带电粒子在磁场中的运动习题

1、M0N带电粒子在磁场中的运动【例1】圆心为0、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的0/处有一竖直放置的荧屏 MN ,今有一质量为 m的电子以速 率v从左侧沿OO，方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏 上之P点，如图3所示，求0, P的长度和电子通过磁场所用的 时间.【例2】如图所示，MN为一竖直放置足够大的荧光屏，距荧光屏左边I的空间存在着一宽度也为 I、方向垂直纸面向里的匀强磁强。0为荧光屏上的一点，00 与荧光屏垂直，一质量为 m、电荷量为q的 带正电的粒子(重力不计)以初速度V0从0点沿00方向射入磁场区域。粒子离开磁场后打

2、到荧光屏上时，速度方向与竖直方向成 角。(1) 求匀强磁场磁感应强度的大小和粒子打在荧光屏上时偏离的距离；(2) 若开始时在磁场区域再加上与磁场方向相反的匀强电场(图中未画出)，场强大小为E，则该粒子打在荧光屏上时的动能为多少300 点fj工 X二 4 TtK X X XM X K X（磁感应智Vqk【例3】一质量为 m、带电量为q的带电粒子以某一初速射入如图所示的匀强磁场中 强度为B,磁场宽度为 L），要使此带电粒子穿过这个磁场，则带电粒子的初速度 应为多大？【例4】如图所示，在垂直 xoy坐标平面方向上有足够大的匀强磁场区域，其磁感强度B= 1 T, 一质量m= 3X 10 T6 kg、电

3、量为q=+1X10七的质点（其重力忽略不计），以v= 4X Wm/s速率通过坐标原点O,之后历时4nX 10 8 s飞经x轴上A点，试求带电质点做匀速圆周运动的圆心坐标，并在坐标系中画出轨迹示意图【例5】如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相 反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域I、n中，A2A4与AiA3的夹角为600.一质量为m、带电量为+q的粒子以某一速度从I区的边 缘点Ai处沿与AiA3成300角的方向射入磁场，随后该粒 子以垂直于 a2a4的方向经过圆心 0进入n区，最后再从 A4处射出磁场.已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间 为t,求I区和n区中磁

4、感应强度的大小（忽略粒子重力）.A1 二_；* / +/ + *:+J:+A J.”-图/片* t:+ / +/_60o_+n yA3直于平面向外的匀强磁场。现有一质量为 方向从坐标为 轴方向夹角为（1）粒子从（2）粒子从【例6】如图所示，在xoy坐标平面的第一象限内有沿一y方向的匀强电场，在第四象限内有垂m,带电量为+ q的粒子（重力不计）以初速度V0沿一x（31, I）的P点开始运动，接着进入磁场后由坐标原点0射出，射出时速度方向与 y45,求：0点射出时的速度 v和电场强度 P点运动到0点过程所用的时间。hP1-【例7】如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场， 左侧匀强电场的

5、场强大小为E方向水平向右，其宽度为L;中间区域匀强磁场的磁感强度大小为B方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感强度大小也为 B方向垂直纸面向里.一个带正电的粒子（质量 m,电量q,不计重力）从电场左边缘a点由静止开始运动，穿过中间 磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了a点，然后重复上述运动过程.求：中间磁场区域的宽度 d.带电粒子从a点开始运动到第一次回到 a点时所用的时间t.【例8】如图甲所示，MN为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d,两板中央有一个NO乙图1小孔OO正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示.有一群 正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场

6、， 已知正离子质量为 m、带电量为q,正离子在磁场 中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度的变化周 期都为T0.不考虑由于磁场的变化而产生电场的影 响，不计离子所受重力.求：（1）磁感应强度Bo的大小；和方向竖直向上的匀强电a，它运动到最低点处恰与原 ，碰后两（2）要使正离子从 O孔垂直于N板射出磁场， 正离子射入磁场时的速度 V0的可能值.Ea 0, 0x0，xa的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在0点出有一小孔,一束质量为m、带电量为q (q0)的粒子沿x周经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值

7、。已知速度最大的粒子在0xa的区域中运动的时间之比为2 : 5,在磁场中运动的总时间为7T/12 ,其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围XX :-XhllX :hXIIIX i -1XX i1XX i yO(不计重力的影响)。25. (2007)两屏幕荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别去垂直于两屏交线的直线为25. (2008)如图所示，在坐标系 xOy中，过原点的直线限内有一匀强磁场，其上边界与电场边界 重叠、右边界为y轴、左边界为图中平行于 y轴的虚线，磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。一带正电荷 q、质量为m的粒子以某一速度自磁场

8、左OC与x轴正向的夹角0 =120。，在OC右侧有一匀强电场；在第二、三象边界上的A点射入磁场区域，并从 O点射出，粒子射出磁场的速度方向与x轴的夹角0 = 30 ，大小为V。粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且 弧的半径为磁场左右边界间距的两倍。粒子进入电场后，在电场力的作用下又由O点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场。已知粒子从A点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒 子在磁场中做圆周运动的周期。忽略重力的影响。求Ay(1 )粒子经过A点时速度的方向和 A点到x轴的距离；1|(2) 匀强电场的大小和方向；(3) 粒子从第二次离开磁场到再次进入电场时所用的时间。*ihi参考

9、答案【例1】解：电子所受重力不计.它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为 迹AB所对的圆心角为0，电子越出磁场后做速率仍为/ OAOB OBO同一直线上，且/Ov的匀速直线运动，又 OA丄O A，故 OB丄O B,由于原有 BP丄OO / OP= / AO B= 0，在直角三角形OO /，半径为R圆弧段轨 如图所示，连结OB,B，可见O、B、P在P 中，O / P=(L+r)tan 0，而tans2tan1-tan2)2tan()= = ,所以求得R后就可以求出 O/ P 了，电子经过磁场的时间可用2 RABt= 一V罟来求得.BemV!得Rm/R=mV OP =(L + r)ta n9 eB2 R

10、 mV62ta n(ntan =21 -tan2()22eBrmV= m2V2 -e2B2r2O,P =(L+r)tan2(2V；r)eBBmV2 m V -e B r d2eBrmV0 =arctan( _)mV -e B r甲 m , 2eBrmV 、t =厂-arctan()V eBm V -e B rMON图【例2】解：(1)粒子从O点射入，P点射出，沿直线运动到荧光屏上的S点，如图所示，由几何关系可知，粒子在磁场中作匀速圆周运动转过的圆心角0 =60运动轨道半径为:R =sin 60qvB2v=m一r（2）再加上电场后，根据运动的独立性，带电粒子沿电场方向匀加速运动，运动加速度qEa

11、 =m71R7Td粒子在磁场中运动时间为：2兀mqB1T- v2兀R22兀mqB2设圆形区域的半径为 r,如答图 连接AiA2, A1OA2为等边三角形，5所示，已知带电粒子过圆心且垂直A3A4进入n区磁场,A2为带电粒子在n区磁场中运动轨迹的圆心，其半径：某些方面 R=OA2 =r圆心角NAA2O =60,带电粒子在I区磁场中运动的时间为带电粒子在n区磁场中运动轨迹的圆心在0A的中点，即:在“区磁场中运动时间为：1=产带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间:t =ti +t2由以上各式可得Bl =6 qt【例6】解：根据题意可推知：带电粒子在电场中作类平抛运动，由 作匀速圆周运动，最终由 0点

12、射出。(轨迹如图所示)Q点时速度大小为 V,Q点进入磁场，在磁场中(1)根据对称性可知，粒子在vcos45= V0方向与一x轴方向成45。则有:解得：v = J2v0在P到Q过程中:qEI Jmv221-mv22解得E二空02ql(2)粒子在Q点时沿P到Q的运动时间方向速度大小 Vy = vsin45tiVyVyqEP到Q沿一x方向的位移为：S=V0t1则0Q之间的距离为：0Q = 31 S粒子在磁场中的运动半径为 r，则有:V2r ：= l粒子在磁场中的运动时间1 2町t2 =v粒子在由P到Q的过程中的总时间T= tl + t2由解得:兀 丨丁=(2+歳【例7】解：(1)电场中加速，由动能定

13、理得 qEL2mV磁场中偏转，由牛顿第二定律得2v qvB =m r马* J01J*1 (2mELmv r =一 qB如图，三段圆弧的圆心组成的三角形OQQ是等边三角可见在两磁场区粒子运动半径相同, 形，其边长为2r二 d =rsin601 6mEL(2)电场中,ti2v 2mv c j2mLTIE2帰中间磁场中,t2= 2xTS6 3qB_ 5兀m3qB右侧磁场中,则 t =ti +t2 +t3十7兀m3qB【例8】解：碰撞前a做曲线运动，电场力和重力做功，获得速度V, a、b碰撞动量守恒，碰后合液滴竖直方向合力为零，沿水平方向匀速直线运动.设a电量为一4q,质量为2m, b电量为q，质量为

14、 m1 碰前对a由动能定理：2mgh+4Eqh =mw对b碰前有：qE=mga、b碰撞，动量守恒2m = (2m +m)v2碰后合液滴水平直线，力平衡，总电量-3q ,质量3m(4)f 洛=3mg +3Eq3Bqw =3mg+3Eq由联立得h3E22Jim【例9】解析：(1) Bo =；详解略.qTo要使粒子射出时满足题设应有：d = n 4R,n =1,2,3,2由牛顿第二定律得：qvBo = mvo / R由以上两式得：v0 =Jid2nT0(n =1,2,3 )17. (16 分)(1)设两板间电压为 U时，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有dJat22 2=1器(+)2 ；代入数据，

15、解得：U=100V在电压低于100V时，带电粒子才能从两板间射出，电压高于 100V时，带电粒子打在极板上，不能 从两板间射出。粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为V1，则有:2mv2 =1mv0 +q 牛； 解得：Vj =72x105m/s=1.414 X 105m/s(2)设粒子进入磁场时速度方向与OO的夹角为0，则速度大小V=CV ,粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径R _ mv _ mv) qB qBcosT，粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离2mvos=2Rco心甫代入数据，解得s=0.4m,与0无关，即射出电场的任何一个带电粒子进入 磁场的入射点与出射点

16、间距离恒为定值。(3)粒子飞出电场进入磁场，在磁场中按逆时针 方向做匀速圆周运动。粒子飞出电场时的速度方向V072与OO的最大夹角为 a, cosa=wV12a =45。当粒子从下板边缘飞出电场再进入磁场时，在磁场中运动时间最长,tmax =3T 3 Tm- -6=3n X 10 s=9.42 X 10 s ;4 2qB当粒子从上板边缘飞出电场再进入磁场时，在磁场中运动时间最短,T nmtmi42qB=nX 10-6s=3.14 X 10-6s25、(2007)解：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动的半径为:mvr =一qBXV a的区域走完 半圆的直径在 y 0到a,屏上发亮速度小的粒子将

17、在 圆，射到竖直屏上。 上，半径的范围从 围从0到2a。轨道半径大于 a的粒子开始进入右 场，考虑r= a的极限情况，这种粒 右侧的圆轨迹与X轴在D点相切(虚 OD = 2a,这是水平屏上发亮范围的 界。速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示, 轴上，由对称性可知 C在 设ti为粒子在0V XV aC 和 c/,侧磁 子在 线)，左边它由两段圆弧组成，圆心分别为 x= 2a直线上。的区域中运动的时间，t2为在x a的区域中运动的时间，由题意可知g = 2t2 5解得:tltlt2=7!12 =T65!-12由两式和对称性可得:/ OCM = 60/ MC/N = 605X = 15012/ NC/

18、P= 150。一 60 = 90 ZMC / P = 360所以1即NP为圆周，因此，圆心 C/在 X轴上。4设速度为最大值粒子的轨道半径为R,由直角ACOC/可得2Rsi n60 = 2a由图可知OP = 2a+R,因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标X = 2(1 +25 (2008) (22 分)(1 )设磁场左边界与 X轴相交于D 粒子过O点的速度v垂直。在直角三角形 OO =2d。依题意可知，粒子第一次进入磁场的运动轨迹的圆心即为 为300,且OA为圆弧的半径 R。由此可知，粒子自 A点射入磁场的速度与左边界垂直。A点到X轴的距离点，与CO相交于O点，则几何关系可知，直线 OO 与OO D中/ OO D =300。设磁场左右边界间距为 d,则O点，圆孤轨迹所对的圆心角AD =R(1 -COS30J由洛仑兹力公式、牛顿第二定律及圆周运动的规律,2C mvqvB =R22联立式得qB(2)设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T ,_T_12tiP第一次在磁场中飞行的时间为X轴正向夹角应为150(。由几何关系可知，粒子再次从O点进入磁场的速度方向与磁场右边夹角为60a设粒子第二次在磁场中飞行的圆弧的圆心为O , O必定在直线OC上。设粒子射出磁场时与磁场右边界交于P点，