2020版高考数学大一轮复习-第3节平面向量的数量积及其应用讲义(理)(含解析)新人教A版

1、第3节平面向量的数量积及其应用考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.|知识百匕库验如收小夯实基戕知识梳理1 .平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a和b,记O屋a,OB= b,则/AOB=6(0° < 0 <180° ) 叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0 ,则a与b

2、的数量积(或内积)ab= |aj|b|cos_ _e_.规定：零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0.数量积的几何意义：数量积 a - b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos_ 6 的乘积.2 .平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=(X1, y1), b = (X2, y2), 9为向量a, b的夹角.(1)数量积：a - b= | a| b|cos 0 = X1X2+ y1y2.(2)模：| a| =5 a =52+ y2.八 a - bX1X2+ y1y2夹角：cos e=|T=VX2+y；2. VX2+y2.(4)两非零向量 a_Lb的充要条件：a , b =

3、 0? X1X2+y1y2= 0.(5)| a - b| < I a| b|(当且仅当a/ b时等号成立)？以此十 丫快心 小；+ y1 52 + y2.3.平面向量数量积的运算律(1) a , b= b ' a(交换律).(2)入 a b=入(a b) =a (入 b)(结合律).(3)( a+ b) - c= a - c+ b - c(分配律).微点提醒1 .两个向量a,b的夹角为锐角？ab>0且a,b不共线；两个向量a,b的夹角为钝角？ a b<0且a, b不共线.2 .平面向量数量积运算的常用公式(1)( a+b) (ab) = a2b2.(2)( a+b)2

4、=a2+ 2a b+b2.(3)( ab)2=a2 2a b+b2.基础自测疑误解析二1.判断下列结论正误(在括号内打或“x”)一兀(1)两个向量的夹角的范围是0,万.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若 a b = a c( aw0),贝U b= c.()解析(1)两个向量夹角的范围是0,兀.(4)由 a b = a c( aw0)得 | a| b| cosa, b> = | a| c| cosa, c>,所以向量 b 和 c不一定相等.答案 (1) X (2) V (

5、3) V (4) X教材运化2.(必修4P108A10改编)设a, b是非零向量." a b= | a| b| "是“a/ b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 设 a 与 b 的夹角为 0 .因为 a - b= | a| - | b|cos 0 = | a| | b| ,所以 cos 0=1, IPa与b的夹角为0° ,故all b.当a/ b时，a与b的夹角为0°或180° ,所以 a - b= | a| - I b|cos 0 = ± I a| - I b| ,所以&qu

6、ot;a b = | a| I b|"是"a / b”的充分而不必要条件.答案 A3 .(必修4P108A2改编)在圆O中，长度为 电的弦AB不经过圆心，则Ab 而勺值为.一一一一 一一一一 1 一解析 设向量 AQ AB勺夹角为 0 ,则 AO AB= | AQ| AB - cos 0 =| AQcos 0 | AB =2| AB I - iXB|=2-x（避）2=i.答案 i老睡体聆'4 .（2018 全国 n 卷）已知向量 a, b 满足 I a| = i, a b= 1,则 a （2 ab）=（）A.4B.3C.2D.0解析 a（2ab）=2|a|2a b=

7、2xi2（1） = 3.答案 B5 .（2018 上海嘉定区调研）平面向量a与b的夹角为45° , a= （1 , 1）, |b|=2,则|3a + b|等于（）A.13+监B.25C. 30D. 34解析 依题意得 a2=2, a-b = y2x2xcos 45° =2, |3a+ b| =7（3a+b） 2 = M9a2+6a b+b2 = 18+ 12+4 = /34.答案 D6 .（2017 全国l卷）已知向量 a=（-1, 2） , b= （m 1）.若向量a+b与a垂直，则 m=解析 由题意得a+b = (m- 1, 3),因为a+ b与a垂直，所以(a+b)

8、- a= 0,所以一(m-1) +2X3= 0,解得m= 7.答案 7考点聚焦突破分类讲脸以倒求法考点一 平面向量数量积的运算【例1】(1)若向量m= (2 k1, k)与向量n= (4 , 1)共线，则m- n=()A.0B.4C.-D.-卫22(2)(2018 天津卷)在如图的平面图形中，已知OMI= 1, ON= 2, /MON： 120° , BM= 2MA CN=2曲则BC-Omj值为()A. 15B. 9C. 6D.01解析(1)由题意得2k1 4k=0,解得k=-,rr1即 m= 2, 2 ,117所以 mr n= 2X4+ 2 x 1 =.(2)连接 OA 在ABC,

9、 珞 MKB= 3A* 3XU 3(ONkOA 3(OwOA = 3(ONkOM, .Bc- om= 3(On-Om - om= 3(On OwOMj =3x(2xixcos 120 i2)=3x(- 2) = - 6.答案(1)D(2)C规律方法1.数量积公式a - b=|a| b|cos e在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系， 借助数量积的坐标运算公式a b=X1X2+y/2求解，较为简捷、明了 .2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移” 实现.一、,，一，兀 一，,

10、，,一【训练1】(1)在4ABC中，AB= 4, BO 6, /ABO万，D是AC的中点，E在BC上，且AE!BD 则AL BC醇于()A.16B.12C.8D.-4(2)(2019 皖南八校三模)已知|a| =|b| = 1,向量a与b的夹角为45° ,则(a+2b) a =.解析(1)以B为原点，BA BC所在直线分别为x, y轴建立平面直角坐标系(图略)，A(4, 0), R0 , 0) , C(0 , 6) , D(2, 3).设 R0 , t) , BED- AE= (2 , 3) (-4, t) =-8+3t = 0,Enr8- 3AE- BC= 4, 8 (0,36)

11、= 16.24(2)因为| a| = | b| = 1,向量a与b的夹角为45° ,所以(a+ 2b) a= a2+ 2a b= | a| 2+2| a| | b|cos 45 ° = 1 + /.答案(1)A(2)1 +J2考点二平面向量数量积的应用多维探究角度1平面向量的垂直【例 21】 （1）（2018 北京卷）设向量 a=（1 , 0）, b=（-1, m）.若 a±（ma-b）,则 mr（2）（2019 宜昌二模）已知ABC43,ZA= 120 ,且AB= 3, AC= 4,若用吐入XB+硝 且扉LBC,则实数入的值为（）22A.一1510B.C.612

12、D.解析 a=(1 , 0), b=( 1, m),由 a±( mab)得 a (ma- b) = 0,即 ma 所以a - 3 =2- a b= 0. rn- ( 1) = 0, - m= 1.（2）因为 注 入AB+AC且APlbc2所以有 A P- B C=(入 AB+ A C) (AC-AB =入 AB AC-入 A+aCAB AC=(入-1) AB- AC-入庙+AC=0,整理可得（入1） X3X4Xcos 120 ° - 9 入 +16=0, r22解得入=15.答案（1）1 （2）A规律方法 1.当向量a, b是非坐标形式时，要把a, b用已知的不共线向量作为

13、基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算2.数量积白运算 a - b = 0? ab中，是对非零向量而言的，若a=0,虽然有ab=0,但不能说a± b.角度2平面向量的模【例 22】（1）已知平面向量 a , B , | a | =1, | B | =2, a 1（ a 2§ ）,则 |2 a + § | 的值是.（2）（2019 杭州调研）已知直角梯形 ABC加，AD/ BC / ADC= 90° , AD= 2, BC= 1, P 是腰DC上的动点，则|附3PB的最小值为 .2斛析 （1）由 a_L（a2§）倚 a，（a2&#

14、167;）=a 2a , §=0,所以(2 a + § ) 2= 4 a 2 § =4Xl2+22 + 4X-2=10,所以 |2 a + § | =#0.（2）建立平面直角坐标系如图所示，则A（2 , 0）,设 R0 , v), q。，b),则 B(1 , b).所以揣 3PBf= (2 , y) + 3(1, by) = (5, 3b 4y),所以 | 9 3PB = 25+ （3b 4y） 2（0 <y<b）,所以当y = |b时，|PA甘3前取得最小值5.答案（1）10 （2）5规律方法1.求向量的模的方法：（1）公式法，利用| a|

15、 =5 a及（a± b） 2= | a| 2±2a b +|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算；（2）几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值（范围）的方法：（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.角度3平面向量的夹角【例23】（1）（2019衡水中学调研）已知非零向量a, b满足|a+b|=|ab| =233|a|,则向量a + b与ab的夹角为.(2)若向量a=(k, 3), b=(1, 4), c=(2, 1),已知2a3b与c的夹角为钝角，则 k的

16、取 值范围是.解析 (1)将 | a+b|= | ab|两边平方，得a2+b2+2a b=a2+b22a b,. a b=0.将|a+b|=§ga| 两边平方，得 a2+b2+2a b = ga：33.,b2=1a2.3设a+b与ab的夹角为0,(a+ b) (a b) cos 9 =| a+ b| | ab|a2b22 23a12 32 34 2 2-3-|a| ,二3| a|3a兀又e co,兀,，e =m.(2) . 2 a 3b与c的夹角为钝角,(2 a- 3b) c<0,即(2 k3, 6) (2, 1)<0 ,解得 k<3.又若(2 a3b) II c,

17、r9则 2k3= 12,即 k=- 2.当 k=9时，2a3b = ( 12, -6) =- 6c,此时2a 3b与c反向，不合题意.99综上，k的取值范围为 一8, 2 U 2, 3 .兀99答案(1) 了 (2) 一 2 U 2, 3规律方法 1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是 0或兀；注意向量夹角的取值范围是 0,兀；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos e求解.X1X2+ yw-2 ,22 ,2X1 + y1：X2+y22.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的

18、夹角为钝角【训练2】(1)已知向量a=(-2, 3), b=(3, m),且a,b,则m.(2)( 一题多解)(2017 全国I卷)已知向量a, b的夹角为60° , | a| =2, | b| = 1,则|a + 2b| =.(3)(2017 山东卷)已知e1,e2是互相垂直的单位向量，若寸3e巳与ed入e2的夹角为60° ,则实数入的值是.解析(1)由 a, b,得 a b= 0,又 a=(2, 3), b=(3, m),- 6+ 3m= 0,贝U m= 2.(2)法一 |a+2b|(a+2b) 2=a2+4a b+ 4b22+4X2X1Xcos 60+4X1 2=12

19、= 23.法二（数形结合法）则 | a+2b| = | OC由| a| =|2b| =2知，以a与2b为邻边可作出边长为 2的菱形OACB如图,|.又/AO960° ,所以 |a+2b|=2j3.(3)由题意知 | e“ = | e2| = 1, ei e2 = 0,| -3ei e2| = N ("y3ei-e2)= 3e22>y3ei , e2+e2 = 3- 0+1 = 2.同理|ei+入e2| =弓1+32.而1 公八。_ 气加e2) (ei+P所以 cos 60 | J3ei e2| ei+ 入 e2|*3ei + ( yJ3 入-1) ei，e - 入 e

20、2y3 一 入 1=2>ATT=2 币TT2，'解得入=33 3答案(1)2(2)23 (3) -z33考点三平面向量与三角函数【例3】(2019 潍坊摸底)在 ABC4角A, B, C的对边分别为a, b, c,B) ,sin(A B), n= (cosB, sinB),且mn= - 3.5(1)求sin A的值；向量 mp (cos( A(2)若2=442, b=5,求角B的大小及向量BA4BC方向上的投影解 (1)由mn = - I，53得 cos( A B)cos B sin( A B)sinB=占，5所以cos A= 7.因为0<A<兀,5所以 sin A=

21、小cos2A=1 52_4 =5.(2)由正弦定理，得a bsin A sin B'4nrtbsin A 5X5 J2贝U sin B=-=,a 4 22因为a>b,所以A>B且B是ABL内角，则兀B= 彳由余弦定理得(4 2)2=52+C2-2X5cX -3 ,解得c= 1, c= 7舍去，故向量BA在BC方向上的投影为|BAcos B= ccos B= 1X22=乎.规律方法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是

22、向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等【训练3】(2019 石家庄模拟)已知A, B, C分别为 ABCW三边a, b, c所对的角，向量m= (sin A, sin B), n = (cos B, cos A),且 m n = sin 2 C求角C的大小；(2)若 sin A, sin G sin B成等差数列，且 CA- (AB- AC) = 18,求边 c 的长.解 (1)由已知得 mr n= sin Acos B+ cos Asin B= sin( A+ E) ,因为A+ B+ C=兀,所以 sin( A+ B) =sin(

23、兀一C) = sin C,所以 m- n= sin C,又 m- n= sin 2 C,一, 一一 一， 一 1所以 sin 2 C= sin C,所以 cos C= 2. 兀又 0<C<Tt ,所以 C=§.(2)由已知及正弦定理得2c=a+b.因为 CA-(AB-AC =CA- Cb= 18,所以 abcos C= 18,所以 ab=36.由余弦定理得 c2= a2+ b2 2abcos C= ( a+ b)2 3ab所以 c2=4c23X36,所以c=36,所以c=6.思维升华1 .计算向量数量积的三种方法 定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的

24、不要忽略数量积几何意义 的应用.2 .求向量模的常用方法利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.3 .利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧易错防范 数量积运算律要准确理解、应用，例如， a b=a c(aw0)不能彳#出b=c,两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(a b) - c不一定等于a ( b c).I核心素养提升数学运算、数学建模一一平面向量与三角形的“四心”1 .数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，

25、养成一丝不苟、严谨求实的科学精神 .2 .数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中， 经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型， 能够培养学生用模型的思想解决相关问题.设O为 ABO在平面上一点，内角 A, B, C所对的边分别为a, b, c,则(i)。为乙 abc勺外心？ OA = Ob = i Oc=-a-.2sin A(2) 0为4 ABC勺重心？ OAF O跳 OC= 0. o为 abc勺垂心？ OA- 0b=0b- 0c=0c OA(4) 0为4 ABC勺内心？ aOAF bOBb cOC= 0.类型1平面

26、向量与三角形的“重心”【例1】已知A, B, C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足Oe 1（1 入）OA3十 （1 入）0诽（1 + 2入） Oc,入e R,则点P的轨迹一定经过（）A. ABC勺内心B. ABC勺垂心C. ABC的重心D.AB边的中点解析 取AB的中点D,则2Od=O&Ob1 O曰-（1 入）ON （1 入）O1（1 + 2 入）OC , 3 .OP= 12（1 -入）ODb（1+2 入）OC3 93Od33而2（1 ；入）+ 1 +；入=1,，P, C, D三点共线， 33.点P的轨迹一定经过 ABC勺重心.答案 C类型2平面向量与三角形的“内心”问题【

27、例2】 在4ABC中，A氏5, AC= 6, cos A= ' O是ABC勺内心，若 OP= xO拼yOC其 5中x, yC0, 1,则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为 （）A.106B.%6C.4 3D.6 233,解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为 BOCJ面积的2倍.在ABC4设内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,由余弦定理 a2= b2+ c2- 2bccos A,得 a= 7.设 ABC勺内切圆的半径为r,则12bcsinA= 2(a+b+c)r,解得=236，11bo 2x ax r = 2x

28、7x2 ,63 =7.63故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2s皿2 Sa boic3答案 B类型3平面向量与三角形的“垂心”问题【例3】已知O是平面上的一个定点,A b, c是平面上不共线的三个点，动点 P满足0P=OAt入ABXc-+ , -» 二，入| ABcos B | AQcos CC(0, +8),则动点P的轨迹一定通过 ABC()A.重心B.垂心C.外心D.内心解析因为隹OAvAB+| ABcos B| AQcos cXB+| ABcos BAc| AQcos C所以B> AP= Bb入AB+| ABcos BAC| AQcos=入(-1 的 +1 BC)=0,所以

29、BCiAh所以点P在BC的高线上,即动点P的轨迹一定通过 ABC勺垂心.答案 B类型4 平面向量与三角形的“外心”问题【例4】已知在 ABC中，AB= 1,BC= 6AC= 2,点0为丛ABC勺外心，若於 xAB yAC,3 4D. - 5,石解析取AB的中点M和AC的中点N,连接om on则0也血血此则有序实数对(X, 丫)为()4 3a. 5, 54 3Q. 5, 51>-T»2 x AB- yAQ- 1 ，一QIM= AW A0=(xAB+ yAQ =0N= ANJ-Ac)= 2aC-(xAB+ yAC) = -y AC-xAB1由。ML AR 彳导 2-x AByA C

30、- AB= 0,由ONlAC 彳导 2-y ACxAC. XB= o,又因为 BC= (AC-曲2=AC2AC- AkAS,AC2+AB2-BC212，区把代入、得2x + y"解得 x = 4, y=|. 4+x-8y=0,55故实数对（x, y）为4 35, 5 .答案 A分层训练I分层限时巾炼基础巩固题组（建议用时：40分钟）、选择题1.已知向量a=(mv 1, 1)b=(E - 2),则“ m2” 是 “ si± b" 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当m 2时，a=（11), b=(2, 2),所以 a

31、b=(1 , 1) (2,2) =2-2=0,所以aX b,充分性成立;当 ab 时，a b=(m-1, 1) - ( m 2) = m(m- 1) 2 = 0,解得m= 2或m= 1,必要性不成立.所以“m2”是“ ab”的充分不必要条件.答案 A 2.（2019 北京通州区二模）已知非零向量a, b的夹角为60° ,且| b| =1, |2ab| =1,则|a| =()B.1C. 2D.2一一 ,-1 | a|解析由题意得a b = | a| X1X 2=宣,又|2 ab| =1,|2 a-b|2=4a2-4a - b+b2=4| a|2-2|a| +1=1,o即 4| a| -

32、2| a| =0,又 |a| w。,1解得| a| =2-答案 A3.（2019 石家庄二模）若两个非零向量 a, b满足|a+b| =| a b| =2| b| ,则向量a + b与a的夹角为（）兀2 715 7171A. -B.-C.-t-D.3366解析 设| b| = 1,则 | a+ b| = | a b| = 2.由I a+ b| = | a b| ,得 a b= 0,故以a、b为邻边的平行四边形是矩形，且 |a|=，5,设向量a + b与a的夹角为6 ,则 cos -（a+b） =b =旧 =3、| a| - | a+ b| | a| - | a+ b| | a+ b| 2 &#

33、39;一兀又 OW 0 < % ,所以 9 =.6答案 D 4.如图，在等腰梯形 ABC", AB=4, BG= CD= 2,若E, F分别是边BQ AB上的点，且满足康暮入，则当届血。时，入的值所在的区间是（）DU At51所以=60 , BO =120 ,8' 4所以居 M>4X2X ； = 4,1Xb-配=4X2X - = - 4,前> Bb=2X2X 2= D.解析 在等腰梯形 ABC砰，AB=4, BG=CD=2, 可得心元=60：,BE AF 一 一一 一又入，所以BE入BQ AF=入AB oU AoI，> >>贝UAE= AB

34、+ BE= AB+ 入 BCDE AF- AD=入 AB AD所以AE- Df=（Ab+ 入的（ xAb-AD22 丁=入 AB-AB- AD+ 入 AB- BC-入 AD- BC= 0,即2入27入+ 2=0,解得 入=7+严（舍去）或入=7/C 3 .444 8答案 B 5.（2017 浙江卷）如图，已知平面四边形 ABCD ABL BC AB= BC= AD= 2, CD= 3, ACW BD交于点 O.记 Ii=Oa- OB 12= OB- OC I3=OC- OD 则（）B.11 v 13 v 12A.I i v 12V 13C. I 3V I 1< I 2D.I 2<

35、I 1 < I 3解析 如图所示，四边形ABC屋正方形，F为正方形的对角线的交点， 易得AGAF,而/ AFB= 90° ,AOBW/CON钝角，/ AOD/ BOC/锐角，根据题意，i 1 i2=OA ob-Ob- Oc= Ob-（OA-Oc = Ob- CA= | O用 CA cos/ aob。，.Ii<I2,同理 l2>I 3,作 AGL BD于 G又 AB= AD OBcBG= GD：OD 而 OAAF= FC<OC，I OA| 0%| 函 函, 而 cos/ AOB= cos/ COD0,OA- O&OC OD即 I 1>I 3. I

36、3<I 1<I 2.答案 C二、填空题6.（2019 杭州二模）在 ABC中，三个顶点的坐标分别为 A（3, t）, B（t , 1）, C -3,1),若 ABB以B为直角顶点的直角三角形，则 t=.解析由已知，得BA鼠0,则(3 t , t + 1) ( 3 t , 0) =0, .(3 t)( 3t) =0,解得 1 = 3或1 = 3,当t= 3时，点B与点C重合，舍去.故t=3.答案 37 .若非零向量a, b满足| a| =3|b| =|a + 2b| ,则a, b夹角e的余弦值为 .解析| a| = | a+ 2b| ,两边平方得，|a|2=| a|2+ 4| b|2

37、+ 4a b=| a|2+ 4| b| 2+4| a| b| cos e .又 |a|=3|b|,所以 0= 4| b|2+ 12| b| 2cos 0 ,得 cos 8 =；.3J1答案-38 .(2019 佛山二模)在 RtAABO, / B= 90° , BC= 2, AB= 1, D为 BC的中点，E在斜边 AC上，若 AE= 2 氏 则 Db AC=.解析 如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐 标系，则 R0 , 0) , A(1 , 0) , C(0 , 2),所以 AC= ( -1, 2).ti A因为D为BC的中点，所以口0,

38、1),因为AE= 2日所以E3，4，所以 DE= 1, 1 ,3 3所以DE Ab= 1 1( 1, 2) = 1+2=1.3 33 3 31答案3三、解答题9.在平面直角坐标系 xOy中，点 收一1, 2), B(2, 3), C(-2, - 1). 求以线段AR AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB- tOC) - OC= 0,求t的值.解 (1)由题设知 AB= (3 , 5), AC= ( -1, 1),则AB+AC= (2, 6), AB-AC= (4, 4).所以 IAB+ 的=2币0,| AB-AC = 4小.故所求的两条对角线的长分别为4 2, 2 1

39、0.(2)由题设知：OC= (2, 1), AB-tOC= (3+2t, 5+t).由(AB-toC) - oc= o,得(3 + 2t , 5+ t) (-2, -1) = 0,从而 5t = - 11,所以 t = ?.510 .在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量 a=( 1, 2),又点A(8 , 0), B(n, t),兀aksin 。，t)(0 < e <y).(1)若ABia,且i AB = J5| OA,求向量 Ob(2)若向量ACw向量a共线，当k>4,且tsin e取最大值4时，求OA Oc解(1)由题设知AB= (n-8, t), - AB

40、7;a,8 n+2t =0.又乖i OA= AB,.5X64= (n-8)2+t2=5t2,得 t = ±8.当 t = 8 时，n=24;当 t=8 时，n=- 8,. OB= (24 , 8)或 OB= (-8, - 8).(2)由题设知 AC= (ksin e -8, t),. ACW a 共线，t = -2ksin e +16,tsin 9=( 2ksin 8+16)sin 9=2k(sin8 4)2 + 32.k k4 - k>4, -0<-<1, K，当sin 0 =；时，tsin 0取得最大值 苧. KK,32由=4,得 K= 8,K一一， 一 兀_此时 9 = 6-, OC= (4 , 8), .OK Og= (8 , 0) (4, 8) =32.能力提升题组(建议用时：20分钟)11 .在ABC, / 0= 90° , AB= 6,点P满足C母2,则PA- 屯勺最大值为()A.9B.16C.18D.25解析 Z C= 90° , AB= 6,- CA- Cb= 0, CavCB = |CavCB = |B/a = 6,2PA- PB= (PO CA ( PO CB = PC+ PC- ( CAF CB + CA- CB=Pb(CACb + 4,，当PCciCACB疔向相同时，Pd(CAC口取得最大值2x6=12,