《数学分析续论》模拟试题(三)

1、1 / 5数学分析续论模拟试题(三)实数完备性问题.(15分)()叙述单调有界定理与区间套定理；()用区间套定理证明单调有界定理.答(1)单调有界定理：单调有界数列必定存在极限.区间套定理：若Jan，bn为一区间套，即满足：1an 1, bn i an，bn , n =1, 2；2lim (bn-an) = 0,则存在惟一的i-an, bn,n =1, 2,.证(2)设、Xn为递减且有下界M的数列，欲证Xn匚收敛.为此构造区间套如下:c1, b1,若 c1是xn啲下界，ai,ci,若 C1不是% 1 的下界；，用逐次二等分法继续做下去，构造得一区间套an, bn?，使得an, n = 1,2，

2、恒为，Xn匚的下界，而bn, n=1,2，不是、Xn的下界.由区间套定理，an, bn,n =1, 2，.下面进一步证明lim xn=:.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。n根据区间套定理的推论，-； 0, K N .,使当k _ K时，ak, bk U (;；).由于ak,k=1,2，恒为 n 1 的下界，而bk,k=1,2， 不是xj的下界，故对上述K，必有XK bK；且因：Xn f为递减数列，当n K时满足aK岂x*咗XK: bK，于是Xn - U (；0，这就证得lim Xn二.nT30同理可证、Xn为递增而有上界的情形，请读者自行写出它的证明.口二、(10分)()写出R2中点集E为开集的定

3、义； ()用定义证明：若E、FR2都为开集，则并集H二E - F与交集令a，S = M , X!；记 5，再令a2,b2= *2 / 5G二E - F3 / 5亦都为开集.答（1）所谓E R2是开集，是指E中所有点都是E的内点即- p E, 0,满足U（ p; J E.证（2）设E、F R2都为开集，下面证明H =E F为开集为此任取p H, 由H =E F，则p E或p F根据开集定义，.0，使得U （ p;.）E，或U（ p;F，从而U （ p;H这就证得H =E _ F为R2中的一个开集.类似地可证G=E -F亦为开集，请读者自行写出它的证明.口三、（10分）已知f在区间I上连续，且为一

4、一映射.证明：f在I上必为严格单调 函数.（提示：使用反证法，并借助连续函数的介值性.）聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。证倘若f在I上不是严格单调函数，则T ，x2, X3 I （：:x2：x3），使得f（X2）- f （x ）f（X3） - f（X2）:0,不失一般性，设f（X2） f（X3） f（X1）.现任取J满足f（X2）f（X3），则由连 续函数的介值性，二：-（Xi, X2） , （ X2, X3）,使得f （ J = f （）=亠而这与f在I上为一一映射的假设相矛盾，所以f在I上必为严格单调函数.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骤東。yyM注意在函数f为连续的前提下，严格图所示的函数y = f

5、（x），它在a, b上是一映射，但却不是严格单调的.四、（10分）设单调与一一映射才是等价的；而在一般情形下,y二f (x)映射的f不定是严格单调试求f（U）与 f（U0）4 / 5解根据向量函数的导数的定义，容易求得:5 / 5之下，这n个正数的和xi，X2亠亠xn的最小值为 式:证用乘数法，设L=XiX2Xn(X1X2Xna),并令Lx1=1，x2xn= ,Lxn=1*，X1 xn _1 = ,L?=X1X2Xn -a =0,min x1x2-xn二nn. a；并有x1- x2川讦Xn_ nna 以XX2xn= a代入上式，则得所求之不等式n“X2Xn1咒Xn六、积分问题.（2 0 分）画

6、出曲线y x| （ 2 - x）；并求由该曲线和直线x =-1,以及x轴所围图形的面积S；邑Jx2+ y2-XJx2+ y21讷yXy ! 2 2 px+y丄-yf ( U0)351-3五、（15分）证明：在n个正数的乘积为定值的条件X1X2Xnn由于X1 X2亠亠xn的最大值不存在C-），最小值存在，因此nna-并由此结果推出以下不等n.-Xna-6 / 5（2）设f为连续函数，证明:KTT兀 x f ( sin x) dx =Qf ( sin x) dx.解（1）为画出曲线，可先改写其方程为21_(x1)2, X,2(x 1)21, X 0 .此曲线和直线x - -1以及x轴所围图形如右图

7、所示.其面积计算如下:S二：(x2-2x)dx20(2x)dx- x2)(x2_ 8_ 3证（2）作变换x f (sin x)dx =0u0(二二-u) f (sin(二二-u) )(du)把原积分化为nnnf (sin u)du - u f (sin u )du .31由此移项后即得xf （ sin x）0七、级数问题.（2 0分）dx =2JIf ( sin x) dx0证明:lim 0;n八：3nn!证明:cdn=1(n小小=1提示: 利用幕级数S(x)0=z=1nxn 1(n 1)!S (x)二azn =1xn(n -1)!=zn =0 xn 1n!证（1）oO考察级数n TanoO=Ln T.由于n 1(n 1)3nan3nn 1)!n+1 Y7 / 5故此级数收敛依据级数收敛的必要条件，便证得lim -n；3nn !