北京四中高中数学高考综合复习专题十五 向量的概念与运算

1、高中数学高考综合复习专题十五向量的概念与运算一、知识网络二、高考考点1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主要是：（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；（2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件的应用；（4）向量的夹角的计算与应用；（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。3、线段的定比分点线或平移问题。4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或

2、解析几何问题（多以解答题的形式出现）。三、知识要点（一）向量的概念1、定义（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。（2）向量的模：向量的大小（即长度）叫做向量的模，记作。特例：长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量.（3）平行向量（共线向量）：一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定：与任一向量平行（即共线）. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量与零向量相等。认知：向量的平移具有“保值性”。2、向量的坐标表示（1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量 ,则

3、由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得，将有序实数对（x,y）叫做向量的坐标，记作；并将叫做向量的坐标表示。（2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。（二）向量的运算1、向量的加法2、向量的减法3、实数与向量的积（1）定义（2）实数与向量的积的运算律：（3）平面向量的基本定理：如果是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使，这两个不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（4）向量共线的充要条件：（i）向量与非零向量共线有且只有一个实数使（ii）设则：4、向量的数量积（内积）（1）定义：（i）向量的夹角：已知两个非零向量和，作叫做

4、向量与的夹角。（ii）设两个非零向量和的夹角为，则把数量叫做与的数量积（内积），记作，即并且规定：零向量与任一向量的数量积为0.（2）推论设、都是非零向量，则（i）（ii）（iii）(3)坐标表示(i)设非零向量，则(ii)设(4)运算律（自己总结，认知）四、经典例题例1判断下列命题是否正确：（1）若的方向相同或相反；（2）若（3）若则A、B、C、D四点组成的图形为梯形；分析：（1）不正确不能比较方向。（2）不正确当时，虽然对任意，都有不一定平行。（3）不正确，故这里的已知条件也包含A、B、C、D四点共线的情形。点评：判断或证明向量的共线或垂直问题，务必要注意有关向量为零向量的情形，判断失误或

5、解题出现疏露，多是零向量惹的祸。例2设点O为ABC所在平面内一点（1）若，则O为ABC的（）A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心（2）若，则为ABC的（）A、外心 B、内心 C、重心 D、重心（3）若动点P满足 ,则点P的轨迹一定通过ABC的（）A、外心 B、内心 C、重心 D、重心（4）若动点P满足 ,则点P轨迹一定通过ABC的（）A、外心 B、内心 C、重心 D、重心分析：（1）借助向量加法分析已知条件：以、为邻边作平行四边形OBDC，并设ODBC=E，则由平行四边形性质知，E为BC和OD中点。且由、得A、O、E、D、四点共线且于是由、知O为ABC的重心，应选D(2)由同理可得OABC,

6、OCAB于是可知，O为ABC的垂心，应选C（3）由已知得令，则是上的单位向量，令，则是上的单位向量。由得：令 ,则点Q在角A的平分线上又由知的与共线且同向（或）动点P在角A的平分线上点P的轨迹一定通过ABC的内心，应选B。（4）注意到的几何意义，=0又由已知的得：动点P在BC边的高线上动点P的轨迹一定通过ABC的垂心，应选C。点评：品味各小题，从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。例3：（1）成立的充分必要条件为（）A、 B、C、D、（2）已知A、B、C三点共线，O为该直线外一点，设且存在实数m使，则点A分所成的比为（）A、- B、2 C、 D、-2分析：（1）注意到不等式，当且仅当、反

7、向或、中至少有一个为时等号成立，由得、反向或由此否定A、B、C，本题应选D（2）注意到条件的复杂以及已知式变形方向的迷茫，故考虑从“目标 ”分析切入，主动去沟通“已知”，设则 (刻意变形，靠拢已知)（目标的延伸）又由已知得：（已知的变形或延伸）根据两向量相等的条件由、得：于是可知，点A分所成的比，应选 A点评：（i）（1）对任意向量、都有，其中，当且仅当同向或中至少有一个为时左边的等号成立；当且仅当反向或中至少有一个为时右边的等号成立；当且仅当中至少有一个为时，左右两等号同时成立。（ii）对于（2），“已知”与“目标”相互靠扰，只是切入点是从“已知”切入还是从“目标”切入，需要仔细分析。例4：

8、设、分别是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，在同一条直线上有A、B、C三点，求实数m、n的值。解：由题设知与共线又代入得：7（2n-1）=(n+2)(2n+1)(n-3)(2n-3)=0当时代入得： m=3当时代入得：m=6 m=6，n=3或m=3，点评：不失时机地利用向量的坐标表示，是解题的基本技巧。例5设试求满足：（这里O为原点）分析：注意到的坐标即点D的坐标，可从设坐标，由（x,y）切入，去建立关于x，y的方程组。解：设，则点D坐标为（x,y）则由已知条件得：x-2y+1=0由得： x+4=3(y-1) x-3y+7=0于是将、联立，解得：点评：本题是对向量坐标的概念，向

9、量的垂直与向量的平行的充要条件的综合应用，借此练习，可进一步认识与把握关于向量的概念与公式。例6设向量满足（1）若，求与的夹角；（2）若的值。解：（1）设与的夹角为，则于是由代入得：注意到 O, ,可得结果（2）解法（着眼于对等各个击破）一方面由已知得：又由、得注意到，当且仅当，同向或，中至少有一个为时等号成立由得与同向另一方面，又由知，与反向与的夹角为0°，与的夹角为180°，与的夹角为180°原式=3×1-1×4-3×4=-13解法二（着眼于寻求目标与已知的整体联系）：由已知条件得解法三（从寻求目标局部的值切入）：原式同理，点评：

10、解法二与解法三，均着眼于整体代入，解题过程简明，比解法一有明显优势。但是，解法一中对已知数值的利用，却对今后的条件求值有着不可替代的潜在作用，条件求值中对已知数据的应用主要有以下三个方面：（1）利用数值本身（代入）；（2）分别利用数值的绝对值和符号；（3）利用有关数值的关系沟通有关元素间的联系（比如，由3+1=4，32+42=52沟通联系等）。例7已知的夹角为120°，且 ,试求m，n及与的夹角。解法一：（利用内积的定义），设与的夹角为，由再再由：由，得将代入得：于是由，得所求 ,n=-4, 的夹角为30°或150°点评1：本题已知条件繁多，头绪纷乱，更需要在解题

11、时梳理思绪。注意到所求m、n含在中，故在求出、的值之后，以的变形为主线展开求索：变形1.变形2.变形3.于是，整个解题过程既显得有条不紊，又感觉酣畅淋漓。解法二（利用向量的坐标）：设，与的夹角为，由已知得由又x12+y12=8x22+y22=4由，解得或由，解得或将上述，坐标分四次代入便解得n=-4， , =30°或150°点评2：本解法致力于求与的坐标，虽然解题过程仍然曲折，但思路明朗，更多几分胜算。例8设的夹角为，分析：此题为以向量为载体的三角求值问题，因此，从化简，的坐标切入，向三角函数中常见的关系式转化。解：注意到这里由、得到于是由、得由、得解得因此由得点评：在这里

12、，利用实数与向量的乘法的法则，将表为 ,从而为简化及的表达式以及简化的表达式奠定良好的基础。五、高考填题（一）选择题、1、（2005·湖南卷）P是ABC所在平面上一点，且，则P是ABC的（）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心分析：由同理，ABPC,BCPA点P为ABC的垂心，应选D2、（2005山东卷）已知向量， ,且 ,则一定共线的三点是（）AA、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D分析：利用两向量共线的充要条件来判定，从寻找所给向量的联系切入由题意得 A、B、D三点共线，应选A3、（2005全国卷B）已知点A（ ,1），B（0，0），C（，0），设BAC的平

13、分线AE与BC相交于E，那么有 ,其中等于（）A、 2 B、 C、-3 D、-分析：从认知目标切入，由题设易知与反向，故 <0又由三角形内角平分线定理得即=3于是由、得=-3，应选C4、（2005·北京卷）若 , , ，则向量与的夹角为（）A、30°B、60° C、120° D、150°分析：令向量与的夹角为，则又由得于是将已知与代入得所得，应选C5、（2005·福建）在ABC中，则k的值是（）。A、5 B、-5 C、 D、分析：循着一般思路，欲求k的值，先寻找关于k的方程，可以通过解方程获取k的值，为此我们利用题设条件寻找等量

14、关系切入：由题设知，由此得（2，3）·（2-k,2）=0 2（2-k）+6=0解得k=5,故应选A。6、（2005·重庆）设向量等于（）。A、（1，1） B、（-4，-4） C、-4 D、（-2,-2）分析：循着向量的坐标表示与有关公式得：原式=-4（1，1）=（-4，-4），应选B7、（2005·重庆卷）已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为（）A、分析1：（特征分析法）：画出ABC及其中线AD，又将向量平移到 ,则可见与成钝角，而选项中A、B为锐角，D为负角，故只能选C。分析2：（直接法）：由题设D（5，2）所求两向

15、量夹角应为）,应选C8、（2005·浙江）已知向量，满足对任意tR， ,则（）A、分析：从已知不等式的等价变形切入，去认识所含向量，的关系由已知得整理得注意到对任意都成立。即根据式检验选项，故选C点评：关于向量的模的不等式，变形转化的基本手段是不等式两边平方，这是本题切入、转化的关键环节。（二）填空题1、（2005·广东卷）已知向量分析：注意到两向量平行的充要条件，由已知条件得 2×6-3x=0，由此解得 x=42、（2005·全国卷C）已知向量 ,且A、B、C三点共线，则k=。分析：由A、B、C三点共线切入，向着向量的共线转化A、B、C三点共线向量、共

16、线又由、共线的充要条件得7（-k-4）=5（k-4），解为3、（2005·天津卷）已知 =2， =4，与的夹角为，以，为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为。分析：根据向量加法与向量减法的几何意义又知，、分别表示上述平行四边形中两条对角线的长度。注意到与的夹角为锐角，故此平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为又 =4+16-2×2×4cos =12 =2于是由、知所求为 .4、（2005·湖北卷）已知向量 =(-2，2)， =(5，k),若不超过5，则k的取值范围为.分析：由已知得若 5，则9+（k+2）225由此解得-6k

17、2，故应填-6，25、（2004·浙江卷）已知平面上三点A、B、C满足， , ,则的值等于。分析：从认知ABC切入，由32+4252知，原式= =-256、（2005·全国卷A）ABC的外接圆圆心为0，两条边上的高的交点为H， =m( + + ),则实数m=。分析：由题设知，O为ABC的外心，即O是ABC的三边中垂线的交点，因此，以与为邻边作平行四边形OADC，则OADC为菱形，且 + =( + ) + +的终点必在AC边的高线上同理， + +的终点在AB边的高线上由、得+ +的终点为ABC的垂心H.m=1点评：从O为ABC的外心切入，认知向量，此乃求解本题的关键。三、解答

18、题1、（2005·山东卷）已知向量 =(cos、sin )和 =( - sin，cos )，且= ,求cos（ +）的值。分析：这是以向量为载体的三角求值问题，故首先要利用向量的有关概念与公式进行转化化生为熟，进入三角函数求值的“似曾相识燕归来”的境界。解：由已知得由题设又由、得于是由、得点评：首先运用向量的公式化生为熟，进而运用“方程思想”去求解的值，这是求解本题所运用的基本策略。也是解决本类问题的基本思路2、（2005·江西卷）已知向量，是否存在实数xO, ，使f(x)+f(x)=0 (其中f(x)是f（x）的导函数)若存在，则求出x的值；若不存在，则证明。分析：对于这样以平面向量为载体的问题，首先仍是运用向量的知识将其转化为熟悉的三角函数问题。解：=sinx+cosxf (x)=cosx-sinx若f(x)+f (x)=0，则2cosx=0即c