厚积薄发-高考数学四十一讲---第十六讲不等式的性质与证明

1、第十六讲 不等式的性质与证明（包括基本不等式及其应用）一、引言：不等式历来是高考的重点内容对于本讲来说，考查有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力本讲内容在复习时，要在思想方法上下功夫本讲考纲要求：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题本讲命题方向：1从题型上来看，选择题、填空题都有可能考查，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考查不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主；2利用基本不等式解决函数的单调性或解

2、决有关最值问题是考查的重点和热点，应加强训练二考点梳理1不等式的性质比较两实数大小的方法求差比较法；定理1：若，则；若，则即说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性定理2：若，且，则说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性定理3：若，则说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；（2）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；（3）定理3的逆命题也成立；（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边定理3推论：若说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2

3、证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式定理4如果且，那么；如果且，那么推论1：如果且，那么说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向推论2：如果，那么定理

4、5：如果，那么2基本不等式定理1：如果，那么（当且仅当时取“”）说明：（1）指出定理适用范围：；（2）强调取“”的条件定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）说明：（1）这个定理适用的范围：；（2）我们称的算术平均数，称的几何平均数.即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强特别要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于零处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考虑所乘的代数式的正负3常用的证明不等

5、式的方法（1）比较法比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判断结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负（2）综合法利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件综合法证明不等式的逻辑关系是：，及从已知条件出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论（3）分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明

6、不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程三、典型例题选讲题型1：考查不等式性质例1 判断下列各命题的真假，并说明理由（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则（5）若，则（6）若，则解：（1），是真命题（2）可用赋值法：，有，是假命题也可这样说明：，只能确定，但的符号无

7、法确定，从而的符号确定不了，所以无法得到实际上有：（3）与（2）类似，由，从而是假命题（4）取特殊值：有，是假命题（5），是真命题（6）乘方性质成立的条件为必须是正数是假命题举反例：，则有归纳小结：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件要说明一个命题是假命题可通过举反例例2（1）(2007上海理)已知为非零实数，且，则下列命题成立的是( )A BC D解：运用排除法，A选项，符号不定；B选项，符号不定；D选项=，符号不定；C选项，故，故选择C（2）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是( )ABCD解:运用排除法，C选项，当ab<0时不成立故选择C归纳小结

8、：本题主要考查不等式恒成立性质的运用，第（1）题用作差法进行分析，（2）题用定理进行分析运用公式一定要注意公式成立的条件两道题解题时都运用了排除法，这是此类问题的常用方法例3（2009四川理）已知为实数，且则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解法一:推不出；但，故选择B解法二:令,则；由可得，因为，则，所以故“”是“”的必要而不充分条件归纳小结：本小题考查不等式的性质、简单逻辑，是一类常见的基础题题型2：基本不等式例4（2008陕西卷理）“”是“对任意的正数，”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条

9、件解：，另一方面对任意正数，当时，得不到，所以选A归纳小结：该题考查了基本不等式中的易错点，在做题时要牢牢抓住“一正、二定、三相等”这三个条件进行判断例5 （1）（2009重庆文）已知，则的最小值是（ ）A2BC4D5（2）（2009天津理）设若的最小值为（ ）A8 B4 C1 D（3）（2007上海理）已知，且，则的最大值为解：（1）答案C因为，当且仅当，且，即时，取“=”号解：（2）因为，所以，当且仅当,即时“=”成立，故选择C（3）归纳小结：第（2）题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力第（3）题考查不等式的平均值定理，要注意凑数的技巧和判断等号成立的条件

10、题型3：不等式的证明例6 已知R，且求证：证法一：（比较法）即（当且仅当时，取等号）证法二：（分析法）因为显然成立，所以原不等式成立注：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件证法三：（综合法）由上分析法逆推获证欲证原式，即证，即证，即证或a0，b0，不可能成立，从而得证证法四：（反证法）假设，则由，得，于是有所以，这与矛盾所以证法五：（放缩法）左边右边证法六：（利用一元二次方程根的判别式法）设由，有，所以，因为，所以，即故归纳小结：本题用不同方法进行了证明，体现了思维的灵活性和多变性证法2中分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件；

11、证法5中根据不等式左边是平方和及这个特点，选用基本不等式进行放缩题型4：不等式证明的应用例7 已知的单调区间；(2)求证：，有（3）若求证：解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,（2）,而 ， 归纳小结：函 数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考 中有较高的训练价值四、本专题总结1不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论特别要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于零处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考虑所乘的代数式的正负2平均值定

12、理是证明不等式的重要依据，其一般形式是：均为正实数)，它的一边是“和”的形式，另一边是“积”的形式用它来求函数最值时，注意：一“正”二“定”三“相等”运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，还要注意“添拆项”技巧和公式等号成立的条件等3不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野（3）不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等换元法主