高考数学核心考点透析精选集合与命题不等式

1、第一章 集合与命题考点综述集合与命题是高中数学的基石，高考对这部分知识的考查主要有三个方面：一是集合的概念、关系和运算；二是集合语言与集合思想的运用（如求方程与不等式的解集、函数的定义域和值域等）；三是命题之间的逻辑关系的判断和推理此外与集合有关的信息迁移题、集合与其他知识相结合的综合题都值得高度关注.考查重点是集合与集合之间的关系、条件的判断.其核心考点有：集合的概念及相应关系，集合的运算，命题及充要条件考点1 集合的概念及相应关系典型考法1 与含参数的方程有关的集合问题典型例题已知集合(1)若A是空集，试求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至

2、多只有一个元素，求a的取值范围解析集合A是方程在实数范围内的解集(1)若A是空集，则显然a0，且方程无解，得，即a的取值范围是(2)当a=0时，符合题意；当a0时，必须，此时，符合题意；综上所述，或(3) A中至多只有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素这两种情况，根据(1)和(2)的结果，知a=0或，故a的取值范围是必杀技：用分类讨论的方法解决集合中含参数的方程问题一般地，对于集合，其中，均为实数，当a0时，是一元二次方程的根的集合须注意：若求非空集合中的元素之和，则应分与这两种情形，具体为(1)若，则有两个不等的实根，于是，非空集合中的元素之和为；(2)若，则有两个相等的实根，于是，非

3、空集合中的元素之和为实战演练1已知为单元素集，则实数的取值的集合为2设A=xx2+(b+2)x+b+1=0，bR，求A中所有元素的和3对于函数f(x)，设，(1) 求证：；(2) 若，且，求a的取值范围参考答案1.2当b0时，和为(b+2)；当b=0时，和为13(1)略 (2) 提示：由知：，中元素是方程的实根，由得方程要么没有实根，要么实根是方程的根，易得或，故的取值范围是典型考法2 集合对某种运算的封闭性典型例题设(1)属于的两个整数，其积是否仍属于，为什么？(2)、是否属于，请说明理由解析(1)设，则，且，从而，即属于的两个整数，其积仍属于(2)假设，则存在整数，使，即，由于为偶数，注意

4、到与具有相同的奇偶性，所以均为偶数，其乘积应是4的整数倍，但不是4的整数倍，导致矛盾，故假设不成立，即必杀技深刻理解集合中的元素所具有的性质1要证明，通常应是将运算后得到的结果化为集合中元素所有的特征形式2要证明，通常用反证法实际上，本题还可得到进一步的结果：对任意均为中的元素，而不是中的元素实战演练1设非空集合满足：当时，有给出如下三个命题：若，则；若，则；若，则其中正确命题的个数是（）.A0 B1 C2 D32已知(1)如果，那么是否为的元素，请说明理由；(2)当且时，证明：可表为两个有理数的平方和3已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和

5、若对于任意的，总有，则称集合具有性质（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；（II）对任何具有性质的集合，证明：；（III）判断和的大小关系，并证明你的结论参考答案：1D. 2(1); (2)证略注：任意一个有理数均可表示成（其中为整数且）的形式3（I）集合不具有性质集合具有性质，其相应的集合和是，（II）证略. 提示：由中元素构成的有序数对共有个，且当时，从而，集合中元素的个数最多为，即（III） .提示：对于，这里，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即同理可得

6、，于是便有考点2 子集、集合中的图形典型考法1 子集典型例题设为集合的子集，且，若，则称为集合的元“好集”(1)写出实数集的一个二元“好集”；(2)求出正整数集的所有三元“好集”；(3)证明：不存在正整数集的元“好集”解析(1)，等(2)当时，不妨设，则由可得，注意到且，故，因此，正整数集的三元“好集”只有；(3)当时，不妨设中的最大元素为，则依题设条件，得（），故，即有，则又因为，所以有，即，但另一方面，即，矛盾！也就是说，当时，满足条件的集合不存在必杀技充分利用所给条件1深刻理解概念并其中所给出条件；2在含参数的集合的问题中，往往不能遗漏是的一种情况实际上，在本例中也不存在正整数集的二元“

7、好集”，读者可自行完成期证明过程实战演练1若规定=的子集为的第个子集，其中，则(1)是E的第个子集；(2)的第211个子集是2已知集合，当时，则实数的取值范围是3设全集为，集合满足则与的关系为参考答案1(1)15 ;(2).2 . 提示：（对应地）也符合条件3. 提示：易得，且现设任意，则，即有或若但，则且，这与相违同理可证得：若但，则仍与相违总之，从而，于是典型考法2 集合中的图形典型例题设，问是否存在实数，使得同时满足，且解析假设存在实数a ，b使得同时满足与且，由满足得，存在整数m与n使得(n,na+b)=(m,3m2+15)，即n = m且na+b=3m2+15，消去m得na+b-(3

8、n2+15)=0，又得，a2+ b2144，由此可知点既在直线nx+y-(3n2+15)=0上又在圆x2+ y2=144或其内部，即直线nx+y-(3n2+15)=0与圆x2+ y2=144有公共点，因此，圆心到直线nx+y-(3n2+15)=0的距离小于或等于半径12，即，但，故不成立，即假设不成立，所以，不存在实数a ，b使得同时满足，必杀技：充分挖掘并利用集合中隐藏着的图形关系 本例首先将条件化简，使得相关元素的图形特征更明朗本题也可从代数运算的角度求解，现介绍两种方法，读者可作对比另法一：假设存在实数a ，b使得同时满足与且，由满足得，存在整数m与n使得(n,na+b)=(m,3m2+

9、15)，即n = m且na+b=3m2+15，消去m得na+b-(3n2+15)=0，即3n2- an-b+15=0，于是，它的判别式非负，即a2+12b-1800，由此得，12b-180；又得，a2+ b2144，故，即12b-180，所以(b-6)20，从而b=6，现将b=6代入中得a2108，再代入a2+ b2144中得，a210因此，只有a2=108，即a=，最后将a=及b=6代入方程3n2-an-(b-15)=0得，3n2n+9=0，即n2n+3=0，所以有综上所述，不存在实数a ，b使得同时满足，另法二：假设存在实数a ，b使得同时满足与且，由得，存在整数m与n使得(n,na+b)

10、=(m,3m2+15)，即n = m且na+b=3m2+15，即()，又得，a2+ b2144，将()代入a2+ b2144，得，将其看着关于的一元二次不等式，又，注意到，故，不等式无实数解，即这样的实数不存在，综上所述，不存在实数a ，b使得同时满足，实战演练1设集合，集合，且与是方程的两个实根，则2向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？3设集合，集合，集合，是否存在，使得？若存在

11、，则求出，的值；若不存在，请说明理由参考答案图1-2-11. 提示：借助于数轴分析得：，故，2对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人提示：（如图1-2-1）记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则 (30x)+(33x)+x+(+1)=50，解得x=21 图1-2-23，. 提示：结合与的图像（如图1-2-2），并注意利用，的几何特征，易得，第二章 不等式考点综述不等式是高中数学的重要内容，它渗透到了中学数学的很多章节，在实际问题中被广泛应用，可以说是解决其它数学问题的一种有效工具不等式是高考数学命题的

12、重要内容之一，其核心考点为不等式的性质与证明、不等式的解法（高频）和不等式的应用（利用不等式求最值（高频）借助不等式的基本性质，考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍是高考命题的热点考点1 不等式的性质与证明典型考法1 不等式的性质典型例题已知为实数，满足，则在中().A有且仅有一个为负B有且仅有两个为负C至少有一个为负D都为正数解析 取，则可排除A；再取，则可排除B；假设均非负，则由得，均在0，1中，所以，但这与已知矛盾，故假设不成立，从而中至少有一个为负，即D 错误，选C必杀技 利用不等

13、式的性质 不等式的性质在高考中经常以小题出现，它是证明不等式、解不等式的基础，与函数等知识紧密联系，应予以高度重视（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，则；若，则特别提醒：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论实战演练1已知实数满足，且，设，则（）.ABCD不确定2已知实数a，b满足等式下列五个关系式：0ba

14、ab00abba2m+x对(2，2)内任意恒成立，则实数m的取值范围是参考答案：1C.2. 提示：方法一：设，则，于是问题等价于，解得方法二：由原不等式得，解之得，注意到该不等式对恒成立，故，得取值范围是3. 提示：令，则原题设等价于对内任意实数恒成立，故或典型考法 一元二次不等式典型例题设为实常数，函数(1)当时，试求实数的取值范围；(2)当时，求在上的最小值；当时，试写出的最小值(3)当时，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集解析 (1)因为当时，故，(2)当时，故在的最小值为当时，当时，.综上，当时，(3)当时，由得，当时，；当时，得：讨论得：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为

15、必杀技：利用三个“二次”的关系，注意分类讨论1解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程，保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）求解，这体现了转化与化归的数学思想2解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确3一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型一元二次不等式与相应的函数，方程紧密联系求一般的一元二次不等式或的解集，要结合的根及二次函数图象确定解集一元二次方程，设，它的解按照，可分为三种情况相应地，

16、二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况因此，我们常分三种情况讨论对应的一元二次不等式的解集，如图2-2-1实战演练1若关于的不等式有唯一实数解，则实数2关于x的不等式组的整数解的集合为2，则实数k的取值范围是3要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式和中的一个，求实数的取值范围参考答案：1或.2.3.提示：设，令，则，依题设得，于是本文档节选自华东师大版高考核心考点透析 数学（含光盘）（贺明荣编著）。本书利用独特案例复习法，从每个典型考法中精选一道典型例题，并为你锤炼精妙的必杀技，让你告别低效的知识梳理，然后举一反三，实战演练。另外，随书所附光盘对书中疑难问题配有高清讲解

17、视频。目 录第一章集合考点1 集合的概念及相应关系典型考法1 与含参数的方程有关的集合问题典型考法 集合对某种运算的封闭性考点2 子集、集合中的图形典型考法1 子集典型考法 集合中的图形第二章 不等式考点1 不等式的性质与证明典型考法1 不等式的性质典型考法 比较大小典型考法 算术平均数与几何平均数典型考法 不等式证明的常用方法考点2 不等式的解法典型考法1 一元一次不等式(组)典型考法 一元二次不等式典型考法3分式不等式典型考法4绝对值不等式典型考法5指数不等式与对数不等式考点3 不等式的应用典型考法1 相关最值及函数的值域典型考法 方程的根的分布典型考法 实际应用问题第三章 函数考点1 函

18、数与反函数初步典型考法1 函数的概念典型考法 符号的理解与应用考点2 定义域与函数关系式典型考法1以定义域形式出现的恒成立问题典型考法2已知函数类型，求函数关系式典型考法3已知函数满足某种关系，求函数关系式典型考法4根据实际问题，求函数关系式考点3 最大值与最小值典型考法1函数的最值典型考法2二次函数的最值典型考法3双曲函数的最值典型考法4最值与值域的逆向问题考点4 单调性与奇偶性典型考法1 判断（或证明）含参数的函数的单调性与奇偶性.典型考法2含参数的二次函数的单调性典型考法3挖掘并利用函数的性质典型考法4函数的单调性、奇偶性、最值及值域综合考点5 周期性与图像典型考法1 作图与识图 典型考

19、法 图像变换典型考法3函数周期性与图像对称性典型考法4函数图像与方程典型考法5周期性与抽象函数考点6 幂函数、指数函数与对数函数典型考法1 指数方程与对数方程典型考法2指数不等式与对数不等式典型考法3幂函数、指数函数与对数函数的综合问题第四章 三角比与三角函数考点1 任意角的三角函数与三角变换典型考法1 任意角的三角函数典型考法 同角三角函数关系式的运用典型考法3“和、差、倍、半”角的公式的运用考点2 解三角形典型考法1 三角形的应用题典型考法 三角形的形状判定典型考法3三角形中的最值考点3 三角函数的图像与性质典型考法1 与正弦函数、余弦函数的图像有关的面积问题典型考法2与正弦函数、余弦函数

20、的图像有关的对称问题典型考法3三角函数的最值典型考法4三角中的不等关系典型考法5三角函数综合问题典型考法6含参数的三角方程第五章 数列考点1 等差数列典型考法1等差数列的通项与前n项和典型考法2 判断或证明数列是等差数列典型考法3等差数列的基本性质考点2 等比数列典型考法1等比数列的通项与前n项和典型考法2 判断或证明数列是等比数列典型考法3等比数列的基本性质考点3 数列综合典型考法1 简单递推数列的通项公式典型考法2数列的最大（小）项典型考法数列求和典型考法4数列的应用典型考法5数列与函数的交汇典型考法6数列与圆锥曲线的交汇典型考法7数列与方程的交汇典型考法8数列与不等式的交汇典型考法9数列

21、中的恒成立问题典型考法10数表与数阵典型考法11数列中的研究性问题第六章 平面向量考点1 平面向量的基础典型考法1 考查向量的数量积 典型考法2判断三角形的形状典型考法3向量与三角形的“心”典型考法4向量与三角形的面积典型考法5一个模型及应用 考点2 平面向量与其它知识的整合 典型考法1 平面向量与函数的整合典型考法2平面向量与数列的整合典型考法平面向量与三角的整合典型考法4平面向量与圆锥曲线的整合第七章 直线与圆考点1 直线方程 典型考法1倾斜角和斜率典型考法2直线中的对称与折叠问题 典型考法3与直线有关的最值问题考点2 圆的方程典型考法1与圆有关的轨迹 典型考法2与圆有关的最值典型考法3直线与圆考点3 线性规划 典型考法1最值问题典型考法2 参数问题典