八年级物理上册 1.3《活动降落伞比赛》课件 （新版）教科版 (1303)(1)

1、1要点梳理要点梳理1.1.函数的单调性函数的单调性 在（在（a,ba,b) )内可导函数内可导函数f f( (x x) ),f,f( (x x) )在在( (a,ba,b) )任意子区任意子区间内都不恒等于间内都不恒等于0 0. . f f( (x x) )0 0f f( (x x) )为为 ； ff( (x x) )0 0f f( (x x) )为为 . .导数的综合应用导数的综合应用增函数增函数减函数减函数基础知识基础知识 自主学习自主学习22.2.函数的极值函数的极值 （1 1）判断）判断f f( (x x0 0) )是极值的方法是极值的方法 一般地，当函数一般地，当函数f f( (x

2、x) )在点在点x x0 0处连续时，处连续时， 如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ，那么那么f f( (x x0 0) )是极大值；是极大值； 如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ， 那么那么f f( (x x0 0) )是极小值是极小值. . (2) (2)求可导函数极值的步骤求可导函数极值的步骤 求求f f(x x);); 求方程求方程 的根；的根； 检查检查f f(x x) )在方程在方程 的根左右值的符号的根左右值的符号. . 如果左正右负，那么如果左正右负，那么f f( (x x) )在这个根处取得在这个根处取得 ； 如果左负右正，

3、那么如果左负右正，那么f f( (x x) )在这个根处取得在这个根处取得 . .f f(x x) )0 0f f(x x) )0 0f f(x x) )0 0f f(x x) )0 0f f(x x)=0)=0f f(x x)=0)=0极大值极大值极小值极小值33.3.函数的最值函数的最值 （1 1）在闭区间）在闭区间a a, ,b b上连续的函数上连续的函数f f( (x x) )在在a a, ,b b上必有最大值与最小值上必有最大值与最小值. . (2) (2)若函数若函数f f( (x x) )在在a a, ,b b上单调递增，则上单调递增，则 为为函数的最小值，函数的最小值， 为函数

4、的最大值；若函数为函数的最大值；若函数f f( (x x) )在在a a, ,b b上单调递减，则上单调递减，则 为函数的最大值，为函数的最大值， 为函数的最小值为函数的最小值. . (3) (3)设函数设函数f f( (x x) )在在a a, ,b b上连续，在上连续，在( (a a, ,b b) )内可导，内可导，求求f f( (x x) )在在a a, ,b b上的最大值和最小值的步骤如下：上的最大值和最小值的步骤如下： 求求f f( (x x) )在（在（a a, ,b b) )内的内的 ； 将将f f( (x x) )的各极值与的各极值与 比较，其中最大的一比较，其中最大的一个是最

5、大值，最小的一个是最小值个是最大值，最小的一个是最小值. .f f( (b b) )f f( (a a) )f f( (b b) )极值极值f f( (a a),),f f( (b b) )f f( (a a) )4基础自测基础自测1.1.函数函数y y= =x x3 3-3-3x x的单调递减区间是的单调递减区间是_.解析解析 y y=3=3x x2 2-3,-3,由由3 3x x2 2-3-30,0,得得-1-1x x1.1.（-1，1） 52.2.函数函数f f( (x x)=)=x x3 3+ +axax-2-2在区间（在区间（1 1，+）上是增函数，）上是增函数，则实数则实数a a的

6、取值范围是的取值范围是 _解析解析 f f( (x x)=)=x x3 3+ +axax-2-2在（在（1 1，+）上是增函数，）上是增函数， f f(x x)=3)=3x x2 2+ +a a00在（在（1 1，+）上恒成立）上恒成立. . 即即a a-3-3x x2 2在（在（1 1，+）上恒成立）上恒成立. . 又又在（在（1 1，+）上）上-3-3x x2 2-3,-3,a a-3.-3.-3，+)63.3.函数函数y y=2=2x x3 3-3-3x x2 2-12-12x x+5+5在在0 0，3 3上的最大值，最小上的最大值，最小 值分别是值分别是_ _ 解析解析 y y=6=6

7、x x2 2-6-6x x-12=0-12=0，得，得x x=-1=-1（舍去）或（舍去）或2,2,故函数故函数y y= =f f( (x x)=2)=2x x3 3-3-3x x2 2-12-12x x+5+5在在0 0，3 3上的最值上的最值可能是可能是x x取取0 0，2 2，3 3时的函数值，而时的函数值，而 f f（0 0）=5=5，f f（2 2）= = -15 -15，f f（3 3）=-4,=-4,故最大值为故最大值为5 5，最小值为，最小值为-15.-15.5,-1574.4.函数函数f f（x x）的定义域为开区间（）的定义域为开区间（a a，b b），导函数），导函数f

8、f(x x) )在（在（a a，b b）内的图象如图所示）内的图象如图所示, ,则函数则函数f f（x x）在开区间（在开区间（a a，b b）内有极小值点）内有极小值点 _个个 解析解析 f f(x x) )0 0时时, ,f f( (x x) )单调递增，单调递增，f f(x x) )0 0时，时，f f( (x x) )单调递减单调递减. .极小值点应在先减后增的特殊点，极小值点应在先减后增的特殊点，即即f f(x x) )00f f(x x)=0)=0f f(x x) ) 0.0.由图象可知由图象可知只有只有1 1个极小值点个极小值点. .185.5.若函数若函数f f( (x x)=

9、 )= 在在x x=1=1处取极值，则处取极值，则a a= = . . 解析解析 因为因为f f( (x x) )在在x x=1=1处取极值，所以处取极值，所以1 1是是f f(x x)=0)=0的根，将的根，将x x=1=1代入得代入得a a=3.=3.3 312xax.) 1(2) 1(22)(22222xaxxxaxxxxf9题型一题型一 函数的单调性与导数函数的单调性与导数【例例1 1】已知函数】已知函数f f( (x x)=)=x x3 3- -axax-1.-1. （1 1）若）若f f( (x x) )在实数集在实数集R R上单调递增，求实数上单调递增，求实数a a的取值的取值范

10、围；范围； （2 2）是否存在实数）是否存在实数a a，使，使f f( (x x) )在（在（-1-1，1 1）上单调递）上单调递减？若存在，求出减？若存在，求出a a的取值范围；若不存在，说明的取值范围；若不存在，说明理由理由. . 求求f f(x x)f f(x x)0)0或或f f(x x)0)0恒成恒成立立a a的范围的范围. . 思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析10解解 （1 1）由已知）由已知f f(x x)=3)=3x x2 2- -a a. .f f（x x）在（）在（-，+）上是增函数，）上是增函数，f f（x x）=3=3x x2 2- -a a00在（在

11、（-，+）上恒成立）上恒成立. . 即即a a33x x2 2对对x xR R恒成立恒成立. .33x x2 20,0,只要只要a a0.0.又又a a=0=0时，时，f f(x x)=3)=3x x2 200，f f（x x）= =x x3 3-1-1在在R R上是增函数，上是增函数，a a0.0.（2 2）由）由f f(x x)=3)=3x x2 2- -a a00在（在（-1-1，1 1）上恒成立）上恒成立. .a a33x x2 2在在x x（-1-1，1 1）上恒成立）上恒成立. .又又-1-1x x1,31,3x x2 23,3,只需只需a a3.3.当当a a=3=3时，时，f

12、f(x x)=3()=3(x x2 2-1)-1)在在x x(-1,1)上上， f f(x x) 0,0,即即f f( (x x) )在（在（-1-1，1 1）上为减函数，）上为减函数，a a3.3.故存在实数故存在实数a a3,3,使使f f( (x x) )在（在（-1-1，1 1）上单调递减）上单调递减. .11 探究提高探究提高 利用导数研究函数的单调性比用函数单利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意调性的定义要方便，但应注意f f(x x) )0(0(或或f f(x x) )0)0)仅是仅是f f( (x x) )在某个区间上为增函数（或减函数）在某个区间上为增

13、函数（或减函数）的充分条件，在（的充分条件，在（a a，b b）内可导的函数）内可导的函数f f( (x x) )在在（ a a , , b b ) ) 上 递 增 （ 或 递 减 ） 的 充 要 条 件 应 是上 递 增 （ 或 递 减 ） 的 充 要 条 件 应 是f f(x x)0)0或或f f(x x)0)0, ,x x(a a, ,b b) )恒成立，且恒成立，且f f(x x) )在（在（a a, ,b b）的任意子区间内都不恒等于）的任意子区间内都不恒等于0 0，这，这就是说，函数就是说，函数f f( (x x) )在区间上的增减性并不排斥在区在区间上的增减性并不排斥在区间内个别

14、点处有间内个别点处有f f(x x0 0)=0,)=0,甚至可以在无穷多个点甚至可以在无穷多个点处处f f（x x0 0）=0,=0,只要这样的点不能充满所给区间的只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，任何一个子区间，12 因此，在已知函数因此，在已知函数f f( (x x) )是增函数（或减函数）求参是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令数的取值范围时，应令f f(x x)0)0或或f f(x x)0)0恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f f(

15、x x) )恒等于恒等于0 0，若能恒等于，若能恒等于0 0，则参数的这个值应，则参数的这个值应舍去，若舍去，若f f(x x) )不恒为不恒为0 0，则由，则由f f(x x)0)0或或f f(x x)0)0恒成立解出的参数的取值范围确定恒成立解出的参数的取值范围确定. .13知能迁移知能迁移1 1 已知已知f f( (x x)=e)=ex x- -axax-1.-1. （1 1）求）求f f( (x x) )的单调增区间；的单调增区间； （2 2）若）若f f( (x x）在定义域）在定义域R R内单调递增，求内单调递增，求a a的取值范的取值范 围；围； （3 3）是否存在）是否存在a

16、a, ,使使f f( (x x) )在（在（-，0 0上单调递减，上单调递减，在在0 0，+）上单调递增？若存在，求出）上单调递增？若存在，求出a a的值；的值；若不存在，说明理由若不存在，说明理由. . 解解 f f(x x)=e)=ex x- -a a. . (1) (1)若若a a00，f f(x x)=e)=ex x- -a a00恒成立，即恒成立，即f f( (x x) )在在R R上上递增递增. . 若若a a 0,e0,ex x- -a a0,e0,ex xa a, ,x xln ln a a. . f f( (x x) )的单调递增区间为的单调递增区间为(ln (ln a,a,

17、+).+).14（2 2）f f（x x）在）在R R内单调递增，内单调递增，f f(x x)0)0在在R R上恒上恒成立成立. .eex x- -a a00，即，即a aeex x在在R R上恒成立上恒成立. .a a（e ex x）minmin，又，又eex x0 0，a a0.0.（3 3）方法一方法一 由题意知由题意知e ex x- -a a00在（在（-，0 0上恒成上恒成立立. .a aeex x在（在（-，0 0上恒成立上恒成立. .eex x在（在（-，0 0上为增函数上为增函数. .x x=0=0时，时，e ex x最大为最大为1.1.a a1.1.同理可知同理可知e ex

18、x- -a a00在在0 0，+）上恒成立）上恒成立. .a aeex x在在0 0，+）上恒成立）上恒成立. .a a11，a a=1.=1.方法二方法二 由题意知，由题意知，x x=0=0为为f f( (x x) )的极小值点的极小值点. .f f(0)=0,(0)=0,即即e e0 0- -a a=0,=0,a a=1.=1.15题型二题型二 函数的极值与导数函数的极值与导数【例例2 2】设】设x x=1=1与与x x=2=2是函数是函数f f( (x x)=)=a aln ln x x+ +bxbx2 2+ +x x的两个的两个极值点极值点. . （1 1）试确定常数）试确定常数a a

19、和和b b的值；的值； （2 2）试判断）试判断x x=1,=1,x x=2=2是函数是函数f f( (x x) )的极大值点还是极的极大值点还是极小值点，并说明理由小值点，并说明理由. . （1 1）函数的导函数在极值点处的函数值）函数的导函数在极值点处的函数值为为0 0，列方程组求解，列方程组求解. . （2 2）极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定）极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定 义判断义判断. .思维启迪思维启迪16解解 （1 1）f f(x x)= +2)= +2bxbx+1,+1,xa.3)2)(1(3231)3(32)()2(.61,32, 0142)2(. 012

20、1) 1 (2xxxxxxxxxfbabafbaf17函数定义域为（函数定义域为（0 0，+），列表），列表x x(0,1)(0,1)1 1 (1(1，2)2)2 2(2,+)(2,+)f f(x x) ) - -0 0+ +0 0- -f f( (x x) ) 单调递减单调递减 极小值极小值 单调递增单调递增 极大值极大值 单调递减单调递减 x x=1=1是是f f（x x）的极小值点，）的极小值点，x x=2=2是是f f（x x）的极大值点）的极大值点. . 此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利的步骤求解，

21、但要注意极值点与导数之间的关系，利用这一关系（用这一关系（f f (x x)=0)=0）建立字母系数的方程，通）建立字母系数的方程，通过过解方程（组）确定字母系数，从而解决问题解方程（组）确定字母系数，从而解决问题. .探究提高探究提高18题型三题型三 函数的最值与导数函数的最值与导数【例例3 3】已知】已知a a为实数，且函数为实数，且函数f f( (x x)=()=(x x2 2-4)(-4)(x x- -a a).). (1) (1)求导函数求导函数f f(x x);); (2) (2)若若f f(-1)=0(-1)=0，求函数，求函数f f( (x x) )在在-2-2，2 2上的最大

22、上的最大值、最小值值、最小值. . 先求函数的极值，然后再与端点值进行先求函数的极值，然后再与端点值进行比较、确定最值比较、确定最值. . 解解 （1 1）f f( (x x)=)=x x3 3- -axax2 2-4-4x x+4+4a a, , 得得f f(x x)=3)=3x x2 2-2-2axax-4.-4.思维启迪思维启迪19（2 2）因为）因为f f(-1)=0,(-1)=0,所以所以a a= ,= ,有有f f( (x x)=)=x x3 3- - x x2 2-4-4x x+2,+2,所以所以f f(x x)=3)=3x x2 2- -x x-4.-4.又又f f(x x)=

23、0,)=0,所以所以x x= = 或或x x=-1.=-1.又又f f = ,= ,f f(-1)= ,(-1)= ,f f(-2)=0,(-2)=0,f f(2)=0,(2)=0,所以所以f f( (x x) )在在-2-2，2 2上的最大值、最小值分别为上的最大值、最小值分别为 、 . .2121343427502929275020 探究提高探究提高 在解决类似的问题时，首先要注意区分在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别函数最值与极值的区别. .求解函数的最值时，要先求解函数的最值时，要先求函数求函数y y= =f f（x x）在）在a a，b b内所有使内所有使f f（

24、x x）=0=0的的点，再计算函数点，再计算函数y y= =f f（x x）在区间内所有使）在区间内所有使f f（x x）=0=0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得的点和区间端点处的函数值，最后比较即得. .21知能迁移知能迁移2 2 已知函数已知函数f f( (x x)=)=axax3 3+ +bxbx2 2-3-3x x在在x x= =1 1处取得处取得极值极值. . （1 1）讨论）讨论f f(1(1）和）和f f(-1)(-1)是函数是函数f f( (x x) )的极大值还是的极大值还是 极小值；极小值； （2 2）过点）过点A A（0 0，1616）作曲线）作曲线y y= =f

25、f( (x x) )的切线，求此切的切线，求此切线方程线方程. . 解解 （1 1）f f(x x)=3)=3axax2 2+2+2bxbx-3,-3,依题意，依题意， 3 3a a+2+2b b-3=0-3=0 3 3a a-2-2b b-3=0-3=0f f(1)=(1)=f f(-1)=0,(-1)=0,即即, ,22解得解得a a=1,=1,b b=0.=0.f f（x x）= =x x3 3-3-3x x, ,f f(x x)=3)=3x x2 2-3=3(-3=3(x x+1)(+1)(x x-1).-1).令令f f(x x)=0,)=0,得得x x=-1,=-1,x x=1.=

26、1.若若x x(-,-1)(1,+)(-,-1)(1,+)，则，则f f(x x) )0,0,故故f f( (x x) )在（在（-,-1)-,-1)上是增函数，上是增函数，f f( (x x) )在（在（1,+)1,+)上是增函数上是增函数. .若若x x(-1,1)(-1,1)，则，则f f(x x) )0,0,故故f f( (x x) )在（在（-1-1，1 1）上是减函数）上是减函数. .所以所以f f(-1)=2(-1)=2是极大值，是极大值，f f(1)=-2(1)=-2是极小值是极小值. .23（2 2）曲线方程为）曲线方程为y y= =x x3 3-3-3x x, ,点点A A

27、（0 0，1616）不在曲线上）不在曲线上. .设切点为设切点为M M（x x0 0，y y0 0），则点），则点M M的坐标满足的坐标满足y y0 0= = - -3 3x x0 0. .因因f f(x x0 0)=3()=3( -1),-1),故切线的方程为故切线的方程为y y- -y y0 0=3(=3( -1)(-1)(x x- -x x0 0),),注意到点注意到点A A（0 0，1616）在切线上，）在切线上，有有16-(16-(x x -3-3x x0 0)=3()=3(x x -1)(0-1)(0-x x0 0),),化简得化简得x x =-8,=-8,解得解得x x0 0=-

28、2.=-2.所以，切点为所以，切点为M M（-2-2，-2-2），切线方程为），切线方程为9 9x x- -y y+16=0.+16=0.30 x20 x20 x30203024知能迁移知能迁移3 3 已知已知a a为实数，函数为实数，函数f f( (x x)=()=(x x2 2+1)(+1)(x x+ +a a).).若若f f(-1)=0(-1)=0，求函数，求函数y y= =f f( (x x) )在在 ，11上的最大上的最大值和最小值值和最小值. . 解解 f f(x x)=3)=3x x2 2+2+2axax+1,+1,又又f f(-1)=0(-1)=0， 3-23-2a a+1=0+1=0，即，即a a=2.=2. f f（x x）=3=3x x2 2+4+4x x+1=3+1=3（x x+ + ）( (x x+1).+1). 由由f f(x x) )0 0，得，得x x-1