第四章图形的相似

1、第四章 图形的相似 4.1成比例线段形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关.1.两条线段的比的概念什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比（ratio）就是它们长度的比，即ABCD=mn，或写成=，其中，线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k，则=k，或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.注意：在量线段时要选用同一个长度单位.2.比例线

2、段的概念四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.3.比例的性质（1）如果（b,d都不为0），那么ad=bc.如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么.（2）如果=（b+d+n0）那么例题（1）如图，已知=3,求和;（2）如果=k（k为常数），那么成立吗？为什么？4.想一想（1）如果,那么成立吗？为什么？（2）如果,那么成立吗？为什么？（3）如果,那么成立吗？为什么.课堂练习1.已知：=2（b+d+f0）求：（1）;（2）;（3）;（4）.2.已知abc=432,且a+3b3c=14.（1）求a,b,c （2）

3、求4a3b+c的值.1.已知=3,求和, =成立吗？2.已知=2,求（b+d+f0）42平行线分线段成比例1.做一做在图3-6中，小方格的边长均为1，直线l1 l2 l3，分别交直线m，n与格点A1，A2，A3，B1，B2，B3.图3-6（1）计算 的值，你有什么发现？（2）将向下平移到如图3-7的位置，直线m,n 与的交点分别为 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将平移到其它位置呢？（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？结论平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.2.想一想（一）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A

4、刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ （二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ 得出结论：（推论） 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.3. 例题学习例1 如图，在ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EFBC。（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10 ，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？例2 如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DFAC，EFBC求证：ODOAOEOB 4.课时小结1

5、、平行线分线段成比例定理：(1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例. 4.3 相似多边形1探究相似多边形的定义下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？图414（1）在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测（2）在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？在上图中，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形，其中 A与A1，B与B1，C与C1，D与D1，E与E1

6、，F与F1分别对应相等，AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1A1的比都相等从上可知，幻灯片上的六边形与银幕上的六边形形状相同，只是大小不同，它们的对应角相等、对应边成比例那么，形状相同的多边形是都有这种关系呢，还是只有六边形才有呢？例题下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系呢？对应边呢？（1）正三角形ABC与正三角形DEF；（2）正方形ABCD与正方形EFGH 相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边的比叫做相似比相似应该怎样表示呢？六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似

7、记作六边形ABCDEF六边形A1B1C1D1E1F1，其中ABA1B1等于相似比注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上2 想一想（1） 如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？相似多边形性质：若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例3议一议1观察下面两组图形，（1）中的两个图形相似吗？为什么？（2）中的两个图形呢？与同伴交流图4152如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？4做一做一块长3 m，宽15 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽75 cm边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？图416 5想一想（2

8、）所有的边数相同的正多边形都相似吗？巩固练习1. 叫做相似多边形。相似多边形定义的条件：（1）边数 （2）各角 （3）各边 。 2.相似多边形的性质：相似多边形面积的比等于 。3、一个五边形的各边长为另一个与它形似的五边形的最长边的长为12，则最短边的长为 （ ）A. 4 B.5 C.6 D.84、在梯形ABCD中，AD平行于BC，AC、BD交于点O，SAOD：SCOB=1：9 则SDOC：SBOC=_5、在比例尺为的地图上，A,B两城的距离为7.2，则A,B两城的实际距离是 km6、四边形ABCD四边形， 与是对应对角线，若则= , = ,= .7.如图所示的两个四边形相似，则的度数是 （

9、）A.87 B. C. D.8.在四边形与四边形中，A=80°, B=90°, C=120°,F=90°,G=120°,H=70°,四边形与四边形相似吗？9、两个相似多边形边长的比为：3，它们的周长差为4cm,则较大多边形的周长是 （ ）A . 8cm B. 12cm C. 20cm D. 24cm10、已知平行四边形与平行四边形相似,对应边,若平行四边形的面积为18，则平行四边形的面积为 （ ）A. B. C . D. FGBHMNDABCE11、如图，正五边形与正五边形是相似形，若,则下列结论正确的是 （ ）A B. C. D.

10、ABCDEF12、如图，在梯形,将梯形分成两个相似梯形和梯形,若求的值。4.4.1探索三角形相似的条件（一）文具盒中的三角板，观察这些三角形的关系，这是有全等的关系也有相似的关系从全等与相似的类比，不难得到相似三角形的定义1、 相似三角形定义从A=A,B=B,C=C,AB:AB=BC:BC=AC:AC 可知ABCABC.合探1 我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条件两个三角形能够相相似？合探2 分别画ABC和ABC,使得A和A都等于，B和B都等于，此时，C与C相等吗？三边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变，的大小，再试一试.判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似

11、例：如图，D,E分别是ABC的边AB,AC上的点，DEBC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。 随堂练习有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？4.4.2探索三角形相似的条件（二）1. （1）画ABC与ABC，使A=A，和都等于给定的值k.设法比较 B与B的大小（或C与C的大小）、ABC与ABC相似吗？（2）改变k值的大小，再试一试. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似2. 画ABC与ABC，使、和都等于给定的值k.（1）设法比较A与A的大小；（2）ABC与ABC相似吗？说说你的理由.改变k值的大小，再试一试. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似例1：如图，

12、D,E分别是ABC的边AC,AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长. 例2：如图，在ABC和ADE中，= ，BAD=20°，求CAE的度数.4.4.3 探索三角形相似的条件黄金分割 （教材）在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算、,它们的值相等吗？1.黄金分割的定义一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中0.618.2. 计算黄金比.解：由= ，得AC2=AB·BC.设AB=1,AC=x,则

13、BC=1- x.x2=1×（1x） x2+ x 1=0解这个方程，得x1=或x2=（不合题意，舍去），所以，黄金比=0.618。3.作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BDAB，使BD=AB.（2）连接DA，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.（若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的两条线段AC、BC间须满足.为了计算方便，可设AB=1.）证明：AB=1,AC=x,BD=AB= AD=x+在RtABD中，由勾股定理，得（x+）2=12+（）2x2+x+=1+ x2=1xx2=1&#

14、183;（1x） AC2=AB·BC即：即点C是线段AB的一个黄金分割点，在x2=1x中整理，得x2+x1=0x=AC为线段长，只能取正 AC=0.6180.618黄金比约为0.618.3.想一想古希腊时期的巴台农神庙.把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？分析：因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因为,所以,即,因此点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD宽与长的比是黄金比. 在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.

15、活动与探究要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB的黄金分割点C作为第一个试验点，C点的数值可以算是1000+（20001000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点D，D的位置是1000+（16181000）×0.618，约等于1382，如果D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC之间的黄金

16、分割点；如果太稀，可以选AD之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.4.5相似三角形判定定理的证明 相似三角形的判定方法有哪些？（1）两角对应相等，两三角形相似.（2）三边对应成比例,两三角形相似.（3）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.探究1如果A =A ，B =B ， 那么，ABC ABC.如何证明呢？应用1已知：如图,ABD=C，AD=2, AC=8，求AB. 解： A= A,ABD=C, ABD ACB , AB : AC=AD : AB,

17、 AB2 = AD · AC. AD=2, AC=8, AB =4.探究2如果B =B1 ，那么，ABCA1B1C1.应用2已知：如图，在四边形ABCD中，B=ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，求AD的长. 探究3探究3：如果那么，ABCABC. 4.6 利用相似三角形测高如何利用三角形相似的有关知识,测量学校操场上旗杆的高度？1.利用阳光下的影子.图从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图）,即EADABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC=，代入测量数据即可求出旗杆BC

18、的高度.2.利用标杆.图法一：如图，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得DHFDGC.因为可以量得AE、AB,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AE ， DG=AB由得GC=.旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD.法二：过D、F分别作EF、BC的垂线交EF于H，交BC于M，因标杆与旗杆平行，容易证明DHFFMC由 可求得MC的长.于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+EF.图3.利用镜子的反射.这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端

19、C，EADEBC且EBCEBC EADEBC,测出AE、EB与观测者身高AD，根据，可求得BC=.讨论1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？2.今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确.课堂练习高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度.图4374.7.1 相似三角形的性质（一）1.做一做钳工小王准备按照比例尺为34的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的ABC表示该零件的横断面ABC，CD和CD分别是它们的高.（1）,各等于多少？（2）ABC

20、与ABC相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.（3）请你在图中再找出一对相似三角形.（4）等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.2.议一议已知ABCABC，ABC与ABC的相似比为k.（1）如果CD和CD是它们的对应高，那么等于多少？（2）如果CD和CD是它们的对应角平分线,那么等于多少？如果CD和CD是它们的对应中线呢？图由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.3.例题讲解:图如图所示，AD是ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SRAD,垂足为E.当SR=BC时，求DE的长，如果SR=BC呢？解： SRAD

21、,BCAD,SRBC.ASR=B, ARS=C,ASRABC（两角分别相等的两个三角形相似）.（相似三角形对应高的比等于相似比），即.当SR=BC时，得，解得DE=h当SR=BC时，得，解得DE=h课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为45,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？4.7 相似三角形的性质（二）1.做一做投影片（§4.7.2 A）在上图中，ABCABC，相似比为.（1）请你写出图中所有成比例的线段. （2）ABC与ABC的周长比是多少？你是怎么做的？（3）ABC的面积如何表示？ABC的面积呢？ABC与ABC的面积比是多少？与同伴交流.2.

22、想一想如果ABCABC，相似比为k，那么ABC与ABC的周长比和面积比分别是多少？如图，四边形A1B1C1D1四边形A2B2C2D2，相似比为k.（1）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？（2）连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的A1B1C1与A2B2C2相似吗？A1C1D1与A2C2D2呢？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？（3）设A1B1C1，A1C1D1，A2B2C2，A2C2D2的面积分别是 那么各是多少？（4）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？结论：相似多边形的周长比等于相似比

23、，面积比等于相似比的平方.4.8.1图形的位似一位似图形的概念活动1 生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的. 观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？ 位似图形的概念：如果两个相似多边形每组对应点的连线都经过同一个点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形， 这个点叫做位似中心.（位似中心可在形上、形外、形内.) 每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行二、利用位似，可以将一个图形放大或缩小活动2 把图1中的四边形ABCD缩小到原来的 分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形

24、各对应顶点到位似中心的距离之比为12 作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A、B、C、D，使得；（4）顺次连接AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形ABCD，如图2问：此题目还可以如何画出图形？作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；（2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；（3）分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延长线上取点A、B、C、D，使得；（4）顺次连接AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形ABCD，如图3 作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；（2）过

25、点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A、B、C、D，使得；（4）顺次连接AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形ABCD，如图4思考（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法是怎样的呢？） 4.8.2 图形的位似生活中，见过这样的图形么？除了相似，这里面还蕴含着怎样的数学奥秘呢？（一） 新知讲解我们以这组四边形为例，来研究一下。除了相似，还有其他特点么？ 位似多边形：如果两个相似多边形每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形。这个点叫做位似中心。想一想位似多边形与相似多边形有什么区别和联系

26、？位似多边形是特殊的相似变换.辨一辨：根据什么？是否相似？每组对应点所在的直线是否都经过同一点？（二） 例题讲解活动一：若三角形ABC与三角形的位似比为2，则可得出哪些结论分析：还有其他结论么？等于多少？为什么等于3？根据什么？你能发现对应点到位似中心的距离之比与位似比之间有什么关系？你能把你的发现概括成命题的形式吗？活动二：如图，已知ABC和点O。以点O为位似中心，求作ABC的位似图形，并把ABC的边长缩小到原来的。分析：（1） 要确定缩小后的图形，只需确定什么？（2） 缩小后图形的顶点应分别在怎样的射线上？（3） 缩小后的图形与原图形到对应顶点到点O的距离之比为多少？根据什么？（4） 你能做出几个图形？这两个图形在位置上有怎样的关系？（三） 再探新知活动三：如图，请以坐标原点O为位似中心，作平行四边形ABCD的位似图形，并把平行四边形的变长放大3倍。分析:(1) 做出的位似图形的顶点坐标分别是多少？与原图形的顶点坐标有什么关系？先看第一象限内。第三象限内的呢？为什么一个乘以正3一个乘以-3呢？(2) 若原图形上点的坐标为（x,y）,像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）。(3) 这