1.第十一章三角形能力培优

1、第十一章 三角形11.1与三角形有关的线段专题一 三角形个数的确定1如图，图中三角形的个数为（）A2 B18 C19 D202如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形_个3阅读材料，并填表：在ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）当ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？完成下表：ABC内点的个数1231007构成不重叠的小三角形的个数35专题二 根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围4三角形的三边分别为3

2、，12a，8，则a的取值范围是（） A6a3 B5a2 C2a5 Da5或a25. 在ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且cba0，如果b=4，则这样的三角形共有_个6若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式的正整数解，试求第三边x的长状元笔记【知识要点】1三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边2三角形三条重要线段 (1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高 (2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线 (3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线3三角形的稳定

3、性 三角形具有稳定性【温馨提示】1以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种2三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线【方法技巧】1根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边2三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等参考答案:1D 解析：线段AB上有5个点，线段AB与点C组成5×（51）÷2=10个三角形；同样，线段DE上也有5个点，线段DE与点C组成5×（51）&#

4、247;2=10个三角形，图中三角形的个数为20个故选D221 解析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=43，则第n个图形中，三角形的个数是4n3所以当n=6时，原式=213解：填表如下：ABC内点的个数1231007构成不重叠的小三角形的个数3572015解析：当ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×21；当ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×21；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3

5、个点时，三角形的个数是3×21=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×21=20154B 解析：根据题意，得8312a83，即512a11，解得5a2故选B510 解析：在ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且cba0，ca+bb=4，a=1，2，3，4a=1时，c=4；a=2时，c=4或5；a=3时，c=4，5，6；a=4时，c=4，5，6，7这样的三角形共有1+2+3+4=10个6解：原不等式可化为3（x+2）2（12x），解得x8x是它的正整数解，x可取1，2，3，5，6，7再根据三角形三边关系，得6x10，x=711.2与三角形有关的角专题一 利用三角

6、形的内角和求角度1如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角平分线相交于D点，A=50°，则D=（）A15° B20° C25° D30°2如图，已知：在直角ABC中，C=90°，BD平分ABC且交AC于D. 若AP平分BAC且交BD于P，求BPA的度数3已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系：_；（2）在图2中，若D=40°，B=30

7、°，试求P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中D和B为任意角，其他条件不变，试写出P与D、B之间的数量关系（直接写出结论即可）专题二 利用三角形外角的性质解决问题4如图，ABD，ACD的角平分线交于点P，若A=50°，D=10°，则P的度数为（）A15°B20° C25° D30°5如图，ABC中，CD是ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若A=40°，B=72°（1）求DCE的度数；（2）试写出DCE与A、B的之间的关系式（不必证明）6如图：（1）求证：BDC=A+B+C；（2）如果点D与点A分别

8、在线段BC的两侧，猜想BDC、A、ABD、ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论状元笔记【知识要点】1三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°2直角三角形的性质及判定 性质：直角三角形的两个锐角互余 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形3三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和【温馨提示】1三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角2三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角【方法技巧】1在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形

9、的两个锐角互余”2由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角参考答案:1C 解析：ABC的平分线与ACB的外角平分线相交于点D，1=ACE，2=ABC又D=12，A=ACEABC，D=A=25°故选C2解：（法1） 因为C=90°，所以BACABC=90°， 所以(BACABC)=45°. 因为BD平分ABC，AP平分BAC ， BAP=BAC，ABP=ABC ， 即BAPABP=45°， 所以APB=180°45°=135°. （法2）因为C=90°，所以BACABC=90&#

10、176;， 所以(BACABC)=45°， 因为BD平分ABC，AP平分BAC，DBC=ABC，PAC=BAC ， 所以DBCPAD=45°. 所以APB=PDAPAD =DBCCPAD=DBCPADC =45°90°=135°. 3解：（1）A+D=B+C；（2）由（1）得，1+D=3+P，2+P=4+B，13=PD，24=BP，又AP、CP分别平分DAB和BCD，1=2，3=4，PD=BP，即2P=B+D，P=（40°+30°）÷2=35°（3）2P=B+D4B 解析：延长DC，与AB交于点E根据三角

11、形的外角等于不相邻的两内角和，可得ACD=50°+AEC=50°+ABD+10°，整理得ACDABD=60°设AC与BP相交于点O，则AOB=POC，P+ACD=A+ABD，即P=50°（ACDABD）=20°故选B5解：（1）A=40°，B=72°，ACB=68°CD平分ACB，DCB=ACB=34°CE是AB边上的高，ECB=90°B=90°72°=18°DCE=34°18°=16°（2）DCE=（BA）6（1）证明：延长

12、BD交AC于点E，BEC是ABE的外角，BEC=A+BBDC是CED的外角，BDC=C+DEC=C+A+B（2）猜想：BDC+ACD+A+ABD=360°证明：BDC+ACD+A+ABD=3+2+6+5+4+1=（3+2+1）+（6+5+4）=180°+180°=360°11.3多边形及其内角和专题一 根据正多边形的内角或外角求值1若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（） A12 B11 C10 D92一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于_°3已知一个多边形的每一个内角都相等，且每

13、个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数专题二 求多个角的和4如图为某公司的产品标志图案，图中A+B+C+D+E+F+G=（）A360° B540° C630° D720°5如图，A+ABC+C+D+E+F=_°6如图，求：A+B+C+D+E+F的度数状元笔记【知识要点】1多边形及相关概念 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线2多边形的内角和与外角和 内角和：n边形的内角和等于(n2)·180° 外角和：多边形的外角和等

14、于360°【温馨提示】1从n边形的一个顶点出发，可以做(n3)条对角线，它们将n边形分为(n2)个三角形对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错2多边形的外角和等于360°，而不是180°【方法技巧】1连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决2多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等参考答案:1A 解析：每个内角为150°，每个外角等于30°多边形的外角和是360°，360°÷30°=12，这个正多边形的边数为12故选A21440 解析：多边形的边数为360°÷36°=10，多边形的内角为180°36°=144°，多边形的内角和等于144°×10=1440°3解：设多边形的边数为n，根据题意，得(n2)·180°=9×360°，