利用极坐标为操作模型 突破旋转教学难点

1、利用极坐标为操作模型 突破旋转教学难点旋转教学例谈济南市明珠小学 杨梅一、 案例背景：旋转是人教版五下的内容，小学教材中新增内容。旋转的知识包括旋转的概念、旋转的三要素，图形旋转的有关性质，并能通过不同形式的旋转，设计图案。其教学目标为让学生进一步认识图形的旋转,探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上把简单图形旋转90°和画出一个简单图形旋转90°后的图形,发展空间观念。教学重点是在现实情境中理解按顺时针或逆时针旋转90度的含义，会从三个方面来描述一个旋转现象。在实际操作中学会将简单图形在方格纸上旋转90度。教学难点是借助实物旋转，引导学生学会旋转的方法，并能在方格纸上正确

2、的旋转图形。 旋转是空间与图形领域中较难掌握的一个内容，分析其原因以下两点：（一）、从教材来看，要求虽低但学习步子较大。为了更好地把握教材，我们把小学与初中的教材进行了对比。我们也发现中学是分三课时来学习的，第一课时学习什么叫旋转、旋转中心、旋转角、什么叫旋转的对应点。第二课时教学图形的旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前后的图形全等及其它们的运用。第三课时学习选择不同的旋转中心或不同的旋转角，设计出不同的美丽的图案。而在小学阶段对小对旋转的概念、旋转的性质的感知以及运用旋转的性质画出旋转后的图形是在一节课里完成的。教学要求中对“旋转”没

3、有明确的定义，只要学生能概括出“绕一个点旋转”“向什么方向旋转”“转动多少度”这几点就可以了，像“旋转中心”“旋转角”这些名词不必要求学生掌握。从对比中我们不难看出小学的教学要求较低，但学生对知识的认知和掌握需要一个消化的过程，这样一来学习任务重，掌握起来较为困难。（二）、从学生方面来看，认知片面、想象能力弱、表象建立难。学生在二年级已经初步认识了生活中的旋转现象,能够较为准确的判断出某一物体的运动现象是“平移还是旋转”。大多数学生认为“旋转”现象应是一圈一圈的转，对于象“秋千、开门、制动杆” 等这样的旋转一定角度的运动现象，他们不认为这是旋转。学生对旋转的认知过于表面化。其二，旋转的教学不同

4、于平移的教学，它需多维度地去思考问题。正确的旋转图形需要把握住三方面的要素，而对旋转的方法和性质的的感知则需要一个探索和熟练的过程。要想让学生在35分钟之内既明确旋转性质又自主地发现和优化出旋转的方法是较为困难的，相对来说自主学习的空间较小。此外，学生经过二年级的学习虽对旋转有一定的认识，但过于表面化，认知水平较低。在他们头脑中旋转所形成的表象也只是“一圈一圈的转”，空间想象能力还较为薄弱。图形是由多条线段组成，学生在对图形进行旋转时容易受其他线段的干扰，看混了边的现象极为普遍，正确的表象较难建立。纵观以上两方面，我们得出要让学生掌握旋转的方法并发展空间观念，最根本的做法还是要运用“实物操作”

5、，抓住操作活动让学生逐步的感受到从一条线段的旋转到二条线段的旋转变化再到整个图形的旋转变化。在不同维度的变化中逐步感悟到旋转的最核心的方法就是要看准一条边，并注意其旋转前与旋转后的夹角的度数。围绕教学核心工作我们开展了以下教学活动。二、案例描述：感知旋转的方法片段一：借助量角器旋转铅笔，初步感知旋转方法。1、拿出1号纸和铅笔象这样放好，找到旋转中心按住它，让铅笔绕着O点顺时针旋转90度，开始。（一名学生台前操作）说说怎样验证旋转了90度？（生用三角板比量）铅笔开始的位置和结束的位置形成了一个90度的夹角，我们就说铅笔旋转了90度。2、现在把铅笔这样放（竖着放）让它绕着O点逆时针旋转40度。（生

6、操作）说说怎么了？（找不到40度）我这有个量角器，看（放大）谁能到前面来做一做？（生操作）3、你看有了量角器就方便多了，如果有两个量角器把它们合在一起，旋转起来是不就更加自如了？你那就有一个拿出2号纸看看。能看懂吗？4、把铅笔放上去，这一次让它绕着O 点顺时针旋转100度，开始。（一名学生板前做其他学生数度数。）片段二：借助极坐标旋转半圆，深化旋转的方法并感知旋转的性质。1、这是什么？半圆能旋转吗？半圆不但能旋转还能旋转成图案呢，看什么？一个半圆经过怎样的旋转能形成大风车的图案呢？同桌拿出信封一起研究研究。2、汇报：绕O点顺时针旋转4个90度。（生边演示边汇报）师提问：半圆从这旋转到这（演示）

7、你怎么知道是旋转了90度的？（生：原来在0这里现在在90这里）大家明白吗？你能指着具体的再说说吗？（生再指着说）你看的是半圆直的边开始的位置和结束的位置形成一个90度的夹角，我们就说半圆旋转了90 度对吧？那这条弯的边还需要证明它是不是也旋转90度？（不需要）对，不需要证明，他们是一个整体，打个比喻，咱们同学要从济南到北京，我们的头到北京了，你的脚还能留在济南吗？在旋转的时候看准这条直的边，看准了吗？现在他们要一起出发了，开始数10度20度旋转的到黄色瓣这里了，先在以这里作为新的起点，再旋转一个90度，看准这条边了吗？，开始数数10度20度，就这样再旋转两个90度，就形成大风车的图案了。3、还

8、有不同的方法吗？（逆时针旋转）看着这个半圆，把它记在脑中，闭上眼睛，脑中出现半圆了吗？让它绕O点逆时针旋转90度，好开始转，到地方了吗？继续旋转90度，转好了吗？再旋转90度，再转一个90度，形成什么图案了？把眼睛睁开。4、你看，在旋转半圆时看准它的一条边就简单多了。片段三：在极坐标中旋转三角形，强化旋转的方法，提高学习能力。1、如果把半圆换成三角形，你还会旋转吗？拿出三号纸和黄色三角形。按住旋转中心，让它绕着O点顺时针旋转90度，想想旋转后会到哪，开始转。2、展示：同时展示对的和错的。（1）哪一个是对的，为什么呢？（小组讨论讨论）派代表说一说。生：第一个是对的，看0A边原来在0度这里，现在旋

9、转到90 度这里，形成了一个90 度的夹角。（2）师是不是这样呢？你领着大家一起数数。（3）我觉的这个没错啊。你看这不也形成90 度的角了吗？（指OA边和OB 边的夹角）生A：看错边了。师：一开始看的是OA 边，转着转着看成OB边了。还有不同的吗？生B：看OB边在90度上，就认为转了90 度。师：OB边到底旋转了多少度呢？一起来数一数。3、在旋转的时候，我们应注意些什么？（看准同一条边，还要注意同一条边前后的夹角是多少度。）4、用同学们说的这些办法试一试。看着这个三角形，让它从这里开始继续顺时针旋转90度。想想旋转后会到哪，开始转。展示：对吗？对的举举手。5、再来一个，拿出4号纸，让三角形绕O

10、点，逆时针旋转90 度，想想旋转后又会到哪，开始转。（一个学生台前展示，其他学生一起数度数）三、案例反思：（一）分散知识，利用操作模型构建从一维到二维的空间观念。教学中我们从以上三个角度，借助操作模型逐步让学生掌握旋转方法。我们分析教学背景发现了教学步子大，学生学习任务重。为了让学生能够较为轻松的理解和掌握知识，基于学生的学习实际，我们把教学的内容做了调整。我们采用分散知识点的方法，把画出旋转后的图形分割出去。第一节课只认识旋转的三要素，并通过实物操作逐步感知旋转的性质。在大量的操作中通过想象、验证、对比等学习活动，帮助学生不断地探究和提炼旋转的方法。为学生的探究学习赢得了时间和空间。片段一中

11、铅笔的旋转旨在深化三要素的基础上，让学生初步感受到旋转的方法。在这一环节中，我们分了两个层次来进行教学。一是把一条线段旋转90度，让学生意识到旋转时要看线两条边夹角的度数。二是把一条线段旋转40度，学生已不能通过目测或三角板去找度数了，此时他们主动地寻找合适的工具（量角器）并自然的把学习的注意力聚焦到两条边的夹角上。有了测量角度的工具学生很容易就解决了这个问题，从旋转40度到旋转100度只是一个旋转角度的不同，它的使用使学生初步感受到了寻找对应边夹角度数的重要性。铅笔可以看成一条线段，无论是旋转多少度，它都是在一维的空间中的旋转，结构简单，对学生来说既好理解又易掌握。在这里引入量角器既满足了在

12、一维空间旋转中对寻找对应边角度的需要，又为为后面极坐标的生成奠定了基础。有了量角器的帮助，学生可以自如的解决一条线段的旋转。教学到这里学生对“旋转”已不再感到神秘，从学生的练习中我们也感受到旋转的方法掌握比较牢固了，应该教学两条线段的旋转了。最初我们是这样做的，我们把旋转铅笔变成旋转角，可是一试讲就遇到了一开始提到的难题。学生不知道该看哪条边，找不到对应边的夹角，旋转的性质就更是无从谈起。我们开始探寻问题的根源，铅笔的旋转让我们主观地认为学生已经牢固的掌握了旋转的方法，到这里完全可以实现知识的迁移和类推。可事实并非如此，变旋转铅笔为旋转角，这是由一维到二维的变化，是思维能力和空间想象能力的一次

13、飞跃。学生感受的素材少、实践的空间小，想要跃过这道坎，显然很吃力。为了多给学生一些直观地感受和实践的体会，我们把教学的步子放小、放慢。于是有了片段二的教学，在研究“一个半圆经过怎样的旋转能形成大风车的图案”的过程中，学生自觉主动地应用了前面掌握的旋转的方法。这一教学环节不但承载着了深化旋转的方法，而且它还可以较为直观的让学生感受到旋转的性质。即一条边旋转了多少度整个图形都旋转了多少度，旋转后图形的形状大小都不变。在这里学生第一次看着图形的一条边去数度数，学生在数的过程中初步感受到旋转形成角度，再一次感受到了旋转角度是旋转现象中必备的要素。也为后面教学旋转时要关注旋转角度铺设了台阶。半圆的旋转让

14、学生明确了旋转的性质，丰富了对旋转方法的理解和掌握，实现了在二维空间中正确的旋转这一目的。那此时的学生是不是就真的会应用这一性质来旋转一个图形了呢？半圆的旋转虽是二维空间上的，但它的要素较少只有两条边，它只要把直的边旋转一定的度数就可以了，不具有普遍性。为了帮助学生深层次的掌握并旋转的方法，我们设计了把半圆换成三角形的学习活动。正如我们设想的那样，学生出现了前面的呈现的问题。由此我们可以看出，性质的应用还离不开方法的提炼与优化。（二）利用极坐标模型，突破教学难点，夯实教学重点。要想实现方法的提炼与优化，必须要有大量的丰富的操作素材，让学生在不断的操作与实践中，逐步的去感悟旋转的方法。同样也只有

15、在不断的操作与对比中，才能逐步地提炼与优化出旋转的方法。现行教材以“方格纸”为依托，让学生在方格纸上旋转图形，其作用有二：一是能够让学生直观的看到图形旋转90度，二是能通过数方格确定旋转后对应边的长度。经过多次的试讲，我们发现学生能够参照方格纸上的直角较为容易的找到一条边旋转90度后的位置，也能够通过数方格的办法找到对应边旋转90度后的长度。但由于图形是有多条线段组成的，学生在旋转图形时，往往受其他线段的干扰，很难正确的把握对应边旋转的角度，看错边的现象极为普遍。常常出现把这一条边旋转后的位置和另一条边旋转前的位置放在方格纸的直角中，学生的操作和感知活动也受限于直角坐标之中。以下是学生在操作中

16、出现的错例：如：（1）三角OAB 绕O点 （2）三角形OAB 绕O点顺时针旋转90度 逆时针旋转90度。 O O分析以上错例，我们发现其出错的根本原因还是没能正确把握“对应边夹角的度数”。要想帮助学生牢固的树立这一表象，很显然仅靠直角坐标中直观的旋转90度是不够的。我们应让学生明确旋转的角度是在图形旋转的过程中生成的，要让学生自觉地形成关注“对应边的旋转角度”的学习行为，而“极坐标”的使用恰恰填补了这一空白。于是在马老师的指导下，我们从孩子的学习基础出发、从学生的学习需求出发、从解决学生现实学习中的问题出发，从提高学生的学习能力出发，我们改“直角坐标”为“极坐标”。我们以“极坐标”这一数学模型为依托，让学生展开实践操作与辨析活动，也就是案例描述中的片段三。学生在边旋转边数角度的活动中切实的体会到了旋转形成角度，深化了旋转的三要素；在不断地辩析与对比的中学生头脑中的表象愈渐清晰，在看着边数度数的过程中对“判断一个图形旋转了多少