虚数数学组卷专题训练

1、菁优网虚数数学组卷专题训练 虚数数学组卷专题训练一解答题（共22小题）1（2011上海）已知复数z1满足（z12）（1+i）=1i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z22（2005上海）在复数范围内，求方程|z|2+（z+）i=1i（i为虚数单位）的解3设虚数z满足|2z+15|=|+10|（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由4已知z2=3+4i，求z36z+的值5当x取何值时，复数z=（x2+x2）i+（x2+3x+2）i（1）是实数？（2）是纯虚数？（3）对应的点在第四象限？6已知复数z=（2m2+3m2）+（m2

2、+m2）i，（mR）根据下列条件，求m值（1）z是实数； （2）z是虚数； （3）z是纯虚数； （4）z=07已知z1，z2是实系数一元二次方程：x2+px+q=0的两个虚根，且z1，z2满足方程：2z1+iz2=1i，求 p，q的值8已知复数z满足，又|z1|+|z3|=4，求复数z9设复数z=lg（m22m2）+（m2+3m+2）i（）若z是纯虚数，求实数m的值；（）若z是实数，求实数m的值；（）若z对应的点位于复平面的第二象限，求实数m的取值范围10已知复数z满足|z2i|3|+|z2i|3=0，求z在复平面上对应的点组成图形的面积11已知复数z=1i复数z的共轭复数为；（1）若，求实数

3、x，y的值；（2）若（a+i）z是纯虚数，求实数a的值12已知复数2i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，（1）求b，c值；（2）若向量、，求实数和t使得13已知复数z=（mR，i是虚数单位）是纯虚数（1）求m的值；（2）若复数w，满足|wz|=1，求|w|的最大值14已知复数Z=1+i（1）求及|w|的值；（2）如果，求实数a，b15设复数z满足4z+2=3+i，=sinicos，求z的值和|z|的取值范围16已知复数z=m2（1+i）m（3+i）6i，（I）当实数m为何值时，z为纯虚数？（）当实数m为何值时，z对应点在第三象限？17课本在介绍“i2=1的几何意义”中讲到：将复平

4、面上的向量乘以i就是沿逆时针方向旋转90°，那么乘以i就是沿顺时针方向旋转90°，做以下填空：已知复平面上的向量、分别对应复数3i、2+i，则向量对应的复数为_；那么，以线段MN为一边作两个正方形MNQP和MNQ，P，则点P、Q对应的复数分别为_、_；点P、Q，对应的复数分别为_、_18设复数z=，若z2+az+b=1+i，求实数a，b的值19设（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若，求证：为纯虚数20已知复数z=m（m1）+（m2+2m3）i，当实数m取什么值时，复数z是：（1）零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i；（4）表示复数z对应的点在第四象限21实

5、数m分别取什么数值时？复数z=（m2+5m+6）+（m22m15）i（1）与复数12+16i互为共轭复数；（2）对应的点在x轴上方22已知复数z=（m22m3）+（m23m4）i，求实数m的值使z为纯虚数虚数数学组卷专题训练参考答案与试题解析一解答题（共22小题）1（2011上海）已知复数z1满足（z12）（1+i）=1i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2考点：复数代数形式的混合运算5085013专题：计算题分析：利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2解答：解：z1=2i设z2=a+2i

6、（aR）z1z2=（2i）（a+2i）=（2a+2）+（4a）iz1z2是实数4a=0解得a=4所以z2=4+2i点评：本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为02（2005上海）在复数范围内，求方程|z|2+（z+）i=1i（i为虚数单位）的解考点：复数的基本概念5085013专题：计算题分析：设出复数z=x+yi（x、yR），代入|z|2+（z+）i=1i，利用复数相等，求出x，y的值即可解答：解：原方程化简为|z|2+（z+）i=1i，设z=x+yi（x、yR），代入上述方程得x2+y2+2xi=1i，x2+y2=1且2x=1，解得x=且y=±，原方程

7、的解是z=±i点评：本题考查复数的基本概念，复数相等，考查计算能力，是基础题3设虚数z满足|2z+15|=|+10|（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由考点：复数求模5085013专题：计算题分析：（1）设z=a+bi（a，bR且b0）则代入条件|2z+15|=|+10|然后根据复数的运算法则和模的概念将上式化简可得即求出了|z|的值（2）对于此种题型可假设存在实数a使R根据复数的运算法则设（z=c+bi（c，bR且b0）可得=+（）R即=0再结合b0和（1）的结论即可求解解答：解：（1）设z=a+bi（a，bR且b0）则|2z+1

8、5|=|+10|（2a+15）+2bi|=|（a+10）bi|=a2+b2=75|z|=（2）设z=c+bi（c，bR且b0）假设存在实数a使R则有=+（）R=0b0a=由（1）知=5a=±5点评：本题主要考查了求解复数的模解题的关键是要熟记复数模的概念：z=a+bi（a，bR）则|z|=!4已知z2=3+4i，求z36z+的值考点：复数代数形式的混合运算5085013专题：计算题分析：设z=a+bi，则 z2=a2b2+2abi=3+4i，解方程求出a、b的值，可得z的值，代入要求的式子化简求得结果解答：解：设z=a+bi，a，bR，则 z2=a2b2+2abi=3+4i，a2b2

9、=3，2ab=4解得 ，或，即 z=2+i，或 z=2i又 z36z+=当z=2+i时，z36z+=当z=2i时，z36z+=点评：本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题5当x取何值时，复数z=（x2+x2）i+（x2+3x+2）i（1）是实数？（2）是纯虚数？（3）对应的点在第四象限？考点：复数的基本概念5085013专题：计算题分析：（1）利用复数z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i是实数时，复数的虚部等于0，求出x值（2）利用复数z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i是纯虚数时，复数的虚部不等于0，且实部等于0，求出x值（3）利用复数z=（x2

10、+x2）+（x2+3x+2）i对应的点在第四象限时，x2+x20，且x2+3x+20，求出x的取值范围解答：解：（1）复数z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i是实数时，复数的虚部等于0，即 x2+3x+2=0，解得x=1 或2（2）复数z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i是纯虚数时，复数的虚部不等于0，且实部等于0，x2+x2=0，且 x2+3x+20，解得 x=1（3）复数z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i对应的点在第四象限时，x2+x20，且x2+3x+20，解得x，故不存在实数x，使复数z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i对应的点在第四象限点评：本题考查复数的实部、虚部

11、的定义，复数与复平面内对应点之间的关系，以及第四象限内的点的坐标的特点6已知复数z=（2m2+3m2）+（m2+m2）i，（mR）根据下列条件，求m值（1）z是实数； （2）z是虚数； （3）z是纯虚数； （4）z=0考点：复数的基本概念；复数相等的充要条件5085013专题：计算题分析：（1）当复数的虚部等于零时，复数为实数，由此求得m的值（2）当复数的虚部不等于零时，复数为虚数，由此求得m的值（3）当复数的实部等于零，且虚部不等于零时，复数为纯虚数，由此求得m的值（4）当复数的实部等于零，且虚部也等于零时，复数等于零，由此求得m的值解答：解：（1）当m2+m2=0，即m=2或m=1时，z为

12、实数；（2）当m2+m20，即m2且m1时，z为虚数；（3）当 ，解得m=，即 m=时，z为纯虚数（4）令，解得 m=2，即m=2时，z=0点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数相等的充要条件，属于基础题7已知z1，z2是实系数一元二次方程：x2+px+q=0的两个虚根，且z1，z2满足方程：2z1+iz2=1i，求 p，q的值考点：复数的基本概念5085013专题：计算题分析：设z1=a+bi，则z2=abi，（a，bR），根据两个复数相等的充要条件求出z1=1i，z2=1+i，再由根与系数的关系求得 p，q的值解答：解：设z1=a+bi，则z2=abi，（a，bR）由已知得：2（a+b

13、i）+i（abi）=1i，（2a+b）+（a+2b）i=1i，z1=1i，z2=1+i，由根与系数的关系，得p=（z1+z2）=2，q=z1z2=2点评：本题考查复数的基本概念，两个复数相等的充要条件，属于基础题8已知复数z满足，又|z1|+|z3|=4，求复数z考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念；复数求模5085013分析：因为，所以，得到，进一步化得：，从而zR（z0）或|z|2=7下面进行分类求解：（1）当zR（z0）时；（2）当|z|2=7时，分别求得复数z即可解答：解：因为，所以，则，所以，即，所以或者，即zR（z0）或|z|2=7（1）当zR（z0）时，|z1|+|z3|

14、=4，所以z=4或者z=0（舍去）；（2）当|z|2=7时，设z=x+yi（x，yR），则x2+y2=7，又|z1|+|z3|=4，由题意可知，根据，可得，所以；综上所述，或者z=4点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数代数形式的乘除运算、复数求模等基础知识，考查运算求解能力，考查与转化思想属于基础题9设复数z=lg（m22m2）+（m2+3m+2）i（）若z是纯虚数，求实数m的值；（）若z是实数，求实数m的值；（）若z对应的点位于复平面的第二象限，求实数m的取值范围考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数的基本概念5085013专题：计算题分析：（）若z是纯虚数，通过虚部不为0，实部为0，

15、即可求实数m的值；（）若z是实数，复数的虚部为0，即可求实数m的值；（）若z对应的点位于复平面的第二象限，虚部大于0，实部小于0，即可求实数m的取值范围解答：解：（）z是纯虚数，（）z是实数，m2+3m+2=0m=1或m=2（）z对应的点位于复平面的第二象限，或点评：本题考查复数的基本概念，复数的分类，考查复数的代数表示以及几何意义，考查计算能力10已知复数z满足|z2i|3|+|z2i|3=0，求z在复平面上对应的点组成图形的面积考点：复数的代数表示法及其几何意义5085013专题：数系的扩充和复数分析：由|z2i|3|+|z2i|3=0，变形为|z2i|3|=3|z2i|，可得|z2i|3

16、上式表示复平面内点z到2i的距离小于等于3的圆面再利用圆的面积计算公式即可得出解答：解：|z2i|3|+|z2i|3=0，变形为|z2i|3|=3|z2i|，|z2i|是实数，|z2i|3上式表示复平面内点z到2i的距离小于等于3的圆面因此此圆的面积为×32=9故z在复平面上对应的点组成图形的面积为9点评：本题考查了复数的几何意义、圆的复数形式及其面积计算公式，属于基础题11已知复数z=1i复数z的共轭复数为；（1）若，求实数x，y的值；（2）若（a+i）z是纯虚数，求实数a的值考点：复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义5085013专题：计算题分析：（1）把z=1i代入，整

17、理后利用复数相等的条件列式求解；（2）把z=1i代入（a+i）z，整理后由实部等于0且虚部不等于0列式求a的值解答：解：（1）=1+i由，得：x（1+i）+1i=y（x+1）+（x1）i=y由复数相等定义；（2）因为（a+i）z=a+1+（1a）i是纯虚数，故点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数相等的条件，是基础题12已知复数2i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，（1）求b，c值；（2）若向量、，求实数和t使得考点：复数的基本概念；相等向量与相反向量5085013专题：计算题分析：（1）、2i的共轭复数2+i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，利用一元二次方程的

18、根与系数的关系求b，c（2）、根据共线向量知对应横纵坐标相等建立方程解之解答：解：（1）、因为2i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，所以2+i也是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，所以：b=（2i）+（2+i）=4，c=（2i）（2+i）=5（2）、，因为，即（4，5）=（8，t），所以，解得：，t=10点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，共线向量等知识点13已知复数z=（mR，i是虚数单位）是纯虚数（1）求m的值；（2）若复数w，满足|wz|=1，求|w|的最大值考点：复数求模；复数的基本概念5085013专题：计算题分析：（1）利用复数的运算法则把z化为

19、（m21）+（m+1）i，再利用纯虚数的定义即可得出m（2）利用复数模的计算公式即可得出a2+（b2）2=1，进而由a2=1（b2）20求出b的取值范围，即可得出|w|的最大值解答：解：（1）复数z=（m21）+（m+1）i是纯虚数，解得m=1m的值是1（2）由（1）可知：z=2i设w=a+bi（a，bR）|w2i|=1，a2+（b2）2=1，（*）|w|=由（*）可知：（b2）21，1b3.|w|的最大值为3点评：熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义、复数模的计算公式、圆的标准方程等是解题的关键14已知复数Z=1+i（1）求及|w|的值；（2）如果，求实数a，b考点：复数代数形式的混合运算；

20、复数求模5085013专题：计算题分析：（1）利用Z=1+i将=化简为=1i，利用其求模公式即可；（2）将化简为a+2（a+b）i，利用两复数相等的充要条件即可求得实数a，b解答：解：（1）Z=1+i，=2i+3（1i）4=1i4|=6（2）=a+2（a+b）i=1i91012点评：本题考查复数代数形式的混合运算，关键在于掌握复数的概念与运算性质，掌握两复数相等的充要条件，属于基础题15设复数z满足4z+2=3+i，=sinicos，求z的值和|z|的取值范围考点：复数求模5085013专题：计算题分析：设出复数z，利用复数相等的条件列出方程组，求出复数z，然后通过复数的模利用两角和与差的三角

21、函数，通过正弦函数的值域，求出复数模的范围即可解答：解：设z=a+bi，（a，bR），则=abi代入4z+2=3+i，得4（a+bi）+2（abi）=3+i，即6a+2bi=3+iz=+i|z|=|+i（sinicos）|=1sin（）1，022sin（）40|z|2点评：本题考查复数的相等的条件的应用，复数的模以及两角和与差的三角函数，正弦函数的值域的应用，考查计算能力16已知复数z=m2（1+i）m（3+i）6i，（I）当实数m为何值时，z为纯虚数？（）当实数m为何值时，z对应点在第三象限？考点：复数的基本概念5085013专题：计算题分析：（I）复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出

22、m的值即可（）对应的点在第三象限就是实部和虚部都是小于0，求出m的范围即可解答：解：复数z=m2（1+i）m（3+i）6i=（m23m）+（m2m6）i（）；解得m=0，复数是纯虚数（）若z所对应点在第三象限则 ，解得0m3点评：本题是基础题，考查复数的基本概念，复数的分类，常考题型，送分题17课本在介绍“i2=1的几何意义”中讲到：将复平面上的向量乘以i就是沿逆时针方向旋转90°，那么乘以i就是沿顺时针方向旋转90°，做以下填空：已知复平面上的向量、分别对应复数3i、2+i，则向量对应的复数为5+2i；那么，以线段MN为一边作两个正方形MNQP和MNQ，P，则点P、Q对应

23、的复数分别为5+4i、6i；点P、Q，对应的复数分别为16i、；44i考点：复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义5085013专题：计算题分析：求出向量对应的复数，设点P（a，b），Q（s，r），当 可以看成把 顺时针旋转90°得到的时， 对应的复数为（5+2i）（i）=2+5i，可得 a3=2，b+1=5，解得a、b的值，即得点P对应的复数根据 对应的复数和 对应的复数相等，求得Q对应的复数当 可以看成把 逆时针旋转90°得到的时，同理可求解答：解：向量对应的复数为 （2+i）（3i）=5+2i，设点P（a，b），Q（s，r），则 可以看成把 逆时针旋转90

24、76;，或把 顺时针旋转90°得到的，当 可以看成把 顺时针旋转90°得到的时， 对应的复数为（5+2i）（i）=2+5i，a3=2，b+1=5，a=5，b=4，P（5，4）由正方形的性质可得 对应的复数和 对应的复数相等，为2+5i，s+2=2，r1=5，s=0，r=6，Q（0，6），故点P，Q，对应的复数分别为：5+4i 和 6i当 可以看成把 逆时针旋转90°得到的时， 对应的复数为（5+2i）i=25i，a3=2，b+1=5，a=1，b=6，P（1，6）由正方形的性质可得 对应的复数和 对应的复数相等，为25i，s+2=2，r1=5，s=4，r=4，Q（4

25、，4），故点P，Q，对应的复数分别为：16i 和44i故答案：5+2i；5+4i； 6i；16i；44i点评：本题考查复数的基本概念，复数与复平面内对应点之间的关系，两个复数代数形式的乘法，体现了分类讨论的数学思想，求出 对应的复数，是解题的难点18设复数z=，若z2+az+b=1+i，求实数a，b的值考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念5085013专题：计算题分析：先将z按照复数代数形式的运算法则，化为代数形式，代入 z2+az+b=1+i，再根据复数相等的概念，列出关于a，b的方程组，并解即可解答：解：z=1iz2+az+b=（1i）2+a（1i）+b=a+b（a+2）i=1+i

26、解得点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，复数相等的概念，属于基础题19设（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若，求证：为纯虚数考点：复数代数形式的混合运算5085013专题：计算题分析：（1）设出复数，根据两个复数之间的关系，写出z2的表示式，根据这是一个实数，得到这个复数，根据条件中所给的取值范围，得到要求的a的取值（2）根据上一问设出的复数，表示出，进行复数除法的运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理变化，得到最简形式，得到这是一个纯虚数解答：解：（1）设z1=a+bi（a，bR，且b0），则z2是实数，b0，有a2+b2=1，即|z1|=1，可得z2=2a，由1z21，得12a1，解得，即z1的实部的取值范围是（2）a，b0，为纯虚数点评：本题考查复数的加减乘除运算，是一个综合题，解题时的运算