2021版江苏高考数学复习讲义：椭圆及其性质含答案

1、教学资料范本2021版江苏高考数学复习讲义：椭圆及其性质含答案编辑:时间:最新考纲1.了解椭圆的实际背景、了解椭圆在刻画现实世界和解决实际 问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质（范围、对称 性、顶点、离心率）.3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用.1 .椭圆的定义平面内与两个定点Fi、F2的距离的和等于常:数一（大于|FiF2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的3 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.（2）集合P = M|MFi|十|MF2|=2a、|FiF2|=2c、其中 a、c为常数且 a>0、 c>0.当2a>|FiF2|时、M点的

2、轨迹为椭圆;当2a=|FiF2|时、M点的轨迹为线段F1F2;当2a<|FiF2|时、M点的轨迹不存在.y2 x21a2 b2=1（a>b>0）2 .椭圆的标准方程和几何性质标准n+bl方程=1(a>b>0)图形b<xa<x< a b<y<性质 范围&b ab<y<a对 对称轴：坐标轴;对称中心：原点 性Ai（0、a）、Ai（一a,0）、A2（a,0）、A29、一Bi（0、一 b）、B2（0、a）、b）Bi（b,0）、B2（b,0）离心e= c、且eC （0,1）a率a c2 b a2c b2的关 系常用结论1 .

3、点P（x。、yo）和椭圆的位置关系,一一 x2 y0点P（x0、yo）在椭圆内？ a2±b2<1. rn；i博e.x0 y0 .点P（xo、yo）在椭圆上？法土 b2=1.x2 y0（3）点P（xo、yo）在椭圆外？色土）>1.a2 b22 .焦点三角形如图、椭圆上的点P（xo、yo）与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形.设ri=|PFi|、r2=|PF2|、=& 的面积为&则在椭圆*善项>b>。）中:（1）当门=2时、即点.E的位置为短轴端点时.、一8最大；29.，一、一， 一，（2）S=b2tan .彳三c|yo|、当|yo|=b时、即点

4、P的包置为短轴端点时、S取最大 值、最大值为bc.4 / 31(3)a c< |PFi|<a+c.(4)|PFi|=a+exo、|PF2|二a二exo.3 .椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形、其中 a是斜 边长、a2=b2 + c24 .已知过焦点Fi的弦AB、则4ABF2的周长为4a.5 .椭圆中点弦的斜率公式若M(xo、yo)是椭圆x|+y|=1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点、则 a2 b2有 kAB kOM 二b2F、即 kAB 二a2b2x0a2y0,6 .弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长AB|=5 + k2 Xi-x2|

5、=错误.= /l + k12|yi丫2|=错误！(k为直线的斜率).一、思考辨析(正确的打“，”、错误的打"X”)(1)平面内与两个定点Fl、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆上一点P与两焦点Fi、F2构成APFiF?的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长、c为椭圆的半焦距).()椭圆的离心率e越大、椭圆就越圆. （）（4）关于x、y的方程mx2+ny2= 1（m>0、n>0、m*n）表示的曲线是椭圆.（）答案（1）x ，（3）x ，二、教材改编1.若Fi（ 3,0）、F2（3,0）、点 P到Fi、F2距离之和为 10、则P点的轨迹方程是（）二1a

6、.25+：6x2 y2B. ： + = 1“2 x21或云+2=100 9A 设点P的坐标为（x、y）、因为|PF1| 十 |PF2|=10>|F1F2|=6、所以点P的 轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆、其中a = 5、c= 3、b=a2c2 = 4、故点P的 轨迹方程为x- + y|= 1.故选A.25 162.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2、过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P、若 F1PF2为等腰直角三角形、则椭圆的离心率是（）啦V2-1A. 2B. ' 2C. 2-/D.V2-1D 法一：设椭圆方程为0| + b|=1（a>b>0）、依题意、显然有|PF2|

7、=|F1F2|、则 b2=2c、即 a2 c2 =2c、即 e2 + 2e 1 = 0、又 0<e<1、解得 e=V2 aa1.故选D.法二：因为4552为等腰直角三角形、所以|PF2|=|F1F2|=2c、|PF1| = 2/2 c.因为|PF1|十|PF2|=2a、所以2亚c+2c=2a、所以e=a:4+广亚1.故选 D.3,若方程皆七十卢=1表示椭圆、则k的取值范围是5 k k 35k>0,(3,4)U (4,5)由已知得 k 3>0, 52k 3.解彳# 3<k< 5 且 kw4. 、,14,已知椭圆的一个焦点为F(1,0)、离心率为2、则椭圆的标准

8、万程为x2 y2 了 +飞=1 设椭圆的标准方程为02+b21(a>b>0).因为椭圆的一个焦点c= 1 ,为F(1,0)、离心率e= 1、所以 三=解得a 2c 2， 故椭2 a 2b2 = 3,a2=b2+c2,圆的标准方程为4 + y2=1. 43第1课时椭圆及其性质参考点1椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周 长、面积、弦长、最值和离心率等.(1)如图所示、一圆形纸片的圆心为O、F是圆内一定点、M是圆周上一动点、把纸片折叠使M与F重合、然后抹平纸片、折痕为CD、设CD与OM交于点P、 则点P的轨迹是()

9、A.椭圆B,双曲线C.抛物线D.圆(2)Fi、F2是椭圆x1十片:1的两个焦点、A为椭圆上一点、 97且/AFiF2=45°、则AAFiF2的面积为()777. 5A. 7B.4 C，2D2-(1)A (2)C (1)由题意可知、CD是线段MF的垂直平分线、 .|MP|=|PF|、 .|PF|+|PO|= |PM|+|PO|=|MO|(定值).又 |MO|>|FO|、 点P的轨迹是以F、O为焦点的椭圆、故选A.(2)由题意得a =3、b=47、c=亚、 .|FiF2|=2a/2、|AF1|十|AF2| = 6. AF2|2=|AF1|2+|F1F2|22|AF1| |F1F21

10、cos 45 = |AF1|24|AF1|+8、(6- |AF11)2= |AF112 4|AF11+ 8.7 |AF1| 二 2、17：2 7AF1F2 = 2X2X2V2XJ2 = £.本例（1）应用线段中垂线的性质实现了 “|PF| + |PO|”向定值的转化；本例（2）把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起、借助方程的思想解出|AFi|、从而求得aAFiF?的面积.教师备选例题设Fi、F2分别是椭圆盘+ y2=1的左、右焦点、P为椭圆上任意一点、 25 16点M的坐标为（6,4）、则|PM|PFi|的最小值为.-5 由椭圆的方程可知F2（3,0）、由椭圆的定义可得|PFi| = 2

11、a|PF2|. . |PM| |PFi|= |PM| （2a |PF2|）= |PM|+ |PF2| 2a> |MF2|一 2a、当且仅当M、P、F2三点共线时取得等号、又 |MF2| =错误！ =5,2a=i0、|PM|-|PFi|>5-i0= 5、即|PM|一|PFi|的最小值为一5.30 / 31x2 y2已知Fi、F2是椭圆c： 2+b2= 1(a> b>0)的两个焦点、P为椭圆C上的一点、且PFi，PF2、 若PF1F2的面积为9、则b=.3 设|PFi|=门、|PF2|=r2、U+r2=2a,°°°°则所以 2门2=(

12、门 + 2 (r2+r2) = 4a24c2=4b2、所以rZ + r2= 4c2,v 7_ 12$ PFiF2 = 2门2= b? = 9、所以 b = 3.考点2椭圆的标准方程定义法先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义、并确定 a2、b2的值、再结合焦点位置可写出椭圆方程.特别地、利用定义法求椭圆方程要注意条件2a> |FiF2.1.在4ABC中、A( 4,0)、B(4,0)、 ABC的周长是18、则顶点C的轨迹方程是()x2 y23 9=150)y2 x2B.25+8=1(yw0)y2 x2D.16+-9=1(y 0)A 由AC|+|BC|=188=10>8知、顶点

13、C的轨迹是以A、B为焦点的椭 圆(A、B、C不共线).设具方程为O2+b2=1(a>b>0)、则a=5、c= 4、从而b =3.由A、B、C不共线知yw0.故顶点C的轨迹方程是维+善=150). 25 92,已知两圆 Ci： (x4)2 + y2=169、C2： (x+ 4)2+y2=9、动圆在圆Ci内部且和圆Ci相内切、和圆C2相外切、则动圆圆心M的轨迹方程为()x2 y2x2 y2人64- 48=1848+64= 1Cx2-巴 1C.48 64D 设圆 M 的半径为 r、则 |MCi|十|MC2|=(13r)+(3 + r) = 16、又|CiC2|=8<16、.动圆圆心

14、M的轨迹是以Ci、C2为焦点的椭圆、且 2a= i6,2c= 8、则x2 y2a = 8、c= 4、b2 = 48>故所求的轨迹方程为 赤十六=1.64 48利用定义法求轨迹方程时、注意检验所求轨迹是否是完整的曲线、倘若不是完整的曲线、应对曲线中的变量 x或y进行限制.待定系数法利用待定系数法要先定形（焦点位置）、再定量、即首先确定焦点所在位置、然后根据条件建立关于a、b的方程组.如果焦点位置不确定、可设椭圆方程为mX2+ny2=1（m>0、n>0、mw n）的形式.1.已知椭圆的中心在原点、以坐标轴为对称轴、且经过两点32,52、偿、/5）、则椭圆方程为柒X1= i 设椭圆

15、方程为mx2+ny2=1（m、n>0、mwn）.3 252n= 1，-m+ -3m+ 5n= 1,11解彳m m=6、口 =而y2 x2:椭圆万程为10+1.2.过点（，3、屿、且与椭圆y|+ x2 25 9=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 .y2 x2y2 x2on+Y= 1 法一：椭圆£+77=1 的焦点为（0、-4）、（0,4）、即 c=4.20 425 9由椭圆的定义知、2a=错误！ +错误！、解彳3a=2/5.由 c2 = a2b2 可得 b2 = 4、所求椭圆的标准方程为20+X2=1.法二：所求椭圆与椭圆y2+x2=i的焦点相同、 25 9其焦点在y轴上、且 c2

16、 = 25 9= 16.设它的标准方程为yl+x2= 1(a> b> 0).a2 b2. c2=16、且 c2 = a2b2、故 a2 b2=16.又点(出、 45)在所求椭圆上、错误！ +错误！ =1、,53则瓦+右1由得b2 = 4、a2=20、;所求椭圆的标准方程为2o+"4= 1.3.设F1、F2分别是椭圆E： x2 + b2=1(0<b< 1)的左、右焦点、 过点F1的直线交椭圆E于A、B两点.若|AF1| = 3|FB|、AF2，x轴、 则椭圆E的方程为.x2 + 2y2 = 1 不妨设点A在第一象限、如图所示. AF2，x轴、.A（c、b2）（其

17、中 c2=1 b2,0<b<1、c>0）.又 = AFi| = 3|FiB|、由 AFi= 3日BS b -5c, -b225c2 b49b2=1.又 c2= 1 b2、2 2 b =.33 c故椭圆E的万程为x2 + 2y2=1.(1)已知椭圆上两点、常设方程为mx2+ny2=1(m>0、n>0、mwn)； (2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长 2b2为"T.(考点3椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距求解与椭圆几何性质有关的问题、如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时、要理清它们之间的内在 联系、同时要结合图形进行分析.x2 y2(1)已

18、知椭圆m-2 + 10m=1的长轴在x轴上、焦距为4、则m等于(B.D.A. 8C. 6已知椭圆c： a2+b2=1(a>b>0)、若长轴长为6、且两焦点恰好将长轴三等分、则此椭圆的标准方程为(1)A(2)x9- +枭=1 (1)因为椭圆mx+ 10： m= 1的长轴在x轴上、所以m- 2>0,10m>0解得 6<m<10.因为焦距为 4、所以 c2= m210+m=4、m- 2>10 m,解得m=8.(2)椭圆长轴长为6、即2a=6、得a = 3、两焦点恰好将长轴三等分、c 1一 - 2c=2a = 2、得 c= 1、3因此、b2=a2 c2 = 9

19、1 =8、所以此椭圆的标准方程为 ¥ + ?=1.98求离心率的值（或范围）求椭圆的离心率、常见的有三种方法一是通过已知条件列方程组、解出 a、c的值；二是由已知条件得出关于 a、c的二元齐次方程、然后转化为关于离心率 e的一元二次方程求解；三是通 过取特殊值或特殊位置、求出离心率.(1)(20xx全国卷11)已知51、x2 y2F2是椭圆C： a2+b2= 1(a>b>。)的左、右焦点、A是C的左顶点、上口人3的土厩人4a丽/。点P在过A且斜率为6的直线上、PF1F2为等腰三角形、/FiF2P=120、则C的离心率为()2 1A.B.93 2C.3D.43(2)椭圆C的

20、两个焦点分别是F1、F2、若C上的点P潴足|PF1|=5F1F2|、则椭圆C的离心率e的取值范围是.1 1(1)D (2) 4, 2 (1)由题意可得椭圆的焦点在x轴上、如图所小、设|F1F2|= 2c、. PF1F2为等腰三角形、且 /F1F2P=120°、. . |PF2|= |F1F2| = 2c； |OF2|二c、点 P 坐标为(c+ 2ccos 60 : 2csin 60 )°、即点 P(2c、水c). .点 P在过点A且斜率为 W的直线上、尊=卓、解得£一、；e= 1、故选D. 62c + a 6 a 44一 33,(2)因为椭圆C上的点P满足|PFi

21、| = 2|FiF2|、所以|PFi| = X2c= 3c.由一 1 c 1 .一 一一11a-c< |PFi|&a+c、解得；&a<2.所以椭圆C的离心率e的取值范围是4, 2.本例在求解时运用了隐含条件“a c< |PFi|wa+c” .特别地、在求与椭圆的相关量的范围时、要注意经 常用到椭圆标准方程中x、y的范围、离心率的范围等不等关系.1.(20xx 昌平二模）嫦娥四号月球探测器于20xx年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右、嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道、如图中轨道所示、其近月点与月球

22、表面距离为100里、远月点与月球表面距离为400里.已知月球的直径为3 47淤里、则该椭圆形轨道的离心率约为（）1313A.25B.40 C.8D.51B 如图、F为月球的球心、月球半径为：2X3 476= 1 738、依题意、|AF|=100+ 1 738= 1 838、|BF| = 400+ 1 738= 2 138. .2a=1 838+ 2 138、即 a=1 988、 a+c= 2 138, c= 2 138-1 988= 150、c 1503故椭圆的离心率为： e=-二 caa/篇? 选 B.a 1 988 402.已知F1、F2是椭圆台十省=1由20）的左、右两个焦点、 a2 b

23、2若椭圆上存在点P使得PF1 ± PF2、则该椭圆的离心率的取值范围是（A.昔 1B. £, 152C. 0, 5D. 0, 2下1、F2是椭唁+*10b>0）的左、右两个焦点、F1（c,0）、F2（c,0）、c2 = a2b2 设点 P（x、y）、由 PF，PF2、得（x+c、y） （xx2 + y2=c2,c、y） = 0、化简得x2 + y2=c2联立方程组 x2 y2c+1c=1，a2 b2 '整理得、x2=（2c2 a2） 02>0、解得 e> g2 2 d 2又 0<e<1、 .e<1.与椭圆性质有关的最值或范围问题与

24、椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义、尤其是椭圆的性质、求最值或取值范围.(2)利用函数、尤其是二次函数求最值或取值范围.(3)利用不等式、尤其是基本不等式求最值或取值范围.(20xx全国卷I )设A、x2 y2B是椭圆C: y +m=1长轴的两个端点、若C上存在点M满足/AMB=120°、则m的取值范围是()A. (0,1 U9、+oo)B. (0、>/3U9、+00)C. (0,1U4、+00)D.(0、V3U4、+00)(2)(20xx烟台,g拟)若点。和点F分别为椭圆x2+2= 1的中心和左焦点、43若p为椭圆上的任意一点、则OPFP勺最大值为

25、()A. 2B. 3C. 6D. 8(1)A (2)C (1)由题意知、当 M在短轴顶点时、/AMB最大.如图1、当焦点在x轴、即m<3时、a = #、b=Vmi tan a=厂>tan 60=3、.0<m01.图1如图2、当焦点在y轴、即m> 3时、a = 1/ni. b=m、tan a= tan 60 二也、m的取值范围(0,1 U 9、+8)、故选A.(2)由题意知、0(0,0)、F(1,0)、设 P(x、v)、则 加(x、V)、FP= (x+1、y)、opfP x(x+ 1)+黄=/+黄+乂又春+V20P4 |x2 +x+ 3=4(x+2)2 + 2.- -2&

26、lt;x< 2、.当 x = 2 时、0PFP有最大值 6.本例（1）的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形、借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心x(y)率、然后数形结合求解；本例（2）的求解采用了先建模、再借助椭圆中变量 的有界性解模的思路.教师备选例题1（2M深圳模拟）设椭圆C ai+bi= 1（a> b> 0）的左、右焦点分别为Fi、F2、P是C上的点、PF2H1F2、A. 61 C.2/PFiF2 = 30°、则C的离心率为（1B.33D.3D 法一：（直接法）如图、在RtAPF2Fi中、/PFiF2 = 30°、|FiF2|=2c、2c1PFl|=M30|PF2| = 2c tan 30= 2,； 3c一3|PFi|十|PF2| = 2a、即4；3c+2，= 2a、可得，3c=a.'33 ,33c e= 一= a法二：（特殊值法）在RtAPF2Fi中、令 |PF2|=1、:/ PFiF2 = 30°、.|PFi| = 2、|FiF2|= 3.2c |FiF2| ；3