采用插空法、 定序问题采用倍缩法是解决有限制条 件的排列问题的常用方法 .【对点训练】1 从 4 本不同的课外读物中， 买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，则不同的送法种数是 （）A12B24 C 64D81 答案 B解析4 本不同的课外读物选 3 本分给 3 位同学，每人一本，则不同的分配方法为A=24.2用数字 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （）A24B 48 C 60 D72 答案 D解析由题意，可知个位可以从1, 3, 5 中任

5、选一个，有 A；种方法，其他数位上的数可以从剩下的 4 个数字中任选，进行全排列，有疋种方法，所以奇数的个数为 A；A4= 3X4X3X2X1=72.3从 6 本不同的书中选出 4 本,分别发给 4 个同学, 已知其中两本书不能发给甲同学, 则 不同分配方法有 （）A. 180 种 B . 220 种 C . 240 种 D . 260 种 答案 C3 解析 因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的 4 本中分一本，然后再选 3 本分给 3个同学，故有AA3= 240 种.4在一展览会上，要展出 5 件艺术作品，其中不同书法作品 2 件、不同绘画作品 2 件、标 志性建筑设计 1 件，

6、在展台上将这 5 件作品排成一排，要求 2 件书法作品必须相邻， 2 件绘画 作品不能相邻，则该次展出这 5 件作品不同的摆放方案共有 _种(用数字作答 ). 答案 24 解析 将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体，同 1 件建筑设计展品全排列，再将 2 件不能相邻的绘画作品插空，故共有A22A22A32= 24 种不同的展出方案 .考点二、组合问题【例 2】某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选 取 3 种.(1) 其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2) 其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3) 恰有 2 种假货在内

7、，不同的取法有多少种？(4) 至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(5) 至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？解析(1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 Ct= 561 种，.某一种假货必须在内的不同 取法有 561种.(2) 从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 CL 种或者 C65-CB4=C34= 5 984 种.某一种假货不能在内的不同取法有5 984 种.(3) 从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C210C125= 2 100 种.恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种.(4) 选取 2 种假货有 dod5 种，

8、选取 3 件假货有 C；5种，共有选取方式 C2oC25+ C?5= 2 100 + 455 = 2 555种.至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种.(5) 选取 3 件的总数为 CL，因此共有选取方式C335- C135= 6 545 - 455=6 090 种.至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种.【类题通法】组合问题常有以下两类题型变化：41. “含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外 元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 .2“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少

9、”与“至多”这两个关键词的含义， 谨防重复与漏解 . 用直接法和间接法都可以求解， 通常用直接法分类 复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 .【对点训练】1现有 6 个不同的白球， 4 个不同的黑球，任取 4 个球，则至少有两个黑球的取法种数是( )A90B 115 C 210 D385 答案 B解析分三类，取 2 个黑球有 幺住=90 种，取 3 个黑球有CCd= 24 种，取 4 个黑球有CC=1 种，故共有 90 + 24 + 1 = 115 种取法，选 B.2从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动， 则男女生都有的选法种数是 ()A18B24C30D36 答案 C 解

10、析 从 7 名同学中任选 3 名的方法数，再除去所选 3 名同学全是男生或全是女生的方 法数，即 C73 C43 C33= 30.考点三、排列、组合的综合应用例 3 】 (1) 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成不同的安排方式共有 ()A. 12 种B. 18 种 C . 24 种D(2) 某学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，师，则不同的分配方法有 ()A. 80 种 B . 90 种C . 120 种 D . 150 种(3) 国家教育部为了发展贫困地区教育， 在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生， 毕 业后要分到相应的地区任教，现有 6 个免费培养

11、的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去 任教，有种不同的分派方法 . 答案 (1) D (2) D (3) 90 解析 (1) 由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作， 其他 2 人各完成 1 项工作， 可得安排 方式1 项，每项工作由 1 人完成，则每所中学至少派一名教5为 C13C42A22= 36(种).（2）有两类情况：其中一所学校3 名教师，另两所学校各一名教师的分法有CA3=60 种;6其中一所学校 1 名教师，另两所学校各两名教师的分法有着=90 种，共有 150 种，故选 D.dCJC23（3）先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有一丁种方法，再将 3 组毕业生分到

12、3 所学校，有A3= d&C236 种方法，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校，共有一A厂AC=90 种分派方法.【类题通法】1解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元 素（或位置）.对于排列组合的综合题目， 一般是将符合要求的元素取出或进行分组， 再对取出的 元素或分好的组进行排列2不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”【对点训练】1从 6 名同学中选派 4 人分别参加数学、物理、化学

13、、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙 两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有 _ 种（用数字作答）.答案240解析特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4 个人中选择一人参加，有 C 种方案；然后从剩下的 5 个人中选择 3 个人参加剩下 3 科，有A种方案.故共有CA5= 4X60= 240（种）方案.2 将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个 小组由 1名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（）A. 12 种B 10 种C 9 种 D 8 种答案AC2C解析将 4 名学生均分为 2 个小组共有 貞=3（种）分法；将 2 个小组的同学分给 2 名教 师共有A= 2（种）分法，最后将 2 个小组的人员分配到甲、 乙两地有 启=2（种）分法.故不同的安 排方案共有 3X2X2= 12（种）.3某局安排 3 名副局长带 5 名职工去 3 地调研，每地至少去 1 名副局长和 1 名职工，则不（2）有两类情况：其中一所学校3 名教师，另两所学校各一名教师的分法有CA3=60