2022年中考数学必考考点专题22正方形含解析202222061165

1、专题22 正方形 专题知识回顾 1正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即

2、有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。4正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b ，s正方形=专题典型题考法及解析 【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知a90，bd4，cf6，则正方形adof的边长是（）a2b2c3d4【答案】b【解析】设正方形adof的边长为x，由题意得：bebd4，cecf6，bcbe+cebd+cf10，在rtabc中，ac2+ab2bc2，即（6+x）2+（x+4）2102，整理得，x2+10x240，解得：x2

3、，或x12（舍去），x2，即正方形adof的边长是2【例题2】（2019四川省凉山州）如图，正方形abcd的对角线ac、bd相交于点o，e是oc上一点，连接eb过点a作ambe，垂足为m，am与bd相交于点f求证：oeof【答案】见解析。【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到oboa，根据ambe，即可得出mea+mae90afo+mae，从而证出rtboertaof，得到oeof证明：四边形abcd是正方形boeaof90，oboa又ambe，mea+mae90afo+mae，meaafoboeaof（aas）oeof 专题典型训练题 一、选择题1（2019内蒙古包头）如图，在正方形

4、abcd中，ab1，点e，f分别在边bc和cd上，aeaf，eaf60，则cf的长是（）abc1d【答案】c 【解析】四边形abcd是正方形，bdbad90，abbccdad1，在rtabe和rtadf中，rtabertadf（hl），baedaf，eaf60，bae+daf30，daf15，在ad上取一点g，使gfadaf15，如图所示：agfg，dgf30，dffgag，dgdf，设dfx，则dgx，agfg2x，ag+dgad，2x+x1，解得：x2，df2，cfcddf1（2）1；故选：c2（2019湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形oabc绕点o顺时针旋转45后

5、得到正方形oa1b1c1，依此方式，绕点o连续旋转2019次得到正方形oa2019b2019c2019，那么点a2019的坐标是（）a（，）b（1，0） c（，） d（0，1）【答案】a.【解析】解：四边形oabc是正方形，且oa1，a（0，1），将正方形oabc绕点o逆时针旋转45后得到正方形oa1b1c1，a1（，），a2（1，0），a3（，），发现是8次一循环，所以20198252余3，点a2019的坐标为（，）故选：a3.（2019四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为 【答案】a【解析】阴影部分面积=1=4.（2019贵州省铜仁市）如图，正

6、方形abcd中，ab6，e为ab的中点，将ade沿de翻折得到fde，延长ef交bc于g，fhbc，垂足为h，连接bf、dg以下结论：bfed；dfgdcg；fhbead；tangeb；sbfg2.6；其中正确的个数是（）a2b3c4d5【答案】c【解答】正方形abcd中，ab6，e为ab的中点addcbcab6，aebe3，acabc90ade沿de翻折得到fdeaedfed，adfd6，aeef3，adfe90beef3，dfgc90ebfefbaed+fedebf+efbdefefbbfed故结论正确；addfdc6，dfgc90，dgdgrtdfgrtdcg结论正确；fhbc，abc9

7、0abfh，fhba90ebfbfhaedfhbead结论正确；rtdfgrtdcgfgcg设fgcgx，则bg6x，eg3+x在rtbeg中，由勾股定理得：32+（6x）2（3+x）2解得：x2bg4tangeb故结论正确；fhbead，且bh2fh设fha，则hg42a在rtfhg中，由勾股定理得：a2+（42a）222解得：a2（舍去）或asbfg42.4故结论错误。5（2019黑龙江省绥化）如图，在正方形abcd中，e、f是对角线ac上的两个动点，p是正方形四边上的任意一点，且ab4，ef2，设aex当pef是等腰三角形时，下列关于p点个数的说法中，一定正确的是（）当x0（即e、a两点

8、重合）时，p点有6个当0x42时，p点最多有9个当p点有8个时，x22当pef是等边三角形时，p点有4个abcd【答案】b【解析】当x0（即e、a两点重合）时，如下图，分别以a、f为圆心，2为半径画圆，各2个p点，以af为直径作圆，有2个p点，共6个，所以，正确。当0x42时，p点最多有8个，故错误。二、填空题6（2019湖南邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形abcd的面积是 .【答案】4【解析】勾a6，弦c10，股8，小正方形的边长862，小正方形的面积224.故答案是：4.7（2019湖南张家界）如图：正方形abc

9、d的边长为1，点e，f分别为bc，cd边的中点，连接ae，bf交于点p，连接pd，则tanapd 【答案】2【解析】解：连接af，e，f分别是正方形abcd边bc，cd的中点，cfbe，在abe和bcf中，rtabertbcf（sas），baecbf，又bae+bea90，cbf+bea90，bpeapf90，adf90，adf+apf180，a、p、f、d四点共圆，afdapd，tanapdtanafd2，故答案为：28.（2019湖北省随州市）如图，已知正方形abcd的边长为a，e为cd边上一点（不与端点重合），将ade沿ae对折至afe，延长ef交边bc于点g，连接ag，cf给出下列判断

10、：eag=45；若de=a，则agcf；若e为cd的中点，则gfc的面积为a2；若cf=fg，则de=（-1）a；bgde+afge=a2其中正确的是_（写出所有正确判断的序号）【答案】【解析】四边形abcd是正方形，ab=bc=ad=a，将ade沿ae对折至afe，afe=ade=abg=90，af=ad=ab，ef=de，dae=fae，在rtabg和rtafg中，rtabgrtafg（hl），bag=fag，gae=gaf+eaf=90=45，故正确；bg=gf，bga=fga，设bg=gf=x，de=a，ef=a，cg=a-x，在rtegc中，eg=x+a，ce=a，由勾股定理可得（x

11、+a）2=x2+（a）2，解得x=a，此时bg=cg=a，gc=gf=a，gfc=gcf，且bgf=gfc+gcf=2gcf，2agb=2gcf，agb=gcf，agcf，正确；若e为cd的中点，则de=ce=ef=，设bg=gf=y，则cg=a-y，cg2+ce2=eg2，即，解得，y=a，bg=gf=，cg=a-，故错误；当cf=fg，则fgc=fcg，fgc+fec=fcg+fce=90，fec=fce，ef=cf=gf，bg=gf=ef=de，eg=2de，cg=ce=a-de，即，de=（-1）a，故正确；设bg=gf=b，de=ef=c，则cg=a-b，ce=a-c，由勾股定理得，

12、（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2，整理得bc=a2-ab-ac，=，即sceg=bgde，sabg=safg，saef=sade，s五边形abged+sceg=s正方形abcd，bgde+afeg=a2，故正确故答案为：由折叠得ad=af=ab，再由hl定理证明rtabgrtafg便可判定正误；设bg=gf=x，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，求得bg=a，进而得gc=gf，得gfc=gcf，再证明agb=gcf，便可判断正误；设bg=gf=y，则cg=a-y，由勾股定理得y的方程求得bg，gf，ef，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得cgf的面积，便可判断正误

13、；证明fec=fce，得ef=cf=gf，进而得eg=2de，cg=ce=a-de，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；设bg=gf=b，de=ef=c，则cg=a-b，ce=a-c，由勾股定理得bc=a2-ab-ac，再得ceg的面积为bgde，再由五边形abged的面积加上ceg的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误9（2019福建）如图，边长为2的正方形abcd中心与半径为2的o的圆心重合，e、f分别是ad、ba的延长与o的交点，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）【答案】1【解析】延长dc，cb交o于m，n，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论延长dc，

14、cb交o于m，n，则图中阴影部分的面积（s圆os正方形abcd）（44）1，10.（2019四川省凉山州）如图，正方形abcd中，ab12，aeab，点p在bc上运动（不与b、c重合），过点p作pqep，交cd于点q，则cq的最大值为 【答案】4 【解析】先证明bpecqp，得到与cq有关的比例式，设cqy，bpx，则cp12x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值bep+bpe90，qpc+bpe90，bepcpq又bc90，bpecqp设cqy，bpx，则cp12x，化简得y（x212x），整理得y（x6）2+4，所以当x6时，y有最大值为411. （2019广东

15、广州）如图，正方形abcd的边长为a，点e在边ab上运动（不与点a，b重合），dam45，点f在射线am上，且afbe，cf与ad相交于点g，连接ec，ef，eg，则下列结论：ecf45； aeg的周长为（1+）a；be2+dg2eg2；eaf的面积的最大值a2其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）【答案】【解析】正确如图1中，在bc上截取bhbe，连接eh证明faeehc（sas），即可解决问题错误如图2中，延长ad到h，使得dhbe，则cbecdh（sas），再证明gcegch（sas），即可解决问题正确设bex，则aeax，afx，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题如图1

16、中，在bc上截取bhbe，连接ehbebh，ebh90，ehbe，afbe，afeh，damehb45，bad90，faeehc135，babc，bebh，aehc，faeehc（sas），efec，aefech，ech+ceb90，aef+ceb90，fec90，ecfefc45，故正确，如图2中，延长ad到h，使得dhbe，则cbecdh（sas），ecbdch，echbcd90，ecggch45，cgcg，cech，gcegch（sas），eggh，ghdg+dh，dhbe，egbe+dg，故错误，aeg的周长ae+eg+agag+ghad+dh+aeae+eb+adab+ad2a，故错

17、误，设bex，则aeax，afx，saef（ax）xx2+ax（x2ax+a2a2）（xa）2+a2，0，xa时，aef的面积的最大值为a2故正确，故答案为12.（2019广西贺州）如图，正方形abcd的边长为4，点e是cd的中点，af平分bae交bc于点f，将ade绕点a顺时针旋转90得abg，则cf的长为 【答案】62【解析】作fmad于m，fnag于n，如图，易得四边形cfmd为矩形，则fm4，正方形abcd的边长为4，点e是cd的中点，de2，ae2，ade绕点a顺时针旋转90得abg，agae2，bgde2，34，gae90，abgd90，而abc90，点g在cb的延长线上，af平分

18、bae交bc于点f，12，2+41+3，即fa平分gad，fnfm4，abgffnag，gf2，cfcggf4+2262故答案为6213（2019山东青岛）如图，在正方形纸片abcd中，e是cd的中点，将正方形纸片折叠，点b落在线段ae上的点g处，折痕为af若ad4cm，则cf的长为 cm【答案】6【解析】设bfx，则fgx，cf4x，在rtgef中，利用勾股定理可得ef2（4）2+x2，在rtfce中，利用勾股定理可得ef2（4x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4x即可设bfx，则fgx，cf4x在rtade中，利用勾股定理可得ae根据折叠的性质可知agab4，所以ge4在rt

19、gef中，利用勾股定理可得ef2（4）2+x2，在rtfce中，利用勾股定理可得ef2（4x）2+22，所以（4）2+x2（4x）2+22，解得x2则fc4x614.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形abcd绕点c按顺时针方向旋转到fecg的位置（如图），使得点d落在对角线cf上，ef与ad相交于点h，则hd （结果保留根号）【答案】1【解析】本题考查了正方形的性质、旋转、等腰三角形的判定与性质、勾股定理由正方形的对角线与相邻的边夹角为45，得cfeecf45，而在rtcef中，由勾股定理，得cf，从而df1，易知dhf是等腰直角三角形，于是dhdf1因此本题答案为115（2019辽宁抚顺

20、）如图，在26的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点a，b，c在格点上，连接ab，bc，则tanabc 故答案为：【解析】连接ad，根据网格利用勾股定理求出ab，ad，bd的长，利用勾股定理的逆定理判断出三角形abd为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出所求即可连接ad，由勾股定理得：ad，ab2，bd，（）2+（2）2（）2，即ad2+ab2bd2，abd为bad是直角的直角三角形，tanabc三、解答题16（2019湖南湘西州）如图，在正方形abcd中，点e，f分别在边cd，ad上，且afce（1）求证：abfcbe；（2）若ab4，af1，求四边形b

21、edf的面积【答案】（1）见解析；（2）12【解答】（1）在abf和cbe中，abfcbe（sas）；（2）由已知可得正方形abcd面积为16，abf面积cbe面积412所以四边形bedf的面积为16221217. (2019海南)如图,在边长为1的正方形abcd中,e是边cd的中点,点p是边ad上一点(与点a,d不重合),射线pe与bc的延长线交于点q.(1)求证:pdeqce;(2)过点e作efbc交pb于点f,连接af,当pbpq时,求证:四边形afep是平行四边形;请判断四边形afep是否为菱形,并说明理由.【答案】见解析。【解析】由正方形性质得到边角关系,从而证明全等;通过证明全等得

22、到apef,由平行线的传递性得到平行,故四边形afep是平行四边形;列出方程得到ap的长,与pe比较,不能判定四边形afep是菱形.(1) 证明:四边形abcd是正方形,dbcd90,ecq90d.e是cd的中点,dece,又depceq,pdeqce;(2) (2)证明:如图,由(1)得pdeqce,peqepq,又efbc,pffbpb,pbpq,pfpe,12,四边形abcd是正方形,bad90,在rtabp中,f是pb的中点,afbpfp,34,adbc,efbc,adef,14,23,又pffp,apfefp,apef,又apef,四边形afep是平行四边形.四边形afep不是菱形,

23、理由如下:设pdx,则ap1x,由(1)可知pdeqce,cqpdx,bqbc+cq1+x,点e,f分别是pq,pb的中点,ef是pbq的中位线,efbq.由可知apef,即1x,解得x,pd,ap,在rtpde中,de,pe,appe,四边形afep不是菱形.18（2019湖南株洲）如图所示，已知正方形oefg的顶点o为正方形abcd对角线ac、bd的交点，连接ce、dg（1）求证：dogcoe；（2）若dgbd，正方形abcd的边长为2，线段ad与线段og相交于点m，am，求正方形oefg的边长【答案】（1）见解析；（2）2【解析】解：（1）正方形abcd与正方形oefg，对角线ac、bd

24、doocdbac，doadoc90goe90，god+doedoe+coe90godcoegooe在dog和coe中dogcoe（sas）（2）如图，过点m作mhdo交do于点ham，da2，dmmdb45mhdhsin45dm，docos45dahododh在rtmho中，由勾股定理得modgbd，mhdo，mhdg易证ohmodg，得go2则正方形oefg的边长为219.（2019湖北省仙桃市）如图，e，f分别是正方形abcd的边cb，dc延长线上的点，且becf，过点e作egbf，交正方形外角的平分线cg于点g，连接gf求证：（1）aebf；（2）四边形begf是平行四边形【答案】见解析

25、。【解析】由sas证明abebcf得出aebf，baecbf，由平行线的性质得出cbfceg，证出aeeg，即可得出结论；延长ab至点p，使bpbe，连接ep，则apce，ebp90，证明apeecg得出aeeg，证出egbf，即可得出结论证明：（1）四边形abcd是正方形，abbc，abcbcd90，abebcf90，在abe和bcf中，abebcf（sas），aebf，baecbf，egbf，cbfceg，bae+bea90，ceg+bea90，aeeg，aebf；（2）延长ab至点p，使bpbe，连接ep，如图所示：则apce，ebp90，p45，cg为正方形abcd外角的平分线，ecg

26、45，pecg，由（1）得baeceg，在ape和ecg中，apeecg（asa），aeeg，aebf，egbf，egbf，四边形begf是平行四边形20（2019山东泰安）如图，四边形abcd是正方形，efc是等腰直角三角形，点e在ab上，且cef90，fgad，垂足为点c（1）试判断ag与fg是否相等？并给出证明；（2）若点h为cf的中点，gh与dh垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由【答案】见解析。【解析】过点f作fmab交ba的延长线于点m，可证四边形agfm是矩形，可得agmf，amfg，由“aas”可证efmceb，可得bemf，mebcab，可得bemamfagfg；延长gh交cd于点n，由平行线分线段成比例可得，且chfh，可得ghhn，ncfg，即可求dgdn，由等腰三角形的性质可得dhhg（1）agfg，理由如下：如图，过点f作fmab交ba的延长线于点m四边形abcd是正方形abbc，b90badfmab，mad90，fgad四边形agfm