备战高考数学专题讲座数学思想方法之建模探讨

1、【备战2013高考数学专题讲座】第3讲：数学思想方法之建模思想探讨江苏泰州锦元数学工作室编辑数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，也是体会和理解数学各部分之间关系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活（具体情境）中抽象出数学问题，或一类数学问题转换为另一类问题，用数学符号建立方程、不等式、函数、数列、图象等表示数学问题中

2、的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。建立数学模型的思路如下图：其中，一类数学问题转换为另一类问题的建模是化归思想的体现，我们将在数学思想方法之化归思想探讨中阐述，本讲对从现实生活（具体情境）中抽象出数学问题的建模进行探讨。建立数学模型的一般程序为（1）读阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这是基础。（2）建将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型。熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键。（3）解求解数学模型，得到数学结论。求解时要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。（4）答将数学结论还原给实际问题的结果。结合2012

3、年全国各地高考的实例，我们从下面五方面进行数学思想方法之建模思想的探讨：（1）“方程模型”的建立；（2）“不等式模型”和“线性规划模型”的建立；（3）“函数模型”的建立；（4）“图形模型”的建立；（5）“定积分模型”的建立。一、“方程模型”的建立：对实际问题中的等量关系问题常需通过建立“方程模型”解决。典型例题：例1：（2012年辽宁省理5分）已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为 。【答案】。【考点】组合体的线线，线面，面面位置关系，转化思想的应用。【解析】在正三棱锥ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，可以把该正

4、三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点O，且EP平面ABC，EP与平面ABC上的高相交于点F。球O到截面ABC的距离OF为球的半径OP减去正三棱锥ABC在面ABC上的高FP。球的半径为，设正方体的棱长为，则由勾股定理得。解得正方体的棱长=2，每个面的对角线长。截面ABC的高为，。在RtBFP中，由勾股定理得，正三棱锥ABC在面ABC上的高。所以球心到截面ABC的距离为。例2：（2012年江西省理5分）样本（）的平均数为，样本（）的平均数为，若样本（，）的平均数，其中，则的大小关系为【】A B C D不能确定【答案

5、】A。【考点】作差法比较大小以及整体思想，统计中的平均数。【解析】由统计学知识，可得,，。，。，即。故选A。例3：（2012年湖南省理12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次性购物量1至4件5 至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55.（）确定x，y的值，并求顾客

6、一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）【答案】解：（）由已知，得解得。该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得。的分布为 X11.522.53PX的数学期望为。（）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则。由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以，。故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为

7、。【考点】分布列及数学期望的计算，概率。【解析】（）根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55知从而解得，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望。（）通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率。例4：（2012年全国大纲卷理5分）已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为【】A B C D【答案】A。【考点】等差数列的通项公式和前项和公式的运用，裂项求和的综合运用。【解析】通过已知，列式求解，得到公差与首项，从而得的通项公式，进一步裂项求和：设等差数列的公差为，则由可得。故选A。例5：（2012年福建省理5分）等差数列an

8、中，a1a510，a47，则数列an的公差为【】A1 B2 C3 D4【答案】B。【考点】等差数列的通项。【解析】设等差数列an的公差为，根据已知条件得：即解得2d4，所以d2。故选B。例6：（2012年北京市理5分）已知为等差数列，为其前n项和。若，则= ； 【答案】1；。【考点】等差数列【解析】设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式和已知，得。例7：（2012年广东省理5分）.已知递增的等差数列满足，则。【答案】。【考点】等差数列。【解析】设递增的等差数列的公差为（），由得，解得，舍去负值，。例8：（2012年浙江省理4分）设公比为的等比数列的前项和为若，则 【答案】。【考点】等比数列的

9、性质，待定系数法。【解析】用待定系数法将，两个式子全部转化成用，q表示的式子：，两式作差得：，即：，解之得：或 (舍去)。例9：（2012年湖北省理12分）已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8.（）求等差数列的通项公式；（II）若成等比数列，求数列的前n项的和。【答案】解：（）设等差数列的公差为，则，由题意得解得或由等差数列通项公式可得，或。等差数列的通项公式为，或。（）当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为，成等比数列，满足条件。记数列的前项和为，当时，；当时，；当时，。当时，满足此式。综上，【考点】等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算。【解析】（）设等差数列的公差为，

10、根据等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8列方程组求解即可。（II）对（）的结果验证符合成等比数列的数列，应用等差数列前n项和公式分，分别求解即可。例10：（2012年陕西省理12分）设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.（1）求数列的公比；（2）证明：对任意，成等差数列.【答案】解：（1）设数列的公比为（），由成等差数列，得，即。由得，解得。的公比不为1，舍去。（2）证明：对任意，对任意，成等差数列。【考点】等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质。【解析】（1）设数列的公比为（），利用成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列的公比。（2）对任意，可证得，从而得证

11、。另解：对任意，所以，对任意，成等差数列。例11：（2012年天津市理13分）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列,且=，.()求数列与的通项公式；()记，证明.【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由=，得。由条件，得方程组，解得。()证明：由（1）得，；由得，。【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。【分析】（）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。（）写出的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。例12：（2012年湖北省文5分）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人。现用分层抽样的方法抽取若干人，若

12、抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有人。【答案】6。【考点】分层抽样的性质。【解析】设抽取的女运动员的人数为，则根据分层抽样的特性，有，解得。故抽取的女运动员为6人。二、“不等式模型”和“线性规划模型”的建立：对实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需通过建立“不等式模型”或“线性规划”问题解决。典型例题：例1：（2012年四川省理5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产

13、计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是【】A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元【答案】C。【考点】线性规划的应用。【解析】设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得利润为Z元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y，且画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=这是随Z变化的一族平行直线，解方程组得，即A（4,4）。故选C。例2：（2012年江西省理5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元

14、0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为【】A50，0 B30，20 C20，30 D0，50【答案】B。【考点】建模的思想方法，线性规划知识在实际问题中的应用。【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为.线性约束条件为 ，即。如图，作出不等式组表示的可行域,易求得点。平移直线，可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且（万元）。故选B。例3：（2012年山东省理5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，960，分

15、组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9。抽到的32人中，编号落入区间1，450的人做问卷A，编号落入区间451，750的人做问卷B，其余的人做问卷C。则抽到的人中，做问卷B的人数为【】A 7 B 9 C 10 D 15【答案】C。【考点】系统抽样方法。【解析】采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人。第k组的号码为，令，且，解得。满足的整数k有10个，编号落入区间451，750的人的10人。故选C。例4：（2012年辽宁省理5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为【】(A)

16、 (B) (C) (D) 【答案】C。【考点】函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算。【解析】设线段AC的长为cm，则线段CB的长为()cm。那么矩形的面积为cm2。由，解得。又，所以该矩形面积小于32cm2的概率为。故选C。例5：（2012年陕西省文5分）小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则【】A. B. = C. << D. =【答案】A。【考点】基本不等式及其应用。【解析】设从甲地到乙地的路程为，则。又，。故选A。例6：（2012年安徽省文5分）若直线与圆有公共点，则实数取值范围是【】【答案】。【考点】圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式，解绝对

17、值不等式。【解析】设圆的圆心到直线的距离为，则根据圆与直线的位置关系，得。由点到直线的距离公式，得，解得。故选。三、“函数模型”的建立：对工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值来解决。典型例题：例1：（2012年北京市理5分）某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为【】A.5 B.7 C.9 D.11【答案】C。【考点】直线斜率的几何意义。【解析】据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可以用导数来解，但图像不连续，所以只能是广义上的。实际上，前n年的年平均产量就是前n年的总产量S与n的商：，在图象上

18、体现为这一点的纵坐标与横坐标之比。因此，要使前m年的年平均产量最高就是要这一点的纵坐标与横坐标之比最大，即这一点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当n=9时，倾斜角最大。从而m值为9。故选C。例2：（2012年湖南省理13分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为,（单位：件）.已知每个工人每天可生产部件件，或部件件，或部件件.该企业计划安排名工人分成三组分别生产这三种部件，生产部件的人数与生产部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.（）设生产部件的人数为，分别写出完成，三种部件生产需要的时间；（）假设这三种部件的生产同时开工，试确

19、定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.【答案】解：（）设完成A，B，三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为由题设有其中均为1到200之间的正整数。（）完成订单任务的时间为其定义域为。易知，为减函数，为增函数。于是（1）当时，此时，由函数的单调性知，当时取得最小值，解得。由于，故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为。（2）当时，由于为正整数，故，此时。易知为增函数，则。由函数的单调性知，当时取得最小值，解得。由于此时完成订单任务的最短时间大于。（3）当时，由于为正整数，故，此时。由函数的单调性知，当时取得最小值，解得。类似（2）的讨论，此时完成

20、订单任务的最短时间为，大于。综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产，三种部件的人数分别为44，88，68。【考点】分段函数、函数单调性、最值，分类思想的应用。【解析】（）根据题意建立函数模型。（）利用单调性与最值，分、和三种情况讨论即可得出结论。例3：（2012年陕西省理5分）下图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】。【考点】抛物线的应用。【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，抛物线过点（2，2，）.代入得，即。抛物线方程为。当时，水位下降1米后，水面宽米。例4：（2012年上海

21、市理14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为7.（1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）【答案】解：（1）时，P的横坐标，代入抛物线方程得P的纵坐标。A（0，12），。救援船速度的大小为海里/时。由tanOAP=，得，救援船速度的

22、方向为北偏东弧度。（2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为。由，整理得。，当且仅当=1时等号成立，即。救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。【考点】曲线与坐标，基本不等式的应用。【解析】（1）求出A点和P点坐标即可求出。（2）求出时速关于时间的函数关系式求出极值。例5：（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不

23、超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】解：（1）在中，令，得。由实际意义和题设条件知。，当且仅当时取等号。炮的最大射程是10千米。（2），炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，即关于的方程有正根。由得。此时，（不考虑另一根）。当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。【考点】函数、方程和基本不等式的应用。【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。例6：（2012年全国课标卷理12分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（

24、1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式。（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。【答案】解：（1）当时，；当时，。（2）（i）可取，。的分布列为：。（ii）购进17枝时，当天的利润为，应购进17枝。【考点】列函数关系式，概率，离散型随机变量及其分布列。【解析】（1）根据题意，分和分别列式。（2）取，求得概率，得到的分布列，根据数学期望及方差公式求解；求出购进17枝时，当天的利润与购进16枝时，当天的利润比较即可。四、“图形模型”的建立：对测量问题，可设计成“图形模型”，利用几何知识解决。典型例题：例1：（2012年四川省理5分）如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为【】A、 B