专训3构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型

1、专训3构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型名师点金：解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算 距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形, 建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问 题来求解.运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点 题型.遛却构造一个直角三角形解实际问题1.【2017台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与 墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度NAOB为 40。时

2、，车门是否会碰到墙？请说明理由.(参考数据:sin 40°0.64, cos 40°««0.77, tan 40°0.84)2.【2017鄂州】如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂 楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30。，他又继续走下台阶到 达C处，测得树的顶端E的仰角是60。，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的 仰角为45。.已知A点离地面的高度AB=2米，ZBCA=30°,且B, C, D三点在同一直线 上.求树DE的高度：(2)求食堂MN的高度.娘曼Z构造形如“NZJ”的两个

3、直角三角形解实际问题3.【2016资阳】如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海 军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30。方向 上，已知点C在点B的北偏西60。方向上，且B, C两地相距120海里.(1)求出此时点A到岛礁C的距离：(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A，时，测得点B在A， 的南偏东75。的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离.(注：结果保留根号)#4.12016黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九班同学开展数学活动，带领同学们 测量学校附近一电线杆的高.如图，已知电线杆直立于地而上，某天在太阳

4、光的照射下，电 线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30% 在C处测得电线杆顶端A的仰角为45。，斜坡与地而成60。角，CD=4?，请你根据这些数 据求电线杆的高（AB）.（结果精确到1加，参考数据：W=L4,小5）5 .【中考安徽】如图，防洪大堤的横断而是梯形ABCD,其中ADBC,坡角口=60。. 汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角0=45。.若原坡长AB = 20/，求改造后的 坡长AE（结果保留根号）.:接费至构造形如“''”的两个直角三角形解实际问题6 .【2016深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图，无人飞

5、机从A处水平飞行 至B处需8 s,在地而C处同一方向上分别测得A处的仰角为75。，B处的仰角为30。.已知 无人飞机的飞行速度为4内，求这架无人飞机的飞行高度.（结果保留根号）.永平线（第6题）7 .【2017绍兴】如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 C测得 教学楼顶部D的仰角为18。，教学楼底部B的俯角为20。，量得实验楼与教学楼之间的距离 AB = 30 m.（1）求NBCD的度数.求教学楼的高BD.（结果精确到0.到小 参考数据：520。&0.36, 团18。=0.32）m m mm m m m.（第7题）:里里4构造形如“X”的两个直角三角形解实际问题8 .

6、【2017潍坊】如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层 为车库，高2.5?：上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5/，在A处测得五 楼顶部点D的仰角为60。，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30。，AB=14 /n.求居民楼 的高度.（精确到参考数据：巾F.73） C A（第 8 题）答案1.解：如图，过点A作ACJ_OB,垂足为点C,M在 Rf/XACO 中，VZAOC=40°, A0=L2 米， ，AC=AOs加 NAOC 七0.64X 1.2=0.768(米).汽车靠增一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米, .车门不会碰到墙.2 .解:(1)设 D

7、E=X.;AB=DF=2,AEF=DE-DF=x-2.VZEAF=30°,EFx 2AF=" /匚、匚=j="=3(x-2).tan ZEAF 迫 丫 3又CD=; * =%=唱,BC = , AB1=2小,tan ZDCE 3tan ZACB 迫 v3BD=BC+CD = 25+坐 x.由 AF=BD 可得小(x-2)=2/+坐x,解得x=6.，树DE的高度为6米;(2)如图,延长NM交DB的延长线于点P,则AM=BP=3.由（1）知 CD=x=X6=2V5, BC=2小， ，PD=BP+BC+CD=3 + 2V5+2 小=3+43.VZNDP=45%，NP=P

8、D=3+4小.VMP=AB=2,，NM=NP-MP=3+4小- 2= 1+R5,.食堂MN的高度为（1+4诲冰.3 .解：（1）如图所示，过点C作CDLBA交BA延长线于点D,7由题意可得：ZCBD=30°, BC=120海里,则DC=60海里,故 cos 30°=DC 60 a/3AC-AC- 2 '则AC=40/海里.答：点A到岛礁C的距离为40近海里.(2)如图所示：过点A彳乍AN_LBC于点N, AEJ_AD于点E,可得/人合£=90。-75。=15。，则NABC = 3O°-NA'BE=15。./. NA'BE=NABC

9、,即 BA'平分NCBA.AArN=ArE,又易得NAA'E=30。，NA'CN=30。，设 AA，=x,则 AE=x,故 CA,=2ATJ=2A,E=2Xx=V3x,x+x=4味，x=20(30)海里.答：此时“中国海监50”的航行距离为20(3一小)海里.4.解：延长AD交BC的延长线于G,作DH_LBG于H,如图所示.则NG=30。.在 RZXDHC 中，ZDCH=60% CD=4, 贝lj CH=CDcosNDCH=4Xc3600=2,DH=CD- sin Z DCH=4 X sin 60。= 24，VDH±BG, ZG = 30% ” DH 2s &

10、quot;HGtanGtan 30°-6,，CG=CH + HG=2+6=8, 设 AB=x ?，VAB±BG, NG = 30。，NBCA=45。，BC=x, BG=7T="577o=,/3x»tan G tan 30° vVBG-BC=CG,1.小xx=8, 解得：xFL答：电线杆的高约为116.5 .解：如图，过点A作AF_LBC于点E在 RfZABF 中，ZABF=a = 60%. AF=AB s加 60°=20X= 1冲(?).在 Rf/XAEF 中，。=45。，AF=EF,AAE=a/aF2+EF2=V (10V3)2+

11、(10V3) 2=1()V6(/h).答：改造后的坡长AE为】,6 .解：如图，作AD_LBC于D, BHJK平线于H, 由题意得：ZACH=75°, ZBCH = 30°, ABCH, ，NABC=30。，ZACB=45°,;AB=4X 8=32(?)，CD=AD=ABs加 30。=16m，BD=ABc%300= 16小BC=CD+BD = (16+16/)，则BH=BCs加30。=(8 + 8小)小答：这架无人飞机的飞行高度为(8 + 84)l7 .解：(1)如图所示，过点C作CELBD于点E,则有NDCE=18。，ZBCE=20°,A ZBCD= ZDCE4- ZBCE= 18°+2O°=38°.(2)由题意得，CE = AB = 30，在 /?rACBE 中，BE=CE."i 20。，在 即4CDE 中，DE=CE？ 18。，教学楼的高BD = BE+DE=CE,6200+CE-？ 18。七20.4(机).答：教学楼的高约为20.48 .解:设每层楼高为X”由题意得 MC=MC-CC=2.5-1.5= 1(?)，则 DC'=(5x+l)】，EC'=(4x+l)?.在 RfZkDC'A'中，NDA'