基于人口增长模型的数学建模(DOC)

1、基于人口增长模型的数学建模 (DOC)数学建模论文题 目：人口增长模型的确定专业、姓名：专业、姓名：专业、姓名:人口增长模型摘要随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛 盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了17901980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每 10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic模型（模型2）现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去， Logistic 模型引进常数N表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从

2、实际效果来看，这个公式较好的符合 实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数， 这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测， 通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型 3）进行预测。预测接下来的每 隔十年五次人口数量，分别为 251.4949, 273.5988 , 293.4904 , 310.9222 325.8466。关键词：人口预测 Logistic模型 指数模型一、问题重述1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示 表1人口记录表年份1790180018101820183018401850186018701880人口(

3、106)3.95.37.29.612.917 .123.231.438.650.2年份1890190019101920193019401950196019701980人口(106)62.976 .092 .0106.5123.131.150.179.204.226.277305试用以上数据建立马尔萨斯（Malthus）人口指数增长模型，并对接下来的每 隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。二、问题分析人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源 外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因

4、素有关.可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。人口预测可按预测期长短分为短期预测 （5年以下）、中期预测（520年） 和长期预测（2050年）。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期 预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据 为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实 意义较大。三、问题假设1 .在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害、突发事故 或战争等而受到大的影响；2 .假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则3假设人口增长不受环境最大承受量的限制 四、变量说明t。：数据的起始时间，即1790年

5、t :时间r：人口增长率X :人口常数最大值五、模型建立模型一EJFigure 1-口File Edit View Insert Tools Desktop Window Help曰白昌a3口夏/，ai 口国i 口2502001501005001780 1800 1620 1840 1060 伯加 1900 1920 1M0 196。 1980图一由图1可以发现美国人口的变化规律曲线近似 为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人口 满足函数关系x=f(t), f(t尸ea+bt, a,b为待定常数，根据 最小二乘拟合的原理，a,b是函数E(a,b) n(f(ti) Xi)2 i 1的最小值点。

6、其中Xi是ti时刻美国的人口数。利 用 MATLAB 软件中的曲线拟合程序 a Isqcurvefit ”。模型二上述模型对过去的统计数据吻合得较好，但 也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增 长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增 长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得 越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数 量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因 为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限 制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用， 而 且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人 口最终会饱和，趋于某一个常数 X ,我们假设 人口的静增长率为r(1-x(t)/x )，即人口的

7、静增长 率随着人口的增长而不断减小，当t 时，静 增长率趋于零。按照这个假设，得到dx xr(1 ) 出xx(t0) x0(1)这便是荷兰数学家Verhulst于19世纪中叶提出 的阻滞增长模型(logistic模型)利用分离变量法，人口的变化规律为：x 1 (39x 1)e(i0)r禾用MATLAB 软件中的“IsqcurveEt ”命令 和函数(2)来拟合所给的人口统计数据，从而确 定出(2)中的待定参数r和x。模型三从图5看出，在前一段吻合得比较好，但在 最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人 口的预测应该更好。因此，把用函数(2)来拟合所 给人口统计数据的评价准则略加修改， 看效果

8、如 何。将拟合准则改为：n21min E(a) (f (ti) Xi)2 w (f(ti) x)2 i 1i n 1其中w为右端几个点的误差权重，在此处应 该取为大于1的数，这样会使右边的拟合误差减 小，相应的，其他点的误差会有所增加。如何才 能使这些误差的增减恰当呢？可以通过调整w和n的具体取值，比较他们取各种不同值时的拟 合效果，从而确定出一个合适的数值。六、模型求解 模型一图二a =0.0154 -25.1080 x1 =279.0104 x2 =325.6156 x3 =380.0056 x4 =443.4808X5=517.5587模型二图三a =285.8931 0.0286x1=

9、230.9149x2 =242.5078x3 =252.0148x4 =259.6639x5 =265.7242模型三图四a =388.7178 x1 =251.4949 x2 =273.5988 x3 =293.4904 x4 =310.9222 x5 =325.8466七、结果分析从图二可以看出，模型一对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人 口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长， 这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口 增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、 环境条件等因素不允许人口无限制地增

10、长，它们对人口的增长起着阻滞作用， 而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个 常数。这时模型二比较符合。从图三看，在前 一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将 来人口的预测应该更好。因而用将模型二进行改 进后的模型三拟合，此时后面的值更为拟合，预 测结果更为准确。所以，1990-2030年的人口预 测数目为 251.4949, 273.5988,293.4904, 310.9222, 325.8466 (百万)，经过 与 1990,2000,2010 的实际查找数据(251，281，,3。8.7 ) 比较，误差较小，可以作为预测数据。八、参考文

11、献11姜启源，谢金星，叶俊，数学模型(第三版)，北京：高等教育出2003九、附录一.function f=fun1(a,t)f=exp(a(1)*t+a(2);t=1790:10:1980;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 .92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;plot(t,x,'-*');a0=0.001,1;a=lsqcurvefit('fun1',a0,t,x)ti=1790:5:2040;xi=fun1(a,ti);hold o

12、nplot(ti,xi, '.');t1=1990;x1=fun1(a,t1)t2=2000;x2=fun1(a,t2)t3=2010;x3=fun1(a,t3)t4=2020;x4=fun1(a,t4)t5=2030;x5=fun1(a,t5)hold offx=1790:10:1980;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 7692 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;plot(x,y, '-*');a0=0.001,1;a=lsqcurvefit

13、( 'fun3' ,a0,x,y)xi=1790:5:2040;yi=fun3(a,xi);hold onplot(xi,yi);t1=1990;x1=fun3(a,t1)t2=2000;x2=fun3(a,t2)t3=2010;x3=fun3(a,t3)t4=2020;x4=fun3(a,t4)t5=2030;x5=fun3(a,t5)hold off三.function f=fun4(a)n=16;w=30;x=1790:10:1980;x1=x(1:n);x2=x(n+1:20);y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 7692 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;y1=y(1:n);y2=y(n+1:20);f=fun3(a,x1)-y1,w*fun3(a,x2)-w*y2;t=1790:10:1980;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 7692 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;plot(t,x, '-*')；a0=300,0.