线性系统的根轨迹分析法ppt课件

1、第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法线性系统分析的三种方法：线性系统分析的三种方法： 时间域法时间域法 根轨迹法根轨迹法 频域法频域法时间域法：时间域法： 特点：直观、准确，能提供系统时间呼应的全部信息。特点：直观、准确，能提供系统时间呼应的全部信息。 内容：稳定性分析充要条件内容：稳定性分析充要条件闭环系统特征根均具有负闭环系统特征根均具有负 实部实部 劳斯稳定判据劳斯稳定判据劳斯表首列各值为正劳斯表首列各值为正用闭环特用闭环特 征方程构造劳斯表征方程构造劳斯表 赫尔维茨判据赫尔维茨判据行列式法行列式法用闭环特征方程构造用闭环特征方程构造 行列式行列式准确性分析稳态误差的计算准

2、确性分析稳态误差的计算 limlimss00s ss se ee e= =s s ( (s s) )R R s s1 1 = =s sR R s s1 1 + + G G( (s s) )H H( (s s) )动态性能分析系统动态性能随系统闭环极点位置动态性能分析系统动态性能随系统闭环极点位置变化的规律；附加开环零极点对系统性能的影响；变化的规律；附加开环零极点对系统性能的影响；附加闭环零极点对系统性能的影响。附加闭环零极点对系统性能的影响。2、根轨迹法分析和设计、根轨迹法分析和设计LTI系统的图解方法，运用非常简便，系统的图解方法，运用非常简便， 特别在进展多回路系统分析时，运用根轨迹法比

3、用特别在进展多回路系统分析时，运用根轨迹法比用 其它方法更为方便，因此在工程实际中获得了广泛其它方法更为方便，因此在工程实际中获得了广泛 运用。运用。 掌握根轨迹的根本概念掌握根轨迹的根本概念 掌握控制系统根轨迹的绘制方法掌握控制系统根轨迹的绘制方法 可以运用根轨迹法对控制系统进展分析可以运用根轨迹法对控制系统进展分析 明确等效开环传送函数的概念，能正确明确等效开环传送函数的概念，能正确绘制出不同参量变化对系统根轨迹图绘制出不同参量变化对系统根轨迹图 重点：根轨迹的绘制重点：根轨迹的绘制 利用根轨迹分析控制系统利用根轨迹分析控制系统 关键点：特征方程关键点：特征方程 幅值条件，相角条件幅值条件

4、，相角条件 经过详细习题练习经过详细习题练习 掌握掌握根轨迹绘制方法，不要死记硬根轨迹绘制方法，不要死记硬背各种绘制法那么，要多总结背各种绘制法那么，要多总结归纳典型极、零点分布对根轨归纳典型极、零点分布对根轨迹的大致图形。迹的大致图形。 学会利用学会利用MATLABMATLAB软件绘制软件绘制系统根轨迹的方法。系统根轨迹的方法。一、一、 根轨迹的概念根轨迹的概念 根轨迹：开环系统某一参数从零变到无穷时，闭根轨迹：开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根环系统特征方程式的根闭环系统的极点闭环系统的极点在在S S平面上平面上变化的轨迹。变化的轨迹。ks(0.5s+1) 例例 试分析

5、右图所示试分析右图所示系统的闭环特征方程式系统的闭环特征方程式的根随系统开环增益的根随系统开环增益K K的的变化在变化在S S平面的分布情况。平面的分布情况。4 41 1 根轨迹法的根本概念根轨迹法的根本概念K=0时，时， s1=0,s2=20k0.5 时，两个负实根时，两个负实根 ；假设；假设s1=0.25, s2=?K=0.5时，时，s1=s2=10.5k时，时，s1,，2=1j2k1特征根：特征根：s1,2= 112k特征方程：特征方程： S2+2s+2k=0-2-10j-1-221K=0K=0K=0.5K=1K=1K=2.5K=2.5KK留意：留意：K一变，一组根变；一变，一组根变；K

6、一停，一组根停；一停，一组根停；一组根对应同一个一组根对应同一个K；根轨迹与系统的性能根轨迹与系统的性能1、稳定性、稳定性2、稳态性、稳态性3、动态性能、动态性能二、二、 闭环零极点与开环零极点之间的关系闭环零极点与开环零极点之间的关系 通常系统的开环零、极点是知的，因此建立开环零、极点与闭通常系统的开环零、极点是知的，因此建立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制。环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制。G G( (s s) ) ( (s s) ) = =1 1 + + G G( (s s) )H H( (s s) )R(s)R(s)C(s)C(s) G(

7、s) G(s) H(s) H(s)l ll lj jj j* *j j= =1 1j j= =1 1H HH Hh hh hi ii ii i= =1 1i i= =1 1( (s s + +1 1) )( (s s - - z z ) )H H( (s s) )= = K K= = K K( (T Ts s + +1 1) )( (s s - - p p ) )f ff fi ii i* *i i= =1 1i i= =1 1G GG Gq qq qi ii ii i= =1 1i i= =1 1( (s s + +1 1) )( (s s - - z z ) )G G( (s s) )=

8、= K K= = K K( (T T s s + +1 1) )( (s s - - p p ) )G G* *G GH H* *H HK KK KK KK K前前向向通通路路增增益益前前向向通通路路根根轨轨迹迹增增益益反反馈馈通通路路增增益益反反馈馈通通路路根根轨轨迹迹增增益益系统的开环传送函数为系统的开环传送函数为m mf fl lj ji ij j* *j j= =1 1i i= =1 1j j= =1 1n nq qh hi ii ij ji i= =1 1i i= =1 1j j= =1 1( (s s + +1 1) )( (s s - - z z ) )( (s s - - z

9、z ) )G G( (s s) )H H( (s s) )= = K K= = K K( (T Ts s + +1 1) )( (s s - - p p ) )( (s s - - p p ) ) G GH HK K = = K KK K系系 统统 的的 开开 环环 增增 益益 n n = = q q + + h h开开环环系系统统的的极极点点数数 * * * *G GH HK K= = K KK K开开系系统统的的根根轨轨迹迹增增益益 零m m = = f f + +l l开开环环系系统统的的点点数数*Gf fh hi ij ji i= =1 1j j= =1 1n nm m* *i ij

10、ji i= =1 1j j= =1 1K K( (s s - - z z ) )( (s s - - p p ) )( (s s) )= =( (s s - - p p ) )+ + K K( (s s - - z z ) )闭环系统根轨迹增益开环系统前向通路根轨迹增益。闭环系统根轨迹增益开环系统前向通路根轨迹增益。 当当H(S)=1时，闭环系统根轨迹增益开环系统根轨迹增时，闭环系统根轨迹增益开环系统根轨迹增益。益。2) 闭环零点的组成：开环前向通路的零点、反响通路的极闭环零点的组成：开环前向通路的零点、反响通路的极点。点。 当当H(S)=1时，闭环零点就是开环零点。时，闭环零点就是开环零点。

11、3) 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K*有有关。关。根轨迹法的根本义务：根轨迹法的根本义务： 如何由知的开环零点、极点的分布及根轨迹增益，如何由知的开环零点、极点的分布及根轨迹增益，经过图解的方法找出闭环极点，并根据闭环极点的分布经过图解的方法找出闭环极点，并根据闭环极点的分布对系统性能进展分析。一旦确定闭环极点后，闭环传送对系统性能进展分析。一旦确定闭环极点后，闭环传送函数的方式便不难确定，可直接由下式求得：函数的方式便不难确定，可直接由下式求得：在知闭环传送函数的情况下，闭环系统的时间呼应可利在知闭环传送函数的情况下，闭环系统的时间呼应

12、可利用拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接求解。用拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接求解。*Gf fh hi ij ji i= =1 1j j= =1 1n nm m* *i ij ji i= =1 1j j= =1 1K K( (s s - - z z ) )( (s s - - p p ) )( (s s) )= =( (s s - - p p ) )+ + K K( (s s - - z z ) )三、根轨迹方程三、根轨迹方程G G( (s s) ) ( (s s) ) = =1 1 + + G G( (s s) )H H( (s s) )系统闭环传送函数为：系统闭环传送函数为：系

13、统闭环极点即为特征方程的解：系统闭环极点即为特征方程的解：1 1+ +G G( (s s) )H H( (s s) )= = 0 0 1m mj j* *j j= =1 1n ni ii i= =1 1( (s s - - z z ) )K K( (s s - - p p ) )根轨迹方程根轨迹方程 只需系统闭环特征方程可以只需系统闭环特征方程可以化为此方式，都可以绘制根轨迹，化为此方式，都可以绘制根轨迹，其中处于变动位置的实参数，不其中处于变动位置的实参数，不限定是根轨迹增益限定是根轨迹增益K*，也可以是，也可以是其它变动参数。但是开环零极点其它变动参数。但是开环零极点的在的在S平面的位置必

14、需是确定的，平面的位置必需是确定的，否那么无法绘制根轨迹。否那么无法绘制根轨迹。m mj jj j= =1 1m mn nj ji ij j= =1 1i i= =1 1n ni ii i= =1 1m mm mm mj jj jj j- -* * * *j j= =1 1j j= =1 1j j= =1 1n nn nn ni ii ii ii i= =1 1i i= =1 1i i= =1 1( (s s - - z z ) )s s - - z ze es s - - z zK K= = K K= = K Ke e= = - -1 1( (s s - - p p ) )s s - - p

15、 ps s - - p pe e1m mj j* *j=1j=1n ni ii=1i=1s-zs-zK Ks- ps- pn ni i* *i i= =1 1m mj jj j= =1 1s s - - p pK Ks s - - z z即即： k21m mn nm mn nj ji ij ji ij j= =1 1i i= =1 1j j= =1 1i i= =1 1- -s s - - z z- -( (s s - - p p ) )模值条件模值条件相角条件相角条件 综上分析，可以得到如下结论：综上分析，可以得到如下结论： 绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益绘制根轨迹的相角条件与系统

16、开环根轨迹增益 值值 的大小无关。即在的大小无关。即在s s平面上，一切满足相角条平面上，一切满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘件点的集合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的充要条件。制根轨迹的充要条件。 绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益 值的大小有关。即值的大小有关。即 值的变化会改动系统的闭环极值的变化会改动系统的闭环极点在点在s s平面上的位置。平面上的位置。 在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的条件和幅值条件的s s值，就是对应给定参数的特征值，就是对

17、应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。根，或系统的闭环极点。 由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传送函数有关，因此，知系统的开环传送函数便可绘送函数有关，因此，知系统的开环传送函数便可绘制出根轨迹图。制出根轨迹图。* *K K* *K K* *K K4 42 2 常规根轨迹的绘制法那常规根轨迹的绘制法那么么 通常，我们把以开环根轨迹增益通常，我们把以开环根轨迹增益 为可变参数为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹绘制的根轨迹叫做普通根轨迹或普通根轨迹或普通根轨迹。绘制普通根轨迹的根本法那么主要有绘制普通根轨迹的根本法那么主要有8 8条：条：根轨迹的起点与终

18、点；根轨迹的起点与终点；根轨迹的分支数、对成性和延续性；根轨迹的分支数、对成性和延续性；实轴上的根轨迹；实轴上的根轨迹；根轨迹的渐近线；根轨迹的渐近线；根轨迹在实轴上的分别点；根轨迹在实轴上的分别点；根轨迹的起始角和终止角；根轨迹的起始角和终止角；根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点; ;根之和。根之和。* *K K法那么一法那么一 根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点 幅值条件可写成幅值条件可写成 当当 ，必需有，必需有 此时，系统的闭环极点与开环极点一样此时，系统的闭环极点与开环极点一样( (重合重合) )，我们把开环，我们把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益极点称为根轨迹的

19、起点，它对应于开环根轨迹增益 。 当当 时，必需有时，必需有 ，此时，系统，此时，系统的闭环极点与开环零点一样的闭环极点与开环零点一样( (重合重合) )，我们把开环零点称为，我们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增益根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增益 。* *K K= = 0 0i ii is s= = p p ( (i i = = 1 1, ,2 2, , ,n n) )j jj js s = = z z ( (j j = = 1 1, ,2 2, , ,m m) ) n ni i* *i i= =1 1m mj jj j= =1 1s s - - p pK Ks s - -

20、 z z* *K K= = 0 0* *K K= = * *K K= = 下面分三种情况讨沦。下面分三种情况讨沦。 1 1当当m=nm=n时，即开环零点数与极点数一样时，根轨迹的起点时，即开环零点数与极点数一样时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。与终点均有确定的值。 2 2当当mnmnmn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n n条根条根轨迹起始于开环极点轨迹起始于开环极点( (称为有限极点称为有限极点) )外，还有外，还有m-nm-n条根轨迹起条根轨迹起始于无穷远点始于无穷远点( (称为无限极点称为无限极点) )。这种情况在实践的物理系统。这种情况在实

21、践的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有能够出如今等效开环中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有能够出如今等效开环传送函数中。传送函数中。结论：根轨迹起始于开环极点结论：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环零点，终止于开环零点 )；假设开环极点数；假设开环极点数n大于开环零点数大于开环零点数m，那么，那么有有n-m条根轨迹终止于条根轨迹终止于s平面的无穷远处平面的无穷远处(无限零点无限零点)，假设开环零点数假设开环零点数m大于开环极点数大于开环极点数n，那么有，那么有m-n条条根轨迹起始于根轨迹起始于s平面的无穷远处平面的无穷远处(无限极点无限极点)。* *K K= = 0 0* *K K=

22、= * *K K s s+ +1 1G G( (s s) )H H( (s s) )= =s s s s+ +2 2 s s+ +3 3法那么二法那么二 根轨迹的分支数、延续性和对称根轨迹的分支数、延续性和对称性性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描画闭环系根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描画闭环系统特征方程的根统特征方程的根即闭环极点即闭环极点在在S S平面上的分布，那么，根轨平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。 系统开环根轨迹增益系统开环根轨迹增益 ( (实变量实变量与复变量与复变量s s有一一对应的关有一

23、一对应的关系，当系，当 由零到无穷大延续变化时，描画系统特征方程根的复变由零到无穷大延续变化时，描画系统特征方程根的复变量量s s在平面上的变化也是延续的，因此，根轨迹是在平面上的变化也是延续的，因此，根轨迹是n n条延续的曲线。条延续的曲线。 由于实践的物理系统的参数都是实数，假设它的特征方程有由于实践的物理系统的参数都是实数，假设它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。于实轴的。结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是延续结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是延续且对称于实

24、轴的曲线。且对称于实轴的曲线。* *K K* *K K法那么三法那么三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 假设实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，假设实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，那么该线段是实轴上的根轨迹。那么该线段是实轴上的根轨迹。例例 设系统的开环传送函数为设系统的开环传送函数为 其中其中 、 、 、 、 为实极点和实零点，为实极点和实零点， 为共轭复数为共轭复数零、极点，它们在零、极点，它们在s s平面上的分布如图平面上的分布如图4-44-4所示，试分析实轴上所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。的根轨迹与开环零点和极点的关系。* *1 12 23

25、 31 12 23 34 4K K ( (s s - - z z ) )( (s s - - z z ) )( (s s - - z z ) )G G( (s s) )H H( (s s) )= =( (s s - - p p ) )( (s s - - p p ) )( (s s - - p p ) )( (s s - - p p ) )1 1P P4 4P Pz1 1z2 2z3 3、2 23 3P PP P解：实轴上的根轨迹必需满足绘制根轨迹的相角条件，即解：实轴上的根轨迹必需满足绘制根轨迹的相角条件，即m mn nj ji ij j= =1 1i i= =1 1 ( (s s - -

26、Z Z ) )- - ( (s s - - P P ) )= = 1 18 80 0+ + k k3 36 60 0 ( (k k = = 0 0, ,1 1, ,2 2, ,) )在确定实轴上的根轨迹上时，在确定实轴上的根轨迹上时，可以不思索复数开环零、极点可以不思索复数开环零、极点对相角的影响。对相角的影响。 选择选择soso作为实验点作为实验点开环极点到开环极点到s0s0点的向量的相角为点的向量的相角为ii开环零点到开环零点到s0s0点的向量的相角为点的向量的相角为ii实轴上，实轴上，s0s0点左侧的开环极点点左侧的开环极点P4P4和和开环零点开环零点z3z3构成的向量的夹角均为构成的向

27、量的夹角均为零度，而零度，而s0s0点右侧的开环零点点右侧的开环零点z1 z1 、z2z2和开环零点和开环零点p1p1构成的向量的夹角构成的向量的夹角均为均为180o180o。假设。假设s0s0为根轨迹上的点，为根轨迹上的点，必满足必满足 p1p2p3p4z1s0j0 1 = 1 = 2= 2= 223=03=0z3331= 1= 4 = 04 = 0z2z22 21 1j ji ij j= =1 1i i= =1 1- -= =( (2 2k k + +1 1) ) 结论：只需结论：只需s0s0点右侧实轴上的点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才

28、满足相角条件。奇数时，才满足相角条件。 法那么四法那么四 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 当开环极点数当开环极点数n n大于开环零点数大于开环零点数m m时，系统有时，系统有n-mn-m条根轨迹终止条根轨迹终止于于S S平面的无穷远处，这平面的无穷远处，这n-mn-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有的渐近线，因此，浙近线也有n-mn-m条，且它们交于实轴上的一点。条，且它们交于实轴上的一点。aa anmijijapznm11a2k 1k0,1,2,n m 1n m 渐近线与实轴的交点位置渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角和与实轴

29、正方向的交角 分别分别为为 设开环传送函数为设开环传送函数为 开环极点数开环极点数n=2,n=2,开环零点数开环零点数m=0,n-m=2,m=0,n-m=2,两条渐近线两条渐近线在实轴上的交点位置为在实轴上的交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别为它们与实轴正方向的交角分别为 * *K KG G( (s s) )H H( (s s) )= =s s( (s s + + 2 2) )n nm mi ij ji i= =1 1j j= =1 1a ap p - -z z- -2 2 = = = = - -1 1n n - - m m2 2a2k 1nm( (k k = = 0 0) )2 23 3

30、( (k k = =1 1) )2 2例例 知系统的开环传送函数为知系统的开环传送函数为 试画出该系统根轨迹的渐近线。试画出该系统根轨迹的渐近线。解解 对于该系统有对于该系统有n=4n=4，m=1m=1，n-m=3n-m=3；三条渐近线与；三条渐近线与实轴交点位置为实轴交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别是它们与实轴正方向的交角分别是 * *2 2K K ( (s s + + 2 2) )G G( (s s) )H H( (s s) ) = =s s ( (s s + + 1 1) )( (s s + + 4 4) )a a- -1 1- -4 4+ +2 2 = = =- -1 13 3(

31、 (k k = = 0 0) )3 3 ( (k k = = 1 1) )- -( (k k = = 2 2) )3 3 w wj-4-4-3-3-2-2-1-10 0B BC CA Aa 60o60o300oa 180o法那么五法那么五 根轨迹的分别点和分别根轨迹的分别点和分别角角分别点：两条或两条以上的根轨迹分支在分别点：两条或两条以上的根轨迹分支在S S平面上相遇又立刻分开平面上相遇又立刻分开的点，称为根轨迹的分别点。的点，称为根轨迹的分别点。假设根轨迹位于实轴上两个相邻的开假设根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间环极点之间其中一个可以是无限极其中一个可以是无限极点点，那么在这两个极点

32、之间至少存，那么在这两个极点之间至少存在一个分别点；假设根轨迹位于实轴在一个分别点；假设根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间上两个相邻的开环零点之间其中一其中一个可以是无限零点个可以是无限零点，那么在这两个，那么在这两个零点之零点之间也至少有一个分别点。如图间也至少有一个分别点。如图4-54-5上的分别点上的分别点d1d1和和 d2d2。分别点也。分别点也能够以共轭方式成对出如今复平面上，如图能够以共轭方式成对出如今复平面上，如图4-64-6中的分别点中的分别点A A和和B B。显然，复平面上的分别点阐明系统特征方程的根中至少有两对相显然，复平面上的分别点阐明系统特征方程的根中至少有两对相等

33、的共轭复根存在。等的共轭复根存在。d1d1d2d2图图4-5 4-5 实轴上根轨迹的分别点实轴上根轨迹的分别点 图图4-6 4-6 复平面上的分别点复平面上的分别点 A AB B 根轨迹的分别点，本质上就是系统特征方程的等实根根轨迹的分别点，本质上就是系统特征方程的等实根实轴实轴上的分别点上的分别点或等共轭复根或等共轭复根复平面上的分别点复平面上的分别点系统的特征方程可写成系统的特征方程可写成n ni i* *i i = = 1 1m mj jj j = = 1 1( ( s s - - P P ) )= =- - K K( ( s s - - Z Z) )n ni ii i = = 1 1m

34、 mj jj j = = 1 1s s = = d d( ( s s - - P P) )d d= =0 0d d s s( ( s s - - Z Z) )分别点方程分别点方程分别点方程的另一种方式分别点方程的另一种方式m mn nj j = = 1 1i i = = 1 1j ji i1 11 1= =d d - - Z Zd d - - P P当开环系统无有限零点时，那么当开环系统无有限零点时，那么上式应写为：上式应写为：0n ni i = = 1 1i i1 1d d - - P P分别角：根轨迹进入分别点的分别角：根轨迹进入分别点的切线方向与分别点的切线方向切线方向与分别点的切线方向

35、之间的夹角。之间的夹角。ll2 2 k k + + 1 1 , ,k k = = 0 0 , ,1 1 , ,. . . . . . , , - - 1 1 只需那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分别点。假设在这些只需那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分别点。假设在这些根中有共轭复根，如何判别能否在根轨迹上，是一个比较复杂的根中有共轭复根，如何判别能否在根轨迹上，是一个比较复杂的问题，由于只需当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平问题，由于只需当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面上的分别点面上的分别点如图如图4-64-6所示所示. .因此，用察看法可大体上判别，因此，用察看法可大体上判别，

36、然后将其代入特征方程中验算，即可确定。然后将其代入特征方程中验算，即可确定。 例如：当系统开环传送函数为例如：当系统开环传送函数为1 1G Gs sH Hs s= =s s ( ( s s + + 2 2 ) )n ni i= =1 1i i1 11 11 1= =+ += = 0 0d d - - P Pd d - - 0 0d d + + 2 2时，系统根轨迹分别点方程为：时，系统根轨迹分别点方程为：解方程得：解方程得：d1，由于实轴上的根轨，由于实轴上的根轨迹为迹为2 ，0段，由此可见段，由此可见d=1位位于根轨迹上，故，根轨迹分别点为：于根轨迹上，故，根轨迹分别点为：d1例例4 41

37、1 设某单位负反响系统的开环传送函数为：设某单位负反响系统的开环传送函数为：试绘制其概略根轨迹。试绘制其概略根轨迹。* *K Ks s + + 1 1G Gs sH Hs s= =s s ( ( s s + + 2 2 ) )s s + + 3 3解：解：1由规那么由规那么1)、2)可知：可知：共有共有3条根轨迹，分别始于条根轨迹，分别始于S=0、S2、S3其中一条止于其中一条止于S1处，两条趋于无处，两条趋于无穷远处。穷远处。2 2实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：(-1,0)(-1,0)、3 3，2 2。3 3渐近线：渐近线：4 4分别点：分别点：nmijijapznm 11023123a2

38、k1nm23211111111=+=+d - -1d -0d - -2d - -3d - -1d -0d - -2d - -3d d = = - -2 2. .4 47 7 w wj0 0-3-3-2-2 -1-1例例 知系统的开环传送函数为知系统的开环传送函数为试求出系统根轨迹与实轴的交点。试求出系统根轨迹与实轴的交点。* *K KG G( (s s) )H H( (s s) )= =( (s s + + 1 1) )( (s s + + 2 2) )( (s s + + 3 3) )解解 本系统无有限开环零点，其根轨迹分别点坐标满足：本系统无有限开环零点，其根轨迹分别点坐标满足： 解方程得

39、：解方程得： 由规那么五知，实轴上的根轨迹为由规那么五知，实轴上的根轨迹为-1-1到到-2-2线段和线段和-3-3到到-线段。线段。 不在上述两线段上，应舍去。不在上述两线段上，应舍去。 是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分别点。运用前面的六条规那么，可绘制如图别点。运用前面的六条规那么，可绘制如图4-74-7所示的根轨迹所示的根轨迹图。图。1 11 11 1+ + += = 0 0d d + + 1 1d d + + 2 2d d + + 3 31 12 2d d= = - -1 1. .4 42 2 d d= = - -2 2. .5 5

40、8 81 1d d = = - -1 1. .4 42 22 2d d = = - -2 2. .5 58 8法那么六法那么六 根轨迹的起始角和终止根轨迹的起始角和终止角角 当开环传送函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么当开环传送函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向分开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的方向分开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和终止角问题起始角和终止角问题, , 先给出定义如下：先给出定义如下： 起始角起始角 ：根轨迹分开开环复数极点处在切线方向与实轴正：根轨迹分开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。方向的夹角。p1p

41、1 终止角终止角 ：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。方向的夹角。zizi,.mnzjzipjzijjj ikk1121012z zi i,.mnzjpipjpijjj ikk 1121012p pi iwj3P2P1P0s1p2pwjs1z2z1p2p1z2z0法那么七法那么七 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根实部为实部为零零。这时，用。这时，用 s=js=j 代入特征方程可得代入特征方程可得: :1 1 + + G Gj jH H

42、j j= = 0 0e em mR R1 1 + + G G j j H H j j+ + I I1 1 + + G G j j H H j j= = 0 0由此可得虚部方程和实部方程：由此可得虚部方程和实部方程：e eR R1 1 + + G G j j H H j j= = 0 0m mI I1 1 + + G G j j H H j j= = 0 0 解虚部方程可得角频率解虚部方程可得角频率 c c ，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用 c c 代代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值 Kc Kc 。 K

43、c Kc 的物理含义是的物理含义是使系统由稳定使系统由稳定或不稳定或不稳定变为不稳定变为不稳定或稳定或稳定的系统开环根轨迹增益的的系统开环根轨迹增益的临界值。它对如何选择适宜的系统参数、使系统处于稳定的任务形状有重要临界值。它对如何选择适宜的系统参数、使系统处于稳定的任务形状有重要意义。意义。例：设系统开环传送函数为例：设系统开环传送函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。试绘制闭环系统的概略根轨迹。 * *2 2K KG Gs sH H s s= =s s s s + + 3 3s s+ + 2 2s s + + 2 21-1-1-20 w wj-3解：解：1 1确定实轴上的根轨迹：确定实轴上的根

44、轨迹：2 2确定根轨迹的渐近线：确定根轨迹的渐近线：n nm mi ij ji i= =1 1j j= =1 1a ap p - -z z0 0 + +( (- -3 3) )+ + ( (- -1 1+ +j j) )+ +( (- -1 1- -j j) ) = = = = - -1 1. .2 25 5n n - - m m4 4a2k 1,n m 3443 3确定根轨迹的分别点：确定根轨迹的分别点：.ddjdj 1102 31111分离点： dd+32k 1 l 2分离角：1-1-1-20 w wj-3GjHjww104 4确定根轨迹的起始角：确定根轨迹的起始角：量测各向量相角，得：量

45、测各向量相角，得：.pi 71 65 5确定根轨迹与虚轴的交点：确定根轨迹与虚轴的交点：*.* KjjjjKjjKKjjwwwwwwwwwwwww432432423586058608056011816 以上七条规那么是绘制根轨迹图所必需遵照的根本规那么。以上七条规那么是绘制根轨迹图所必需遵照的根本规那么。此外，尚须留意以下几点规范画法。此外，尚须留意以下几点规范画法。 根轨迹的起点开环极点根轨迹的起点开环极点Pi )Pi )用符号用符号“ X “ X 标示；根轨迹标示；根轨迹的终点的终点( (开环零点开环零点 Zi ) Zi )用符号用符号“ o “ o 标示。标示。 根轨迹由起点到终点是随系

46、统开环根轨迹增益根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益 K K* * 值的添值的添加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。 要标出一些特殊点的要标出一些特殊点的K K* * 值，如起点值，如起点 K K* *=0 )=0 )，终点，终点 K K* * ) )；根轨迹在实轴上的分别点；根轨迹在实轴上的分别点d (Kd (K* *= K= K* *d )d )；与虚轴的交点；与虚轴的交点 c c K K* * =Kc =Kc。还有一些要求标出的闭环极点。还有一些要求标出的闭环极点S1 S1 及其对应的及其对应的开环根轨迹增益开环根轨迹增益 K1 K1

47、，也应在根轨迹图上标出，以便于进展系统，也应在根轨迹图上标出，以便于进展系统的分析与综合。的分析与综合。绘制根轨迹图例如绘制根轨迹图例如例例 47 知系统的开环传送函数为知系统的开环传送函数为 试绘制该系统完好的根轨迹图。试绘制该系统完好的根轨迹图。r rK KG G( (s s) )H H( (s s) ) = =s s( (s s + + 1 1) )( (s s + + 2 2) )解解 1 1该系统的特征方程为该系统的特征方程为 这是一个三阶系统，由规那么一知，该系统有三条根轨迹在这是一个三阶系统，由规那么一知，该系统有三条根轨迹在s s平面平面上。上。0Ks2s3sr23由规那么二知

48、，三条根轨迹延续且对称于实轴。由规那么二知，三条根轨迹延续且对称于实轴。根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即 P1=0 P2=-1 P3=-2 P1=0 P2=-1 P3=-2 由于没有开环零点由于没有开环零点m=0m=0, , 三条根轨迹的终点均在无穷远处。三条根轨迹的终点均在无穷远处。 当当k=0k=0时时 当当k=1k=1时时 当当k=2k=2时时 10321mnzpjiamn1k2a603a180a6035a由规那么四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置由规那么四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。和它们与实轴正方向的交

49、角。 由规那么五知，实轴上的根轨迹为实轴上由规那么五知，实轴上的根轨迹为实轴上P1 P1 到到 P2 P2 的线段和的线段和由由 P3 P3 至实轴上负无穷远线段。至实轴上负无穷远线段。 由规那么六知，根轨迹与实轴的交点分别点是方程由规那么六知，根轨迹与实轴的交点分别点是方程 解的合理值，解得解的合理值，解得 不在实轴的根轨迹上，舍去；实践的分别点应不在实轴的根轨迹上，舍去；实践的分别点应为为02)1)(ss(sdsdsd02632 dd42. 01d58. 12d58.12d42. 01d 无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。 解虚部方程得

50、解虚部方程得2 23 3r rK K - -3 3 + +j j( (2 2- - ) )= = 0 01 1 = = 0 02, 32, 3= 2 2其中其中1=01=0是开环极点是开环极点 P1 P1 对应的坐标值，它是根轨迹的起点之对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为一。合理的交点应为将将 代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值Krc=6 Krc=6 。绘制出该系统的根轨迹图如图。绘制出该系统的根轨迹图如图4-114-11所示。所示。c c = 2 2 由规那么八，可求出根轨迹与虚轴的交点由规那么八，可求出根轨迹与虚轴的交点

51、 c c及对应的开环根轨及对应的开环根轨迹增益的临界值迹增益的临界值Krc Krc 。用。用 s=j s=j 代入特征方程得代入特征方程得3 32 2r r- -j j - -3 3 + +j j2 2+ + K K = = 0 02, 32, 3= 2 2 w wj-1-1-2-20 0 01 rKP 03 rKP 02 rKPr K1d 60o 60orc K 6j 2j 2rc K 6- -j j 2 2解解 (1) (1)是一个二阶系统，在是一个二阶系统，在S S平面上有两条延续且对称于实轴的根平面上有两条延续且对称于实轴的根轨迹。轨迹。 (2) (2)由开环传送函数可知，该系统有一个

52、开环实零点由开环传送函数可知，该系统有一个开环实零点z1=-2 z1=-2 和一对开环共轭复数极点和一对开环共轭复数极点 P1,2= -1 P1,2= -1j, j, 根轨迹的起点为根轨迹的起点为P1(Kr=0) P1(Kr=0) 和和 P2(Kr=0) P2(Kr=0) ，其终点为，其终点为 Z1(Kr Z1(Kr) ) 和无穷远点。和无穷远点。 (3) (3)由规那么五知，实轴上由由规那么五知，实轴上由-2-2至至-的线段为实轴上的根轨迹。的线段为实轴上的根轨迹。 (4) (4)由规那么六，可求出根轨迹与实轴的交点分别点。分由规那么六，可求出根轨迹与实轴的交点分别点。分别点方程是别点方程是

53、例例4-8 4-8 知系统的开环传送函数为知系统的开环传送函数为 试绘制该系统的根轨迹图。试绘制该系统的根轨迹图。r r2 2K K ( (s s + + 2 2) )G G( (s s) )H H( (s s) ) = =s s+ + 2 2s s + + 2 2 即即 解方程可得解方程可得 d2=-0.586 d2=-0.586 不在实轴上的根轨迹上，舍去，实践的分别点为不在实轴上的根轨迹上，舍去，实践的分别点为 d1 d1 。02222dssssdsd0242 dd414. 31d586. 02d由规那么七，可求出开环复数极点根轨迹的起点的起始由规那么七，可求出开环复数极点根轨迹的起点的

54、起始角。角。()()ppzpp 111121801804590135pp 21135 证明证明 知系统的开环零点和极点分别为知系统的开环零点和极点分别为 ， ， 令令s=u+jvs=u+jv为根轨迹的任一点，由相角条件可得为根轨迹的任一点，由相角条件可得 将将s s、 、 和和 代入得代入得 即即1 1z z = = - -2 21 1p p = = - -1 1+ +j j1 12 2p p = = - -1 1- - j j1 11 11 12 2( (s s- -z z ) )- -( (s s- -p p ) )- -( (s s- -p p ) )= =1 18 80 0( (u u

55、+ +2 2+ +j jv v) )- - ( (u u+ +1 1+ +j j( (v v- -1 1) )+ +( (u u+ +1 1+ +j j( (v v+ +1 1) ) ) = =1 18 80 0- -1 1- -1 1- -1 1v vv v- -1 1v v+ +1 1t tg g- - t tg g+ +t tg g= =1 18 80 0u u+ +2 2u u+ +1 1u u+ +1 1运用三角公式运用三角公式- -1 1- -1 1- -1 1x xy yt tg g x xt tg g y y = = t tg g1 1x x y y6 6为准确地画出为准确地画

56、出S S平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明本系统在本系统在S S平面上的根轨迹是一个半径为平面上的根轨迹是一个半径为 ，圆心位于点，圆心位于点 2 2，j0)j0)的圆弧。的圆弧。21 1z z1 1p p2 2p p 将上式等号左边合并可得到将上式等号左边合并可得到 将上式等号两边取正切，那么有将上式等号两边取正切，那么有 2 22 2- -1 12 22 2v v2 2v v( (u u + + 1 1) )- -u u + + 2 2( (u u + + 1 1) ) - -( (v v- - 1 1) )t tg g= =1 18 80 0v

57、v2 2v v( (u u + + 1 1) )1 1 + +u u + + 2 2( (u u + + 1 1) ) - -( (v v- - 1 1) )2 22 2v v2 2v v( (u u + + 1 1) )- -= = 0 0u u + + 2 2( (u u + + 1 1) ) - -( (v v- - 1 1) )2 22 2u u + + 4 4u u + + 2 2 + + v v= = 0 02 22 22 2( (u u + + 2 2) ) + + v v = =( ( 2 2) )方程表示在方程表示在S S平面上的根轨迹是一个圆心位于点平面上的根轨迹是一个圆心

58、位于点 2 2，j0) j0) 、半径为半径为 的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-124-12所所示。示。2wjs0-1-2-3)0(1rKP1p)0(2rKP2p414. 31d1d-4rK1-1)(1rKZ 由本例不难发现，由两个开环极点由本例不难发现，由两个开环极点实极点或复数极点实极点或复数极点和一个和一个开环实零点组成的二阶系统，只需实零点没有位于两个实极点之间，当开环实零点组成的二阶系统，只需实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零开环根轨迹增益由零变到无穷大时，复平面上的闭环根

59、轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分别点的间隔为半径的一个圆点为圆心，以实零点到分别点的间隔为半径的一个圆当开环极点为两当开环极点为两个实极点时个实极点时或圆的一部分或圆的一部分当开环极点为一对共轭复数极点时当开环极点为一对共轭复数极点时。这。这个结论在数学上的严厉证明可参照本例进展。个结论在数学上的严厉证明可参照本例进展。 前面引见的普通根轨迹或普通根轨迹的绘前面引见的普通根轨迹或普通根轨迹的绘制规那么是以开环根轨迹增益制规那么是以开环根轨迹增益 K K* * 为可变参数的，大为可变参数的，大多数系统都属于这种情况。但有时候，为了分析系统多数系统都属于这种情况。但有时候，为了分析系统方便起见

60、，或着重研讨某个系统参数方便起见，或着重研讨某个系统参数( (如时间常数、如时间常数、反响系数等反响系数等) )对系统性能的影响，也经常以这些参数对系统性能的影响，也经常以这些参数作为可变参数绘制根轨迹，我们把以非开环根轨增益作为可变参数绘制根轨迹，我们把以非开环根轨增益 作为可变参数绘制的根轨迹叫做参数根轨迹作为可变参数绘制的根轨迹叫做参数根轨迹( (或广义或广义根轨迹根轨迹) )。一一. . 参数根轨迹参数根轨迹4 43 3 广义根轨迹广义根轨迹例例4-10 4-10 知系统的开环传送函数为知系统的开环传送函数为 试绘制以时间常数试绘制以时间常数 T T 为可变参数的根轨迹。为可变参数的根