专题15,三角函数图象与性质（知识精讲）（原卷版）

1、本文格式为word版，下载可任意编辑专题15,三角函数图象与性质（知识精讲）（原卷版） 专题十五 三角函数的图象与性质 学问精讲 一 一 学问结构图 内 容 考点 关注点 三角函数的图象与性质 三角函数的图象 五个关键点 正弦、余弦、正切型函数的最值、单调区间 三角函数的图象与性质 三角函数值比较大小 三角函数单调性 二 二. 学法指导 1解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线 2正、余弦曲线的外形相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到 3用"五点法'画函数 yasin xb(a0)或 yacos xb(a0)在0,2上简图的步骤 (1)列表

2、： x 0 2 、 32 2 sin x (或 cos x) 0(或 1) 1(或 0) 0(或1) 1 (或 0) 0(或 1) y b (或 ab) ab (或 b) b (或ab) ab (或 b) b (或 ab) (2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y 1 )， èæøö2 ，y 2，(，y 3 )， èæøö32，y 4 ，(2，y 5 )，这里的 y i (i1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的 (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数 yasin x

3、b(yacos xb)(a0)的图象 4.用三角函数的图象解 sin xa(或 cos xa)的方法 (1)作出 ya，ysin x(或 ycos x)的图象 (2)确定 sin xa(或 cos xa)的 x 值 (3)确定 sin xa(或 cos xa)的解集 5.求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解 (2)公式法：对形如 yasin(x)或 yacos(x)(a， 是常数，a0，0)的函数，t 2| . (3)图象法：即通过观看函数图象求其周期 6.对于三角函数奇偶性的推断，有时可依据诱导公式先将函数式化简后再推断 7、与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使

4、yasin(x)(a0)为奇函数，则 k(kz)； (2)要使 yasin(x)(a0)为偶函数，则 k 2 (kz)； (3)要使 yacos(x)(a0)为奇函数，则 k 2 (kz)； (4)要使 yacos(x)(a0)为偶函数，则 k(kz) 8.求形如 yasin(x)b 或形如 yacos(x)b 或形如 yatan(x)+b(其中 a0，0，b为常数)的函数的单调区间，留意两点：要把 x 看作一个整体，若 0，先用诱导公式将式子变形，将 x 的系数化为正；在 a0，0 时，将"x'代入正弦(或余弦或正切)函数的单调区间，可以解得与之单调性全都的单调区间；当 a

5、0，0 时同样方法可以求得与正弦(余弦或正切)函数单调性相反的单调区间 9、三角函数值大小比较的策略 (1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到 ëéûù 2 ，2或 ëéûù2 ，32内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到，0或0，内. (2)不同名的函数化为同名的函数. (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小. 10、三角函数最值问题的常见类型及求解方法： (1)yasin 2 xbsin xc(a0)，利用换元思想设 tsin x，转化为二次函数

6、yat 2 btc 求最值，t 的范围需要依据定义域来确定. (2)yasin(x)b，可先由定义域求得 x 的范围，然后求得 sin(x)的范围，最终得最值. 11、求正切型函数 yatan(x)(a0，0)的定义域时，要将"x'视为一个"整体'令 xk 2 ，kz，解得 x. 三 三. 学问点贯穿 点 学问点 1 正弦函数、余弦函数图象的初步熟悉 1.正弦函数 ysin x，xr 的图象叫正弦曲线 2.余弦函数 ycos x，xr 的图象叫余弦曲线 例 1.(1)下列叙述正确的是( ) ysin x，x0,2的图象关于点 p(，0)成中心对称； ycos

7、 x，x0,2的图象关于直线 x 成轴对称； 正、余弦函数的图象不超过直线 y1 和 y1 所夹的范围 a0 b1 个 c2 个 d3 个 （2）函数 ysin|x|的图象是( ) 学问点二 用 用" 五点法' 作三角函数的图象 1.正弦曲线在0,2上的图象的五个关键点(0,0)， èæøö2 ，1 ，(，0)， èæøö32，1 ，(2，0)，。 2.余弦曲线 ycos x 在0,2上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，èæøö2 ，0 ，(，1)

8、， èæøö32，0 ，(2，1)。 题 例题 2 ：用"五点法'作出函数 y1cos x(0x2)的简图 学问点三 三角函数的周期问题及简洁应用 1.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 f(x)，假如存在一个非零常数 t，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xt)f(x)，那么这个函数的周期为 t. (2)最小正周期：假如在周期函数 f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 2正弦函数、余弦函数的周期性 函数 ysin x ycos x 周期 2k(kz 且 k0) 2k(kz

9、 且 k0) 最小正周期 2 2 题 例题 3 .求下列函数的周期： (1)ysin èæøö2x 4； (2)y|sin x|. 学问点四 三角函数奇偶性的推断 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 ysin x ycos x 奇偶性 奇函数 偶函数 题 例题 4 推断下列函数的奇偶性： (1)f(x)sin èæøö 12 x2；(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)； 学问点五 正弦函数、余弦函数的单调性 解析式 ysin x ycos x 图象 单调性 在 ëé 2

10、2k，22k，kz 上单调递增， 在 ëé 2 2k，322k，kz 上单调递减 在2k，2k，kz 上单调递增， 在2k，2k，kz 上单调递减 例题 5.(1)函数 ycos x 在区间，a上为增函数，则 a 的取值范围是_ (2)已知函数 f(x) 2sin èæøö4 2x 1，求函数 f(x)的单调递增区间 学问点六 正弦函数、余弦函数的最值问题 解析式 ysin x ycos x 图象 值域 1,1 1,1 最值 x 2 2k，kz 时，y max 1；x2 2k，kz 时，y min 1 x2k，kz 时，y max 1

11、；x2k，kz 时，y min 1 例题 6 (1)函数 ycos 2 x2sin x2，xr 的值域为_ (2)已知函数 f(x)asin èæøö2x 3b(a0)当 x ëéûù0， 2时，f(x)的最大值为 3，最小值是2，求 a 和 b 的值 学问点七 正切函数的定义域、值域问题 解析式 ytan x 图象 定义域 îíìþýüx ïï xr，且x 2k，kz 值域 r 例题 7.(1)函数 y1tan x è

12、30;øö 4 x4 且x0 的值域是( ) a(1,1) b(，1)(1，) c(，1) d(1，) (2)函数 y3tan èæøö6 x4的定义域为_ 学问点八 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 解析式 ytan x 图象 周期 奇偶性 奇函数 对称中心 èæøök2，0 ，kz 例题 8. (1)函数 f(x)tan èæøö2x 3的周期为_ (2)已知函数 ytan èæøöx 3，则该函数图象的对称

13、中心坐标为_ (3)推断函数 ycos èæøö2 x tan x.的奇偶性： 学问点九 正切函数单调性的应用 解析式 ytan x 图象 单调性 在开区间 èæøö 2 k，2 k ，kz 内都是增函数 例题 9.（1）求函数 y3tan èæøö4 2x 的单调区间 （2）tan 1，tan 2，tan 3，tan 4 从小到大的排列挨次为_ 五 五 易错点分析 易错一 利用函数图象求方程的个数 题 例题 10.在同一坐标系中，作函数 ysin x 和 ylg x 的图象，依据图象推断出方程 sin xlg x 的解的个数 误区警示 画函数的图象时，要留意关键点，找几个关键点，然后连接，进而可得函数的图象。 易错二 比较大小 题 例题 11.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小 (1)sin 196与 cos 156； (2)cos è