线性代数线性方程组习题课 -

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 线性代数线性代数机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量向量 线性方程组线性方程组 典型例题典型例题 线性方程组线性方程组 习题课习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnaaa1122 2. 任一任一 n 维向量维向量 都是都是Rn 的基本单位向量组的基本单位向量组的线性组合的线性组合: :na aa12(,) 1. 是是 的线性组合的线性组合( ( 可由可由 线性表示线性表示) ) ,s1,s1d,sk kk12 sskkk1122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb11112211211222221122 有

2、解有解 n12 (组合系数就是方程组的一个解)3. 可表示为可表示为的线性组合的线性组合,n12 一、向量一、向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xaxaxax111122121122221122000 有非零解有非零解 ( (无无) )( (只有零解只有零解) )n12 r 向量维数向量维数，其排成的行列式值为其排成的行列式值为0 0向量组线性相关向量组线性相关. .其中至少有一个向量是其余向量的线性组合其中至少有一个向量是其余向量的线性组合定理定理5.5.向量组向量组 线性相关线性相关 ,()ss 122 机动 目录 上页 下页 返回

3、 结束 定理定理8.8.向量组与其极大无关组等价向量组与其极大无关组等价. . 推论推论 向量组的任意两个极大无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价 定理定理7.7. 向量组向量组(I)(I)可由可由(II)(II) ，(II)(II)可由可由( () )线性表示线性表示向量组向量组(I)(I)可由可由( () )线性表示线性表示定理定理9 9 向量组向量组 可由可由 线性表示线性表示, ,若若t st s，则向量组则向量组 线性相关线性相关. . ,12t ,12s ,12t推论推论1 1( (逆否命题逆否命题) )ts ,12s ,12t线性表示线性表示 线性无关线性无关，且可由，且可由

4、机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1010推论：推论：等价的向量组秩相等等价的向量组秩相等. . (,)(,)1212strr ,12s ,12t 可由可由 线性表示线性表示 推论推论2 2 等价等价的的线性无关线性无关向量组所含向量个数相等向量组所含向量个数相等. . 推论推论3 3 向量组的所有极大无关组所含向量个数相等向量组的所有极大无关组所含向量个数相等. 定理定理1111 矩阵矩阵A的行秩列秩秩的行秩列秩秩重要结论重要结论: : 行变换不改变列向量间的线性关系行变换不改变列向量间的线性关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 1 设非齐次方程组设非齐次方程组Amn

5、Xb，则，则(1) r(A)r( A )，原方程组无解原方程组无解(2) r(A)r( A )n，原方程组有唯一解原方程组有唯一解(3) r(A)r( A ) n，原方程组有原方程组有无穷多组无穷多组解解有解判定定理二、线性方程组二、线性方程组机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论1 1 当齐次线性方程组方程个数当齐次线性方程组方程个数m未知数个数未知数个数n时，必有时，必有非零解非零解. .定理定理2 2 设齐次方程组设齐次方程组AmnXO，r(A)r，则，则(1) rn，原方程组有唯一零解原方程组有唯一零解(2) r n，原方程组有非零解原方程组有非零解( (有无穷多组解有无穷多组解

6、) )推论推论2 2 若若齐次方程组齐次方程组AnnXO系数行列式系数行列式|A|0，则必有非，则必有非零解零解. .齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解有非零解101,2,nijjja xin0D解的判定定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.齐次齐次线性方程组解的性质线性方程组解的性质 1) 1) 两解之和仍是解两解之和仍是解 1212, 2) 2) 常数乘以解仍是解常数乘以解仍是解 k一般地，解的线性组合仍是解 1 122sskkk导出组导出组 2.2.非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质 1)1)(1)(1)的两解之差是其的两解之差是其导出组导出组的解的解 ,1212

7、 2)2)(1)(1)的一解与其的一解与其导出组导出组的一解之和仍是的一解之和仍是(1)(1)的解的解 , 解的性质定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构 定义定义：齐次线性方程组解向量组的一个极大无关组称作齐次线性方程组解向量组的一个极大无关组称作齐次线性方程组的一个齐次线性方程组的一个基础解系基础解系。 定理定理3 3 对齐次线性方程组对齐次线性方程组(2)(2)，若，若r(A)r n，则基础解系存则基础解系存在，且均含在，且均含n-r个解。个解。 齐次齐次线性方程组线性方程组(2)(2)当当 不存在不存在基础解系基础解系r(A)n 时

8、只有零解时只有零解, ,当当r(A)r n时时，有：，有：解的结构定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 非齐次非齐次线性方程组解的结构线性方程组解的结构 定理定理2 2 若若 是是非齐次非齐次线性方程组线性方程组(1)(1)的一个解的一个解, , 是其是其导出导出组组(2)(2)的全部解的全部解, ,则方程组则方程组(1)(1)的全部解的全部解( (通解通解, ,一般解一般解) )为为0 001122n rn rkkk (k1,k2,kn-r为任意常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、典型问题剖析三、典型问题剖析 例1 设A是mn矩阵，则线性方程组AX=0只有零解的充要条件是A

9、 的（ ） (A)行向量组线性无关 (B)行向量组线性相关 (C)列向量组线性无关 (D)列向量组线性相关1234, ，若 例2 设矩阵A的伴随矩阵不为零， 是非齐次线性方程组AXb的互不相等的解，则对应的齐次方程组AXO的基础解系 ( )(A) 仅含一个非零解向量 (B) 含有两个线性无关的解向量(C) 不存在 (D) 含有三个线性无关的解向量 （练习卷P23第二题第3题）（练习卷P23第二题第5题）机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 (943 (94考研考研) )设向量组设向量组( , , ),( , , , )1211 2 40 3 1 2 ( , , ,),33 0 7 14

10、( , , ),41 2 2 0 求向量组的一个极大无关组，向量组的秩，并写出其余向求向量组的一个极大无关组，向量组的秩，并写出其余向量用该极大无关组的线性表达式量用该极大无关组的线性表达式. .( , , ,)52 1 5 10 ,124 r3,31251232 答案：答案：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 (954 (95考研考研) )已知向量组已知向量组(I) ; (II) ;(III) .(I) ; (II) ;(III) .如果如果各向量组的秩分别为各向量组的秩分别为r r(I)(I)r r(II)(II)3 3，r r(III)(III)4 4，证明向量组，证明向量组 的

11、秩为的秩为4.4. ,1235 ,1234 ,123 ,12354 ,123 线性无关线性无关, ,1234 线性相关线性相关kkkkO112233454(),123 4 可由可由 线性表示线性表示: :aaa4112233 kkkkk aaaO112233454112233()即即 证：设设（练习卷P25第四题第6题）机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1235 线性无关线性无关kk akk akk akO14112422343345()()()亦亦即即 kk akk akk ak14124234340000 k1 =k2 =k3 =k4 =0,12354 线性无关线性无关请思考本题的其他

12、解法kkkkk aaaO112233454112233()即即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12,s , ,012,s 例例5 设设 为非齐次线性方程组为非齐次线性方程组AX=b 的一个解，的一个解， 是是其导出组其导出组AX =0 的一个基础解系，证明：的一个基础解系，证明： 线性线性无关无关 0（练习卷P25第四题第4题）思考1012020012,sss 。令证明：线性无关（练习卷P28第六题）机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 设设 1121212,m m12, m12, m证明：向量组证明：向量组 与与 等价。等价。123, 思考 设设 是齐次线性方程组是齐次线性方程组AX=0 的一个基础解系，的一个基础解系，证明：证明：也是该方程组的一个基础解系也是该方程组的一个基础解系 122331, （练习卷P25第四题第5题）（练习卷P25第四题第2题）机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 7 a 取何值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多取何值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有解时，求出它的解解？在方程组有解时，求出它的解 123123123123332xxxxxaxxaxx（练习卷P23第三题第2题）机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 8 已知向量组已知向