10随机变量的离散型期望与方差 简单难度 讲义

1、随机变量的离散型期望与方差 引入 某射手射击所得环数的分布列如下 X 命中环数4 5 6 7 8 9 10 P 命中概率 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 思考：我们能否通过计算，预计该射手n次射击的平均环数？ 解读 离散型随机变量的期望与方差 1、离散型随机变量的数学期望 xxxX，这些，所有可能的取的值是，（1）定义：一般地，设一个离散型随机变量n12pppE(x)?xp?xp?L?xp，叫做这个离散型随机变，值对应的概率是，则n12n21n12X的均值或数学期望（简称期望） 量（2）离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 E(a

2、X?b)?aE(X)?b. 3）根据数学期望的概念及前面所学知识，我们可以得到（4）期望的性质有哪些？ E(C)?CE(aX?b)?aE(X)?bCX 为常数）；若（是随机变量，则视野：我们知道离散型随机变量的分布列和数学期望都可以用来刻画随机变量，你能说出分布列与数学期望的关系吗？ E(x)?xp?xp?L?xp；答：期望是建立在分布列的基础上的，其关系式为 n2n211离散型随机变量的分布列和期望虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者大有不同。 分布列之给出了随即变量取所有可能值的概率，而期望却反映了随机变量取值的平均水平。 2、离散型随机变量的方差 xxxX，这些值对应的，1（）一

3、般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，n21222D(X)?(x?E(x)p?(x?E(x)p?L?(x?E(x)pppp概率是，叫做，则n11n22n12X的方差 这个离散型随机变量2）离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离（ 散程度） )XD(3D(x)叫做离散型随机变量（的标准差，它也是一个衡量离散型）的算术平方根X 随机变量波动大小的量4. ）方差与标准差越小，稳定性越高，波动越小（5 ）方差的性质：（D(C)?0C 为常数）（2a，b)aXD(，D(aX?b)?E(aX?b)aE(X)?b 为随机变量，为常数，则；X 视野：期望与方差的关系是

4、什么？答：方差是随机变量的另一个重要的数字特征，它表现了随机变量所有值的相对于它的期望 的集中于离散程度。由方差的定义可知，方差是建立在期望这一概念之上的。3、典型分布的期望与方差： （1）二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次npX二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为 npX（2）二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，nnp)?XE(pX )p?1?)D(x?npq(q（3）超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则n，MNXnMn(N?n)(N?M)M， ?E(X)?(DX) 2(NN?1)N 典例精讲 一选择题（共15小题） 1

5、（2018?城中区校级模拟）从某企业生产的某种产品中抽取若干件，经测量得这些产品的一项质量指标值Z服从正态分布N（200，150），某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，则E（X）等于（ ） 2），则P（Z+）12.2若ZN（，=0.6826，P（2150附： Z+2）=0.9544 A34.13B31.74C68.26D95.44 1）（ 2D（3+）=，?2（2017春黄骅市校级期中）若随机变量B（5），则 316101010DABC 339 3（2017春?钦南区校级期中）甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目

6、标的概24率为，乙命中目标的概率为，若命中目标的人数为X，则D（X）等于（ ） 3585868889ABCD 225225225225 4（2017春?开福区校级月考）已知B（n，0.3），D=2.1，则n的值为（ ） A10B7C3D6 ）的概率分布如下，且xE（x?20175（春和平区校级期末）已知某一随机变量）a=5.9，则的值为（ 94ax p0.50.2b C7B6DA58 6（2017春?广安期末）节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如下表所示的分布： X2003004

7、00500 0.150.300.20P0.35 若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ） A706元B690元C754元D720元 个黄球，个红球和7（2016春?金溪县校级月考）一个袋子里装有大小相同的32）从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（ 5465DCAB 4565 8（2016?永州一模）某种定点投篮游戏的规则如下：每人投篮10次，如果某同学某次没有投进，则罚该同学做俯卧撑2个现有一同学参加该游戏，已知该同学在该点投篮的命中率为0.6，设该同学参加本次比赛被罚做俯卧撑的总个数记为X，则X的数学期望为（ ） A4B6C8D12 ）（YEY，+设X金台区期末）春（92016

8、?已知的分布列为：Y=6X1则的数学期望）的值是（ 1X01 11aP 62291B0?C1DA 6 36 10（2016春?陕西校级期末）某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c（a、b、c0，1），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ） 1111DCAB 12623 11（2016春?天津期末）已知某一随机变量X的概率分布如下，且E（X）=6.9，则a的值为（ ） X4a9 0.5m0.2P B6C7D8A5 ?，P（A）?武威校级期末）设一随机试验的结果只有A和=p，令（122016春，

9、出现?1，则X的方差为（ ）随机变量?= 不出现，?0Cp（1App）Dp（1p）B2p（1p） 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，?河南期末）一牧场有10春（132016）已知该病的发病率为等于（D0.02设发病的牛的头数为，则 BA0.8C0.196D0.20.804 14（2015春?泸州期末）甲、乙两个样本，甲样本数据的方差为0.4，乙样本数据的方差为0.2，则甲、乙两个样本数据的波动大小是（ ） A乙的波动比甲大 B甲波动比乙大 C甲、乙波动一样大 D甲、乙波动的大小无法比较 1115（2015春?遵义校级期末）已知XB（n，），YB（n，），且E（X）=15， 23则E（Y）=（

10、 ） A15B20C5D10 小题）6二填空题（共 ，X）=100=200（X），D（E，春16（2018?聊城期末）随机变量XB（np），且 则p等于 ?，=P?17（2016春淮安校级期中）已知随机变量X的分布列为（X=k）k=1（ 2?，则 a等于 ），234 天宁区校级模拟）在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本182011?（则估计总体的标准后进行分析，100中的每个数据除以，得出新样本方差为3差为 19某市准备从7名报名者（其中男4人，女3人）中选3人参加副局长职务竞选设所选3人中是女生的人数为X，则X的数学期望为 20将4份文件放入3个盒子中，随机变量X表示盒子中恰有文件的

11、盒子个球，则E（X）= 21用红、黄、蓝、绿、紫五种不同的颜色填充到如图所示的图形中，每格只填一种颜色，相邻两格不同色，记为填充色为红色的格数，则P（=2）= 小题）三解答题（共5 名10020112014?广州模拟）某高校在年的自主招生考试成绩中随机抽取22（组3），第802组，8575学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，80），第得到的频率分布直方图如图所100组95，904组，95），第5，第85，90）示 组的频率；5，4，（）分别求第3 名学生进入组中用分层抽样抽取6，3，45若该校决定在笔试成绩高的第（）第二轮面试， ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第

12、二（A轮面试的概率； 组中4的面试，第名学生中随机抽取62名学生接受考官D）学校决定在这（B的分布列和数学期望D有名学生被考官面试，求 然后做成肉丸子以斤的价格从市场购进某种肉品若干，元/23某食堂每天以15斤卖给/1元20元/斤的价格出售如果当天肉丸子未售完，剩下的肉丸子以每斤肉丸子的加工成本为斤肉丸，已知该食堂可将每斤肉加工成1.2养猪场元2 （单位：元）关于当天肉丸y15斤肉品，求当天的利润（1）若该食堂某臼买进（单位：斤）的关系式；子需求量x ，整理得下表：100天肉丸子的日需求量（单位：斤）（2）该食堂记录了 20181914151617日需求量 11142015151510频数 若

13、食堂某天购天记录的肉丸子各需求量的频率作为各需求量发生的概率以100的分布列、数学期望X表示当天的利润（单位：元），求15进斤肉品，X 是的联合概率分布为YX与24设 210 1120 15552101 155）（）|（）（试求：1PY1X=0；2Z=X）相关系数3的概率分布；Y+（ XY 25某校拟举办“成语大赛”，高一（1）班的甲、乙两名同学在本班参加：“成语大赛”选拔测试，在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）的茎叶图如图所示： （1）你认为选派谁参加更好？并说明理由； （2）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X，求随机变

14、量X的分布列和数学期望E（X） ，为纪念著名京剧表演艺术国家级非物质文化遗产”京剧是我国的国粹，是“26梅位“我爱京剧的一期比赛中，2家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台位剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目贵妃醉4派”传人和传”位大众评委和“梅派酒选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大401）此栏目编导对本期的“人的朋友猜测哪两位是真正的梅派”传人，（众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据凋查得到的数据如下： 合计一般爱好者 京剧票友 25 10 15岁以上50 15 312 岁以下50 40 22 18 合计 可以认为年龄的大小与对京剧知识在犯错误的概率不超过多少

15、的前提下，试问：的了解有关系？ 传人，”梅派）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出22位“（分布列与期望xx5或猜出人后就终止，记本轮竞猜次，求随机变量 0.50 0.400.25 0.150.10 0.7081.323 0.4552.0272.706 0.010 0.025 0.050.0050.001 5.024 7.879 3.841 6.63510.828 2?(?)2=参考公式：K (?+?)(?+?)(?+?)(?+?) 归纳总结 离散型随机变量的期望与方差 1、离散型随机变量的数学期望 xxx1，这些）定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，（，Xn12

16、pppE(x)?xp?xp?L?xp，叫做这个离散型随机变，值对应的概率是，则n21n212n1 量的均值或数学期望（简称期望）X离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2、离散型随机变量的方差 xxx1，这些值对应的（，）一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，Xn12222ppppx)?(xE(LE(Ex?(x)p?x?(x)p?()(DX?叫做，则，概率是，n12n211n2这个离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于X 期望的平均波动的大小（离散程度） )(XDD(x)叫做离散型随机变量的标准差，的算术平方根它也是一个衡量离散型随X 机变量波动大小的量 3、期