【高考】2020年高考数学一轮复习对点提分专题2.8函数与方程(文理科通用)(教师版)

1、第二篇函数及其性质专题2.08 函数与方程【考试要求】1 .结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；2 .结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理. 【知识梳理】1 .函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y=f(x),把使f(x) = 0的实数x叫做函数y = f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x) =0有实数根？函数y=f(x)的图象与x轴有交点？函数y=f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y=f(x)满足：在区间a, b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)<0;则函数y=f(x)在(a, b)上存在零点，即存在 cC (a,

2、b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.2 .二次函数y= ax2+ bx+ c(a>0)的图象与零点的关系A= b2 4acA>0A= 0A<0二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象寸4u上与x轴的交点%, 0),0)(x1，0)尢交点零点个数210【微点提醒】1 .若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个熏”，而是方程f( x) = 0的实根.I寸to o ft b A2 .由函数y = f(x)(图象是连续不断的)在闭区间a, b上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0,如图所示，所

3、以f(a) f(b)<0是y = f(x)在闭区间a, b上有零点的充分不必要条件.【疑误辨析】1 .判断下列结论正误(在括号内打“或“凶”(1)函数 f(x) = lg x 的零点是(1 , 0).()(2)图象连续的函数y = f(x)(x D)在区间(a, b)? D内有零点，则f(a) f(b)<0.()(3)二次函数 y= ax2+bx +c(a用)在b2 4ac<0时没有零点.()【答案】(1) X (2) X (3)，【解析】(1)f(x)= lg x的零点是1 ,故(1)错.(2)f(a) f(b)0是连续函数y=f(x)在(a, b)内有零点的充分不必要条件

4、，故(2)错.【教材衍化】2 .(必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表:x12345f(x)一 4-2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A.(1 , 2)B.(2 , 3)C.(3, 4)D.(4 , 5)【答案】B【解析】由所给的函数值的表格可以看出，x = 2与x=3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f(3)<0,所以函数在(2, 3)内有零点.3 .(必修1P112T1改编)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0, 16), (0, 8), (0, 4), (0, 2)内，那么下列命题 正确的是()A.函数f(x)在

5、区间(0, 1)内有零点B.函数f(x)在区间(0, 1)或(1, 2)内有零点C.函数f(x)在区间2, 16)上无零点D.函数f(x)在区间(1, 16)内无零点【答案】C【解析】由题意可确定f(x)唯一的零点在区间(0, 2)内，故在区间2, 16)内无零点.【真题体验】4.(2019德州质检)若函数f(x) = x2 + 2x+a没有零点，则实数 a的取值范围是()A.( 8, 1)B.(1 , + OC)C.( 8, 1D.1 , + 8)【答案】B【解析】因为函数f(x)=x2+2x+ a没有零点，所以方程 x2+2x+a=0无实根，即= 4-4a<0,由此可得a>1.

6、兀，工1人、I5.(2018全国出卷)函数f(x)=cos 3x+6在0,兀的零点个数是 .【答案】3【解析】由题意知，cos3x + 6=0,所以3x+6=2? + kTt, kJ,所以x=； + ? kJ,当k=0时，x=9;当k= 1时，x=4;当k= 2时，x= V 均满足题意，所以函数f(x)在0,兀的零点个数为3.6.(2019上海黄浦区月考)方程2x+3x= k的解在1, 2)内，则k的取值范围是 .【答案】5, 10)【解析】 令函数f(x) = 2x+3x k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1 , 2)内时，f(1) f(2)<0 , 即(5k)

7、(10 k)<0,解得 5<k<10.又当f(1)=0时，k=5.则方程2x+3x= k的解在1, 2)内，k的取值范围是5, 10).【考点聚焦】考点一函数零点所在区间的判定【例1】(1)设f(x)=ln x+ x- 2,则函数f(x)零点所在的区间为()A.(0 , 1)B.(1 , 2)C.(2, 3)D.(3 , 4)x2c(1(2)设函数y=x3与y= 2 的图象的交点为(x°, yo),若xoC(n, n+1), nCN,则xo所在的区间是【答案】(1)B (2)(1 , 2)【解析】(1)因为y=ln x与y = x2在(0, +丐上都是增函数,所以f

8、(x)=ln x+x2在(0, 十 8)上是增函数，又 f(1)=ln 1 + 1 -2=- 1<0, f(2) = ln 2>0 ,根据零点存在性定理，可知函数f(x)=ln x+ x 2有唯一零点，且零点在区间(1, 2)内.x2-1丫=乂3与丫= -2的图象如图所示x2Q 1一(2)设f(x) = x3 2,则xo是函数f(x)的李点，在同一坐标系下回出函数14()A.(a, b)和(b, c)内C.(b, c)和(c, + C内B.( £ a)和(a, b)内D.( 8, a)和(c, + oo)(2)函数f(x)=ln x 12的零点所在的区间为()A.(0 ,

9、 1)B.(1 , 2)C.(2, 3)D.(3 , 4)【答案】(1)A (2)B【解析】(1)a<b<c,，f(a)=(a b)(ac)>0,f(b)= (b c)(b a)<0, f(c)= (c-a)(c-b)>0,由函数零点存在性定理可知：在区间(a, b), (b, c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a, b), (b, c)内.(2)易知f(x)=ln x /在定义域(0, + °<)上是增函数,一一 一一 一 一 1又 f(1) = -2<0, f(2) =

10、ln 2 - 2>0.根据零点存在性定理，可知函数f(x)=ln x-与有唯一零点，且在区间(1, 2)内x考点二确定函数零点的个数x2+ x 2, x< Q【例2】(1)( 一题多解)函数f(x)=的零点个数为()1 + ln x, x>0A.3B.2C.1D.0x2+ 2,(2)(2019安庆二模)定义在R上的函数f(x),满足f(x)=22-x2,x" 1),x -1, 0),且 f(x+1)= f(x1),若 g(x)= 3-log2x,则函数F(x)=f(x)g(x)在(0, 十丐内的零点有(A.3个B.2个C.1个【答案】(1)B (2)B)D.0个【解

11、析】(1)法由f(x)=0得xWQ八 x>0,或x2+x2=0 1 + ln x=0,解得x= 2或x= e.因此函数f(x)共有2个零点.法二 函数f(x)的图象如图1所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.图1(2)由 f(x+ 1)=f(x-1),即 f(x+2) = f(x),知 y=f(x)的周期 T=2.在同一坐标系中作出y= f(x)与y=g(x)的图象(如图2).由于两函数图象有 2个交点.所以函数F(x)=f(x)g(x)在(0, +丐内有2个零点.【规律方法】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)=0,有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数

12、在区间a, b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数【训练2】 函数f(x)=31作出函数g(x)=|ln x|和函数h(x)= "的图象，由图象可知，两函数图象有两个交点，故函数 f(x) = 3x|ln x| 31有2个零点.(2)易知 f(x)是偶函数，当 xRO时，f(x)=2x+x2-3,.xRO时,f(x)在(0, +8)上是增函数,且 f(1) = 0,.x=1是函数y=f(x)在(0, 十丐上唯一零点.从而x= 1是y=f(x)在(一8, 0)内的零

13、点.故y= f(x)有两个零点.考点三函数零点的应用ex+ a, x& Q【例3】(1)已知函数f(x)=(aCR),若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()3x-1, x>0|in x|1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4(2)(2019淄博调研)设函数f(x)=2M+x2-3,则函数y=f(x)的零点个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】(1)B (2)C【解析】(1)函数f(x)= 3x|in x|- 1的零点数的个数即函数g(x)= |ln x|与函数h(x) =xA.( 一 °0,1)B.( 8, 1)C.(T,0)D.-1, 0)ex,

14、 xwq(2)(2018全国I卷)已知函数f(x) =g(x) = f(x)+x+ a.若g(x)存在2个零点，则 a的取值范围是In x, x>0,()A. - 1 , 0)B.0 , 十 丐C. - 1 , + D.1 , + 8)【答案】 (1)D (2)C【解析】 当x>0时，f(x) = 3x1有一个零点x=1. 3因此当 xwo时，f(x)=ex+a=0 只有一个实根，a = - ex(x<0),则一1与<0.(2)函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点，即关于 x的方程f(x) = x a有2个不同的实根，即函数 f(x)的图 象与直线y= xa有2个

15、交点.作出直线y= xa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，一 a<1,解 得a a 1,故选C.【规律方法】1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程 (不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值 .2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围x 4, x>X【训练3】(2018浙江卷)已知入C R,函数f(x)= °x2-4x+ 3, x< 入当 仁2时，不等式f(x)<0的解集是.(2)若函数f(x

16、)恰有2个零点，则 入的取值范围是 .【答案】(1)(1, 4) (2)(1, 3U(4, +皆【解析】(1)若 甘2,当x或时，令x-4<0,得2故<4;当x<2时，令x2-4x+ 3<0,解得1<x<2.综上可知，1<x<4,所以不等式f(x)<0的解集为(1, 4).(2)令 f(x)=0,当 x况时，x=4,当 x< 入时，x2 4x+ 3=0,解得x= 1或x= 3.因为函数f(x)恰有2个零点,结合如图函数的图象知，1入且或Q4.A.0B.1C.2D.3【反思与感悟】1 .转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转

17、化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值 域问题.2 .判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.将函数y=f(x)g(x)的零点个数转化为函数 y=f(x)与y=g(x)图象公共点的个数来判断.【易错防范】1 .若函数y=f(x)在闭区间a, b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)<0,则函数y= f(x)一定有 零点.特别是，当y=f(x)在a, b上单调时，它仅有一个零点.2 .函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个

18、区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题2 1, x 司,1 .已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为()1 + log2x, x>1 ,【答案】 C【解析】函数y= f(x)+3x的零点个数就是 y= f(x)与y= 3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.23 .函数f(x)=2x- a的一个零点在区间(1, 2)内，则实数a的取值范围是()xA.(1 , 3)B.(1 , 2)C.(0, 3)D.(0 , 2)【答案】 C【解析】 因为函数f(x)=2x2a在区间

19、(1, 2)上单调递增，又函数f(x) = 2x 2a的一个零点在区间(1,xx2)内，则有 f(1) f(2)<0,所以(a)(4 1 a)<0,即 a(a 3)<0)所以 0<a<3.4 .函数f(x)= 11n x+x- 1-2的零点所在的区间是()2xA. 1，1B.(1 ， 2)C.(2, e)D.(e, 3)e【答案】 C【解析】 易知 f(x)在(0, +丐上是单调递增，且 f(2) = 1in 2 -1<0, f(e)=1+e-2>0.-.f(2)f(e)<0,故 f(x)222 e的零点在区间(2, e)内.5 .(2019湖北

20、七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数 y=f(2x2+1) + f(入一x)只有一个零点, 则实数入的值是()7C.-83D.-8【解析】 令y=f(2x2+1)+f(卜x) = 0,则f(2x2+1)=f(入一x)=f(x- ?),因为f(x)是R上的单调函数, 所以2x2+1 = x入只有一个实根，即 2x2x+1+上0只有一个实根，则 A= 1-8(1+ = 0,解得 上-7.86 .已知函数 f(x) = 2x+x+ 1, g(x)= log2x+x+ 1, h(x)= log2x1 的零点依次为 a, b, c,则()A. a<b<cB.a<c&

21、lt;bC.b<c<aD.b<a<c【答案】A【解析】令函数f(x)= 2x + x+ 1 = 0,可知x<0,即a<0;令 g(x) = log2x+ x+1 = 0,贝U 0<x<1,即 0<b<1;令 h(x) = log2x1 = 0,可知 x=2,即 c=2.显然 a<b<c.1, xWQ7.已知函数f(x)= 1 x>o则使方程x+ f(x)=m有解的实数 m的取值范围是()x''A.(1 , 2)B.( £ 2C.( 8, 1)U(2, +8)D.( 8, 1 U 2, +内【

22、答案】 D【解析】当xwo时，x+ f(x)=m,即x+1=m,解得m司；当x>0时，x+f(x)=m,即x+-= m,解得xm或，即实数m的取值范围是(8, 1U2, +衿ln (x+1)8.(2019北京燕博园联考)已知函数f(x)= &x3 3x(x>0 ,若函数y=f(x) k有三个不同的零点，则实(x<0),数k的取值范围是()A.(-2, 2)B.(-2, 1)C.(0, 2)D.(1 , 3)【答案】 C【解析】 当 x<0 时，f(x)=x3-3x,则 f'(x)= 3x23,令 f'(x)=0,. x= +(舍去正根), 故f(

23、x)在(8, 1)上单调递增，在(1, 0)上单调递减.又f(x)= ln(x+ 1)在(0, 十丐上单调递增.则函数f(x)图象如图所示.f(x)极大值= f(1)=2,且 f(0) = 0,故当kC (0, 2)时，y=f(x)-k有三个不同零点二、填空题1 x9.函数f(x)=x2 2的零点个数为 .【答案】11 x1x【解析】 令f(x)=0,得x2= 2 .在同一坐标系中画出函数y=x2与y= 2的图象.如图所示，由图可知两函数图象有1个交点，故f(x)的零点只有一个10.在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y= Xa|1的图象只有一个交点，则 a的值为,1【答案】2【解析

24、】函数y= |xa|1的图象如图所示，因为直线 y=2a与函数y= |x- a|1的图象只有一个交点，一一 一1故 2a = - 1,斛得 a= - 2.11g x|, x>0,11.已知f(x)=则函数y=2f(x)23f(x)+1的零点个数是 2x1, x<C【答案】51【解析】由 2f(x)23f(x)+1=0 得 f(x)=1 或 f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象.1.y= 1与y=f(x)的图象有3个交点.由图象知y=2与y= f(x)的图象有2个交点,因此函数y=2f(x)2-3f(x)+1的零点有5个.x2+2ax+a, xWQ12.(2018天津卷)已知a&

25、gt;0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数 x2+2ax2a, x>0.解，则a的取值范围是.【答案】(4, 8)【解析】当xwo时，由x2+2ax+a=ax,彳导a= x2ax;当 x>0 时，由一x2+ 2ax 2a= ax,得2a= x2-x2-ax, xWQ+ ax.令g(x)=作出y=a(x<0), y=2a(x>0),函数g(x)的图象如图所不，g(x)的最大值为一x2+ax, x>0.4- + a2-=),由图象可知，若f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则 a<a4<2a,解得4<a<8.1 =&

26、#163;E【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019永州*II拟)已知函数f(x)=a+log2(x2+a)(a>0)的最小值为8,则实数a的取值范围是()A.(5, 6)B.(7, 8)C.(8, 9)D.(9 , 10)【答案】 A【解析】 由于f(x)在0, + 0()上是增函数，在(8, 0)上是减函数，, ,f (x)min = f(0) = a+ 10g2 a = 8.令 g(a) = a+ 10g2a8, a>0.贝U g(5) = log25-3<0, g(6) = log26 2>0,又g(a)在(0, 十丐上是增函数，实数a所在的区间为

27、(5, 6).14.(2019天津河东区一模)已知定义在 R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当xC -1, 1时，f(x)=x2.令g(x)= f(x)-kx-k,若在区间1, 3内，函数g(x) = 0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是()1A.(0 , + B. 0,-1 1 1C. 0，4D.不 3【答案】 C【解析】令 g(x)= 0,得 f(x)= k(x+ 1),由f(x)的周期性，作出y=f(x)在1, 3上的图象如图所示.-J1设直线y=k(x+1)经过点(3, 1),则k1 = 4.直线y=k(x+ 1)经过定点(一1, 0),且由题意知直线 y=k(x+1

28、)与y=f(x)的图象有4个交点，0<k4.415.(2019济南质检)已知函数f(x)= ex-e x+4,若方程f(x)= kx+4(k>0)有三个不同的实根 x1，x2, x3,则xi + x2+ x3 =.【答案】0【解析】 易知y=ex- e-x为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得y = f(x)的图象.所以y=f(x)的图象关于点(0, 4)对称, 又y= kx+ 4过点(0, 4)且关于(0, 4)对称.方程f(x)=kx+4的三个根中有一个为0,且另两根之和为0.因此 X1 + X2+ X3= 0.16 .若曲线y=log2(2Xm)(x>2)上至少存在一点与直线y=x+ 1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为【答案】(2, 4【解析】因为直线y=x+ 1关于原点对称的直线为y = x- 1,依题意方程log2(2Xm) = x1在(2, +丐上