二次函数全集汇编及解析

1、二次函数全集汇编及解析一、选择题1.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(- 1, 2)和点N(1, -2),则下列说法错误的 是()A. a+c= 0B.无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，且函数图象截x轴所得的线段长度必大于2C.当函数在x< L时，y随x的增大而减小102D.当一1vmvnv0 时，m+nv 一a【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可.【详解】解：.函数经过点 M(T, 2)和点N(1, -2),a b+c= 2, a+b+c= 2,a+c= 0, b= 2,，A正确；. c= - a, b= - 2,

2、 . y= ax2 - 2x - a,4+4a2> 0,，无论a为何值，函数图象与 x轴必有两个交点，.2 .- x1+x2= , x1x2= 一 1 ,a | x1 - x2| = 21-2- >2,.B正确;b 1一次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴 x=- =一，2a a当a>0时，不能判定xv1时，y随x的增大而减小;10.C错误;.,一 1 v m< n< 0, a> 0,m+n<0, 2 >0, a2 m+nv ; aD正确，故选：C【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键2.二次函数y

3、= x2+bx的对称轴为直线 x= 2,若关于x的一元二次方程 x2+bx- t= 0 （t为 实数）在-1vxv4的范围内有解，则t的取值范围是（）A. 0<t<5B. - 4&V5C. - 40V0D.4【答案】B【解析】【分析】先求出b,确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx-t = 0的解可以看成二次函数y=x2-4x与直线y=t的交点，-1 v x<4时-4或V 5,进而求解；【详解】解：对称轴为直线 x= 2,.b= - 4, . y= x2- 4x,关于x的一元二次方程 x2+bx- t=0的解可以看成二次函数 y=x2- 4x与直线y=t的

4、交点， 1<x<4,，二次函数y的取值为-4或<5,. . 44V5;故选：B【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键3.抛物线y= x2+bx+3的对称轴为直线 x= 1.若关于x的一元二次方程x2 +bx+3 - t =0 （t为实数）在-2<x<3的范围内有实数根，则 t的取值范围是（）A,12<t<3B.12<t<4C.12<t<4D,12<t<3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y= x2-2

5、x+3,将一元二次方程x2+bx+ 3-t =0的实数根看做是y=- x2- 2x+ 3与函数y=t的交点，再由-2vxv3确定y的取值范围即可 求解 .【详解】解：y = x2 + bx+ 3的对称轴为直线 x= - 1,b = - 2, y=-x2- 2x+3,，一兀二次方程一 x2+bx+ 3-t = 0的实数根可以看做是 y= - x2-2x+3与函数y= t的交 点，当 x= -1 时，y=4;当 x=3 时，y=12,，函数 y= x2-2x+ 3在2vxv3 的范围内一12vyW412<t <4故选：C.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化

6、为二次函数与直线的交点 问题是解题关键.24. 一次函数 y ax bx c（a0）的图象如图所示，下列结论 b2 4ac,abc 0,2a b c 0,a b c 0.其中正确的是（）A.【答案】AB.C.D. 抛物线与x轴由两个交点，则b2 4ac 0 ,即b2 4ac,所以正确；由二次函数图象可知,a 0, b 0, c 0,所以abc 0,故错误;对称轴：直线xb2a1, b 2a,所以 2a b c 4a c,2a b c 4a c0,故错误;对称轴为直线x1,抛物线与x轴一个交点3 xi2,则抛物线与x轴另一个交点0 x2 1 ,当x 1时，y a b c 0,故正确. 【详解】解

7、：:抛物线与x轴由两个交点,. . 2,_ b 4ac 0 ,即 b2 4ac,所以正确； 由二次函数图象可知, a 0 , b 0, c 0,abc 0,故错误；对称轴：直线x 1,2ab 2a,2a b c 4a c, a 0, 4a 0,c 0, a 0 ,2a b c 4a c 0,故错误；对称轴为直线x 1,抛物线与X轴一个交点 3 X12,，抛物线与x轴另一个交点0 x2 1 ,当 x 1时，y a b c 0,故正确.故选：A.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.5.如图是抛物线y=ax2+bx+c （awp的部分图象，其顶点是（1

8、, n）,且与x的一个交点 在点（3, 0）和（4, 0）之间，则下列结论： a -b+c> 0;3a+b=0 ;b 2=4a （c-n）;一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根.其中正确结论的个数是（）耳TA. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1, 0）之间，则当x=-1时，y>0,于是可对进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-b=1,即b=-2a22a,则可对进行判断；利用抛物线白顶点的纵坐标为n得到4ac b =n,则可对进行4a判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点

9、，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对进行判断.【详解】.抛物线与x轴的一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，而抛物线的对称轴为直线 x=1,，抛物线与x轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1, 0）之间.当 x=-1 时，y>0,即a-b+c>0,所以 正确；,抛物线的对称轴为直线x=-A=i即b=-2a2a3a+b=3a-2a=a,所以错误；;抛物线的顶点坐标为（1, n）,4ac b2b2=4ac-4an=4a （c-n）,所以正确；;抛物线与直线y=n有一个公共点，抛物线与直线y=n-1有2个公共点，. 一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实

10、数根，所以正确.故选C.【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键6.如图是抛物线y=ax2+bx+c （aw。的部分图象，其顶点坐标为（1, n）,且与x轴的一 个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，则下列结论： 4 a- 2b+c>0；3 a+b>0；b2 =4a （c-n）;一元二次方程 ax2+bx+c= n-1有两个互异实根.其中正确结论的个数是（ ）6mX=1A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0,对称轴x=1,利用顶点坐标，图象与 x轴的交点情况，对照选

11、项逐一分析即可.【详解】二抛物线与x轴的一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1,，抛物线与x轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1, 0）之间，-1当 x= - 2 时，yv 0,即4a-2b+c< 0,所以 不符合题意；二抛物线的对称轴为直线 x= - = 1, IP b=- 2a,2a3a+b= 3a - 2a= a<0,所以 不符合题意；;抛物线的顶点坐标为（1, n）, . 4ac b2=n,4ab2= 4ac- 4an= 4a （ c- n）,所以 符合题意；抛物线与直线y=n有一个公共点，抛物线与直线y=n- 1有2个公共点，二 一元

12、二次方程 ax2+bx+c=n - 1有两个不相等的实数根，所以 符合题意.故选：B.x=l【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次 函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.7.若平面直角坐标系内的点 M满足横、纵坐标都为整数，则把点 M叫做 整点”.例如: P （1 , 0）、Q （2, - 2）都是 整点”.抛物线 y=mx2-4mx+4m-2 （m>0）与 x 轴交于 点A、B两点，若该抛物线在 A、B之间的部分与线段 AB所围成的区域（包括边界）恰有 七个整点，则 m的取值范围是（）A <m

13、< 1B < m< 1C. 1< m<2D. 1vmv222【答案】B【解析】【分析】画出图象，利用图象可得 m的取值范围【详解】1.1 y= mx2 - 4mx+4m - 2= m （x 2） 22 且 m>0,，该抛物线开口向上，顶点坐标为（2, - 2）,对称轴是直线 x= 2.由此可知点（2, 0）、点（2, - 1）、顶点（2, - 2）符合题意.当该抛物线经过点（1, - 1）和（3, - 1）时（如答案图1）,这两个点符合题意.将（1, - 1）代入 y= mx2- 4mx+4m - 2 得到-1 = m - 4m +4m - 2,解得 m=

14、1.此时抛物线解析式为 y= x2 - 4x+2.1 .一由 y=0 得 x2-4x+2=0.解得 x1 2 0.6, x2 2 22 3.4.2，x轴上的点（1,0）、（ 2, 0）、（3, 0）符合题意.则当 m = 1 时，恰好有（1,0）、 （2,0）、 （3,0）、 （1, 1）、 （3, 1）、 （2, -1）、（2, - 2）这7个整点符合题意. .m<l.【注：m的值越大，抛物线的开口越小， m的值越小，抛物线的开口越大】3答案图1 （m = 1时） 答案图2 （ m=工时）当该抛物线经过点（0, 0）和点（4, 0）时（如答案图2）,这两个点符合题意.此时x轴上的点（1

15、, 0）、（2, 0）、（3, 0）也符合题意.1将（0, 0）代入 y= mx2- 4mx+4m 2 得到 0= 0- 4m+0- 2.解得 m =.2一，,1c此时抛物线解析式为 y= -x2-2x.2，.一131 .，点（1, - 1）符合题意.1.1. 点（3, - 1）符合题意.（1,0）、 （ 2, 0） 、 （ 3, 0） 、 （ 4, 0）、（2, - 1）都符合题意，共有 9个整点符合题当 x=1 时，得 y 1 1 2 1322.一 13当 x=3 时，得 y 9 2 322综上可知：当m =工时，点（0, 0）、2（1, 1）、 （ 3, 1）、 （2, -2）1 m m

16、 =一不符合题.21.m > .2一 广，1综合 可得：当一 vmwi时，该函数的图象与 x轴所围成的区域（含边界）内有七个2整点，故选：B.【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关Ir8.如图是二次函数 y ax2 bx c的图象，有下面四个结论： abc 0；2)a b c 0； 2a 3b 0 ；c4b 0,其中正确的结论是（）斗 1于二一A.B.【答案】D【解析】【分析】C.D.根据抛物线开口方向得到 a 0,根据对称轴x的交点在x轴下方得到c 0,所以abc 0； xb 0得到b 0 ,根据抛物线与y轴2a1时，由图像可知此时 y

17、0,所以a b c 0；由对称轴x 2ay 0,即 4a 2b c 0 ,将 2a 【详解】1一,可得2a 3b 0 ；当x 2时，由图像可知此时 33b代入可得c 4b 0. 根据抛物线开口方向得到a 0,根据对称轴xb 0得到b 0 ,根据抛物线与y 2a轴的交点在x轴下方得到c0 ,所以abc 0,故正确.x 1时，由图像可知此时 y 0,即a b c 0,故正确.b 1由对称轴x ，可得2a 3b 0,所以2a 3b 0错误，故错误； 2a 3当x 2时，由图像可知此时 y 0,即4a 2b c 0 ,将中2a 3b 0变形为2a 3b,代入可得c 4b 0,故正确.故答案选D.【点睛

18、】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。9.将抛物线y=x2- 4x+1向左平移至顶点落在 y轴上，如图所示，则两条抛物线 .直线y =-3和x轴围成的图形的面积 S （图中阴影部分）是（A, 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】B, C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接 OC, AB,阴影部分的面积就是平 行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线y=x2-4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3),向左平移至顶点落在 y轴上，此时顶点B(0,- 3),点A是抛物线与x轴的一个交点，连接 OC, AB,如图，阴影部分的面积就是ABC

19、O的面积，S=2X 3=6故选：B.【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键.C, .若二次函数y ax2 2ax c的图象经过点(-1, 0),则方程ax2 2ax c 0的 解为()A.Xi3,x21B,X 1 ,x23C.x 1 ,x23 D. X 3,x21【答案】C 【解析】【分析】【详解】,一二次函数y ax2 2ax c的图象经过点(-1, 0),，方程ax2 2ax c 0一定有 一个解为：x=-1, ,抛物线的对称轴为：直线 x=1, ,二次函数y ax2 2ax c的图象 与x轴的另一个交点为：（3, 0） , 方程ax2 2ax

20、c 0的解为：X 1 , X2 3 .故选C.考点：抛物线与x轴的交点.11.已知二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A. ac>0B. b>0C. a+cv0D. a+b+c=0【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】A.由图象可知：a<0, c>0, .ac<0,故A错误；B.由对称轴可知：x= 包<0,2a .b<0,故B错误；C.由对称轴可知：x= = - 1, 2a.b= 2a,x= 1 时，y= 0,a+b+c= 0,c= - 3a,a+c= a-3a= - 2a>0

21、,故 C错误;故选D.【点睛】 本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型.12.二次函数y=ax2+bx+c （aw。的图象如图，给出下列四个结论：4ac-b2<0；D4a+cv2b；3b+2cv0；m （am+b） +b< a （m-1）,其中正确结论的个数是（）C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：:抛物线和b2- 4ao0,- 4ac- b2< 0,对称轴是直线x轴有两个交点,正确；x-1,和x轴的一个交点在点（0, 0）和点（1,0）之间,，抛物线和x轴的另一个交点在（-3, 0）和（-2, 0）之间, .把（-

22、2, 0）代入抛物线得：y=4a - 2b+c>0, .4a+c>2b, 错误；;把（1,0）代入抛物线得：y=a+b+cv 0,.2a+2b+2c<0,b=2a,.3b, 2c<0, 正确；.抛物线的对称轴是直线 x=- 1, .y=a - b+c的值最大，即把（m, 0） （ mo）代入得：y=am2+bm+c<a- b+c, am2+bm+b < a,即 m （am+b） +b< a,正确；即正确的有3个，故选B.考点：二次函数图象与系数的关系13.如图，已知将抛物线 边界），在这个区域内有点”）.现将抛物线y ay x2 1沿x轴向上翻折与所得

23、抛物线围成一个封闭区域（包括5个整点（点M满足横、纵坐标都为整数，则把点 M叫做整2x 12 a 0沿x轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有 11个整点，则a的取值范围是（）B.aA. a 1彳 1C.1 a -2D.1 a -2画出图象，利用图象可得 m的取值范围，该抛物线开口向下，顶点 （-1, 2）,对称轴是直线x=-1.点（-1,2）、点（-1 , 1）、点（-1,0）、点（-1,-1）、点（-1, -2）符合题意，此时 x轴.上的点（-2, 0）、（0, 0）也符合题意，2将（0, 1）代入 y a x 12 a 0 得到 1=a+2.解得 a=-1.2

24、1将。，0）代入 y a x 12 a 0 得到 0= 4a+2.解得 a=-2.有11个整点，.点（0, -1）、点（-2,-1）、点（-2,1）、点（0, 1）也必须符合题意.1综上可知：当-1 a<-时，点（-1, 2）、点（-1, 1）、点（-1,0）、点（-1, -1）、点（-1, -2）、点（-2,0）、（0, 0）、点（0, -1）、点（-2, -1）、点（-2, 1）、点（0,1）,共有 11 个整点符合题意，故选：D.【点睛】x轴的交点的求法，利用图象解决问题本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与 是本题的关键.14.二次函数y ax2 bx c（a,b,c是常数

25、，a 0）的自变量x与函数值y的部分对应 值如下表：x21012y ax2 bx ctm22n1且当x 2时，与其对应的函数值y 0.有下列结论：abc 0； 2和3是关于20x的方程ax bx c t的两个根；0 m n .其中，正确结论的个数是（）3A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解.【详解】 由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2,， b 1 抛物线的对称轴是：x=-=-;2a 2，a、b 异号，且 b=-a； 当 x=0 时 y=c=-2.c 0abc 0,故正确；;根据抛物线的对称性可得

26、当x=-2和x=3时的函数值相等都为t 1- 2和3是关于x的方程ax2 bx c t的两个根；故 正确；. b=-a, c=-22，二次函数斛析式：y ax -ax-2、“1丁当x 2时，与其对应的函数值y 0.,38 一 a 2 0 , . a ；43当x=-1和x=2时的函数值分别为 m和n,m=n=2a-2,20m+n=4a-4 一 ；故错误3故选：C.【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量X与函数值y的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键.15.若用“展

27、示一种运算规则，我们规定：a*b= ab-a+b,如：3*2 =3X2- 3+2= 5.以下说法中错误的是()A.不等式(-2) * (3-x) <2的解集是xv 3B.函数y= (x+2) *的图象与x轴有两个交点C.在实数范围内，无论 a取何值，代数式a* (a+1)的值总为正数D.方程(x- 2) *3=5的解是x= 5【答案】D【解析】【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A;根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B;根据题目中所给的运算法则可得a*(a+1) = a (a+1) - a+ (a+1) =a2+a+i= ( a+ ) 2

28、+ > 0,由此即可判定选项 C;根据24题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.【详解】-.1 a* b= ab - a+b,(- 2) * (3 - x) = (- 2) X (3 - x) - (- 2) + (3-x) =x-1, ( - 2) * (3-x) < 2,- x- 1<2,解得x<3,故选项A正确；y= (x+2) *x= (x+2) x- (x+2) +x= x2+2x-2,，当 y= 0 时，x2+2x- 2=0,解得，x1= - 1+ J3 , x2= - 1 - J3 ,故选项 B 正确；-.1 a* a a+1) = a (a

29、+1) - a+ (a+1) = a2+a+1 = ( a+ ) 2+ > 0,24在实数范围内，无论 a取何值，代数式 a* (a+1)的值总为正数，故选项 C正确;. (x-2) *3 = 5,( x-2) X 3- (x-2) +3=5,解得，x=3,故选项D错误；故选D.【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键16.若 A (4, y1 ) , B (-3, y2), c (1, y3)为二次函数 y=x2+4x m 的图象上的三点，则yi, y2, y3的大小关系是（）a.yi<y2<y3b.y3yiy2c.心< 小

30、 < y d.小 < 介< 刈【答案】C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可.【详解】解：yi= （-4） 2+4X （-4）m =16-16 m = m,y2= （-3） 2+4X（-3）m =9-12 m = 3 m ,y3=i2+4x m 1=1+4 m =5 m ,. -3 m v m <5 m ,1- y2V yK y3.故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m的影响.17.二次函数y= - x2+mx的图象如图，对称轴为直线 x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx- t=0

31、 （t为实数）在1vxv5的范围内有解，则t的取值范围是（-5<t <4【解析】【分析】先根据对称轴x=2求得m的值，然后求得 x=1和x=5时y的值，最后根据图形的特点，得 出直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线 y=4.【详解】.抛物线的对称轴为 x= 2,如图，关于x的一元二次方程-x2+mx - t=0的解就是抛物线 y= - x2+mx与直线y=t的交点的横坐标当 x=1 时，y=3,当 x=5 时，y= - 5,由图象可知关于 x的一元二次方程-x2+mx- t=0 （t为实数）在1vxv 5的范围内有解， 则直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线

32、 y=4,- 5<t<4故选：D.【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x轴（或某直线）有交点.18.如图，抛物线y=ax2+bx+c （aw。与x轴交于（-1, 0） , （3, 0）两点，则下列说法： abcv0； a-b+c=0；2 a+b=0；2 a+c>0；若 A （x1，y1），B （x2, y2） , C（x3, y3）为抛物线上三点，且 -1vxiX2V1, x3>3,则y2Vy1Vy3,其中正确的结论是B.C.D.【答案】D【解析】【分析】abcv0,由图象知c< 0, a、b异号，所以， 错误；a -b+c

33、=0,当x=-1时，y=a-b+c=0,正确；2a+b=0 ,函数对称轴 x=- =1,故正确；2a+c>0,由、知:2a3a+c=0,而-a<0,，2a+cv 0,故错误； 若 A(x1,y1) , B(x2,y2),C (x3,y3)为抛物线上三点，且-1<xi<x2<1, X3>3,则y2yivy3,把A、B C坐标大致在图上标出， 可知正确.【详解】解：abc <0,由图象知c< 0, a、b异号，所以，错误；a -b+c=0,当 x=-1 时，y=a-b+c=0,正确；2a+b=0 ,函数对称轴 x=-L=1,故正确；2a 2a+c>0,由、知：3a+c=0,而-a<0,. 2a+cv 0,故错误；若 A(x1，y1), B(x2,y2), C (x3,y3)为抛物线上三点，且-1vx1Vx2<1,x3>3,则y2vy1y3,把A、B、C坐标大致在图上标出，可