第七章 二元一次方程组专题训练

1、第七章 二元一次方程组一单元知识梳理1.二元一次方程:通过化简后,只有未知数,并且所含未知数的项的次数都是的方程,叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做。3.二元一次方程组:共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做。4.二元一次方程组的解: 二元一次方程组中各个方程的,叫做二元一次方程组的解.5.  解二元一次方程组的基本思想是_，即将“二元一次方程组”转化为“一元一次方程”.常用方法有和。6.在二元一次方程组中，由一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种

2、方法叫做_，简称_ .7.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做_，简称_.8.列二元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题目中的等量关系 设：设未知数 列：根据等量关系，列出方程组 解：解方程组，求出未知数 检验：所求出未知数是否符合题意，答：写出答案 9.一次方程与一次函数：以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图像上；一次函数图像上的点的坐标都是对应的二元一次方程的解。10.二元一次方程组和一次函数的图象的关系：方程组的解是对应的两条直线的点的坐标；两条直线的交点的坐标是对应的方程组的解

3、二 专题训练题型一：代入法解方程组例1：方程2x-y=1和2x+y=7的公共解是（）A x=0，y=-1 Bx=0，y=7 C x=1，y=5 D x=2，y=3 分析：此题要求公共解，实质上是解二元一次方程组解答：解:由方程可得：y=2x-1 将代入 ：2x+2x-1=7 ，解之得：x=2，将其代入任何一个方程可以求得y=3则该方程组的公共解为 答案选D例2：解方程组：分析：观察两个方程中，方程中y的系数为1，所以可以变形为y=13-2x，然后再代入方程。解答：解：由方程可得y=13-2x 将代入 ：4x-3（13-2x）=11解之得：x=5，将其代入相对简单的方程可以求得y=3方程组的解为

4、 例3：若与是同类项，则m、n值分别为（）A1，2 B2，1 C1，1 D1，3分析：本题顺带考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关解答：与是同类项，可得方程组：，用代入法可以解得：故选A规律性小结：1.先观察方程组中是否有系数为1的未知项，若有，将该方程变形为x=？或者y=？的样子，然后代入另一个方程中，从而起到消元的作用，化二元一次方程组为一元一次方程。2.若系数不为1，但是化为1时不复杂的，也可以采用代入消元法。题型二：加减法解方程组例4:分析:  经观察发现，(1)和(2)中x的系数都是6，若将两方程相减，便可消去x，只剩关于

5、y的方程，问题便很容易解决、这种方法叫“减法消元”解答：解:由(1)-(2)，得12y=-36，所以y=-3把y=-3代入任意方程可以解得：所以例5、解方程组：分析:  经观察发现，(1)和(2)中y的系数互为相反数，若将两方程相加，便可消去y，只剩关于x的方程，问题便很容易解决、这种方法叫“加法消元”解答：解:(1)+(2)得： 5x = 10所以x=2把x=2代入(2)，得：2 x 2 5y = - 11 解得y = 3例6 分析  方程组中，相同未知数的系数没有相同的，也没有互为相反数的但不难将未知数y的系数绝对值转化为12(4与6的最小公倍数)，然后将两个方程相加便

6、消去了y解：(1)×3，得9x+12y=48                                             

7、60;  (3)(2)×2，得10x-12y=66                                            &

8、#160;          (4)(3)+(4)，得19x=114，所以x=6把x=6代入(1)，得3×6+4y=16，4y=-2，题型三：解方程组提高性习题例7:分析  本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x，y的系数都是100、常数项是200的方程，而此方程与方程组中的(1)和(2)都同解这样，就使问题变得比较简单了解：(1)+(2)，得100x+100y=200，所以x+y=2   

9、                           (3)解这个方程组由(3)，得 x=2-y                    &#

10、160;          (4)把(4)代入(1)，得53(2-y)+47y=112，106-53y+47y=112，-6y=6，所以y=-1例8  已知x+2y=2x+y+1=7x-y，求2x-y的值分析 : 已知条件是三个都含有x，y的连等代数式，这种连等式可看作是二元一次方程组，这样的方程组可列出三个，我们只要解出其中的一个便可求出x和y，从而使问题得到解决解答:解：已知条件可转化为整理这个方程组，得解这个方程组由(3)，得x=y-1   

11、0;         (5)把(5)代入(4)，得5(y-1)-2y-1=0，5y-2y=5+1，所以y=2把y=2代入(3)，得x-2+1=0，所以x=12x-y=0规律性小结：  1.若方程组中两个方程同一未知数的系数相等，则用减法消元；2.若同一未知数的系数互为相反数，则用加法消元；3.若同一未知数的系数有倍数关系，或完全不相等，则可设法将系数的绝对值转4.化为原系数绝对值的最小公倍数，然后再用加减法消元；5.在进行加减特别是进行减法运算时，一定要正确处理好符号；6.方程需要乘某个数时请务必每一项都

12、要乘于该数，切勿遗漏。题型四:例9: 甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？分析：画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程. (2)有两个等量关系：相向而行：汽车行驶 小时的路程拖拉机行驶 小时的路程160千米;同向而行：汽车行驶 小时的路程拖拉机行驶 小时的路程.解答:解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.根据题意，列方程组解这个方程组，得:.答：

13、汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.行程问题规律性小结：(1)根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。(2)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程；(3)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。(4)几个公式”航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度；船在静水中的速度水速船的逆水速度；船的顺水速

14、度船的逆水速度2×水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。例10: 一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？分析：由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；而甲做9天，乙做13天也能完成任务，由此关系我们可列方程组求解解答:解:设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件，根据题意，得解得： 答：甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件工程问题规律性小结：常用公式:工作效率×工作时间=工作量.

15、例11: 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解答:解:由题意可得方程组，解得，因此，此商品定价为200元商品销售利润问题规律性小结：几个公式:(1)利润售价成本(进价)；(2):(3)利润成本（进价）×利润率；利润率是相对于进价而言的，特别注意“利润”和“利润率”是不同的两

16、个概念例12: 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25的教育储蓄，另一种是年利率为2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）分析：设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：解答：解:设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：，解得：答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元. 储蓄问题规律性小结：我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出

17、其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.(2)基本关系式利息本金×利率×期数本息和本金利息本金本金×利率×期数本金× (1利率×期数)利息税利息×利息税率本金×利率×期数×利息税率。 税后利息利息× (1利息税率) 年利率月利率×12 例13: 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成

18、最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1解答:解:设安排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺栓25个，螺母20个，依题意，得解之得:答:故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母配套问题规律性小结：解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：“二合一”问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么一套中甲乙的数量比为a:b，要想生产出来的所有产品配套，就得满足甲乙的总数量之比也为a:b.基本等量关系是：总量各部

19、分之间的比例=每一套各部分之间的比例。例14: 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100xy问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为： 100yx解答: 解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。依题意可得： 解得：答：这两个两位数分别为45，23.数字问题规律性小结：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关

20、概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字例15: 如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？分析：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x、y的二元一次方程组。解答:解：设长方形地砖的长xcm,宽ycm，由题意得：答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm。几何问题规律性小结：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认

21、真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。列二元一次方程解应用题规律方法指导1列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.2 列方程组解应用题的一般步骤：设未知数（可直接设元，也可间接设元），根据题中相等关系，列出方程组，解所列方程组，并检验解的正确性，写出答案.题型五：二元一次方程组与一次函数综合例16: 选择题下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2

22、xy=2的解的是（）A B C D分析：根据两点确定一条直线，当x=0，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象解答：解：2xy=2，y=2x2，当x=0，y=2；当y=0，x=1，一次函数y=2x2，与y轴交于点（0，2），与x轴交于点（1，0），即可得出选项B符合要求，故选：B例17如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是（）ABCD分析：根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案解答：解：由图象可知：一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2的交点P的坐标是（2

23、，3），方程组的解是，故选A例18: 小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1、l2，如图所示，他解的这个方程组是（）ABCD分析：两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组方程组的解因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组解答：解：由图可知：直线l1过（2，2），（0，2），因此直线l1的函数解析式为：y=2x+2；直线l2过（2，0），（2，2），因此直线l2的函数解析式为：y=x1；因此所求的二元一次方程组为；故选D例19: 如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由经过分析:（1）将P（1，b）代入y=x+1即可求出b的值；（2）交点P的坐标即为方程组的解；（3）将P点坐标代入y=nx+m，若等式成立，则点P在函数图象上，否则不在函数图象上解答：解：（1）将P（1，b）代入y=x+1，得b=1+1=2；（2）由