三角函数的诱导公式教案3必修4

1、莫愁前路无知己，天下谁人不识君诱导公式（三）一、学习目标1 .通过本节内容的教学，使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱导公式， 并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简 与三角恒等式的证明；2 .通过公式的应用，培养学生的化归思想， 运算推理能力、分析问题和解决问题的能力;教、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用 .难点：公式（四）的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透 .三、教学方法复习课。通过由浅入深的例题，讲练结合。四、教学过程教学 环教学内容师生互动设计意图节复 习 引复习提问：老师提问，学生四组诱导公式的内容

2、回答。温故知新入说明：本 题是诱导公例1.求卜列三角函数的值5兀 c， sin240o； (2) cos；(3) cos( 252o); (4) sin4/7n、式一、 二的直 接应用.通过 本题的求解， 使学生在利 用公式二、三 求三角函数例解:1 ) 6(1) sin240o=sin(180o+60o)一<3=sin60o=2的值方面得 到基本的、初 步的训练.本 例中的（3） 可使用计算 器或查三角题 讲授5 n(2) cos =cos 4(3) cos(- 252o)r +冗) n + i=-<4 J=cos252o =222一 cos=-;42cos(180o+72o)=

3、函数表.cos72o= 03090;7n 、一sin7K说明：本 题是公式二， 三的直接应sin例(4) sin (一Ji )冗=sin -=').求卜列三角函数)= 61= 6用，通过本题 的求解，使学 生在利用公22的值学生先做， 老师对答案。 重点问题式、二求二 角函数的值 方面得到基 本的、初步的 训练.本题中5 二sin(-119o45 ); (2)cos_ ； (3)cos(-150o);7 二(4)sin 4解：(1)sin(119o45'尸一sin119o45' = sin(180o重点讲解。(1)用计算器或 查三角函数 表.60o15')=si

4、n60o15' =086825 二二 二 1(2)cos =cos( 2 二-尸cos一 二一(3)cos( 150 o )=cos150 o =cos(180o 30 o)=cos30o=;7 二二 二 2(4)sin =sin(2n)= sin =例3.求值:sin1311cos'1吧；_ 而上<6 ；<3 )10略解：原式一 sin,啜1 cos,十?11二sin10(7= sin 冗 十 一<6 J=sin -+cos+sin = 一 + 一+03090=1309063102 2例4.求值：sin( 1200o) - cos1290o+cos( 102

5、0o) sin(1050o)+tan855o解：原式=sin(120o+3 - 360o)cos(210o+3 - 360o)+cos(300o+2 - 360o) sin(330o+2 - 360o)+tan(135 o+2 - 360o)说明：本 题考查了诱 导公式一、 二、三的应 用，弧度制与 角度制的换 算，是一道比 例1略难的小 综合题.利用 公式求解时， 应注意符号.说明：本 题的求解涉 及了诱导公以及同角三 角函数的关 系.与前面各 例比较，更具 有综合性.通 过本题的求=sin120o . cos210o cos300o - sin330o+tan135o=sin(180o60

6、o) cos(180o+30o)cos(360 o 60 o ) - sin(360 o 30o)+ sin(180O45cos(180 s - 45=sin60 o - cos30 o +cos60 o - sin30 o tan45 o=晅.在 + 1.11=02222例5.化简：sin(3五十cos(a 一4 cos(-« - 5兀)sin(n -叼略解：原式_ sin(n +«) cosa_ cosacos(n +u) -sin(n +ct) cosa例6.化简：sin 口 +(2n +1)叫 +2sin 口 (2n +1)n,二,、学生观察 分析，老师启 发，边讲

7、边练。解训练，可使 学生进一步 熟练诱导公 式在求值中的应用.说明：化 简三角函数 式是诱导公 式的又一应 用，应当熟悉这种题型.说明：本 题可视为例5 的姐妹题，相 比之下，难度 略大于例 5.求解时应 注意从所涉 及的角中分 离出2 n的整 数倍才能利 用诱导公式(n U Z ) sin(久-2nH) cos(2nJI -a)解：原式sin(冗 +a) +2nn +2sin(a -n) 2nn sin(a 2n)cos(2nn -«)sin(y +?) +2sin(q - nJ sin a cosa _ -sina -2sin« _3sin a cosacosa例7.求

8、证：sin(ot 3n)+cos(口 一4n)_ sin(4Ji -ot)cos(24一)cos” -n)cos(n -a) +sin(« +n)一 tan(a -n)''''sin(a -n)、/证明：左边二sin(n十一4叫十co- cos(n -sin(n-a)一sin(n -a)cos(n -_sin（ ，：工）cos二 _ cos .- -sin ;8s二sin ：cos2 ： -sin2 二sin ：8S： sin 二 cos 二（cos : - sin .：） sin 二 cos .： sin ： cos：5cos.： ； sin ：工c

9、os： -sin：工 s sin ： 1 cos：右边二-sin 二 cos.：一cos二一sin ;_ sin 二 cos： sin 二 + cos二所以，原式成立.:cos（180 : r 工）例 8.求证 cos（"）= tan3u1 sin（360 - ：-） sin（540 -：）证明：左边=11cos' ' cos 二 cos.：.cos：1 r-二 sin,， sin -sin（180'一二）sin：说明：例 7和例8是诱 导公式及同 角三角函数 的基本关系 式在证明三 角恒等式中 的又一应用， 具有一定的 综合性.尽管 问题是以证 明的形式出

10、现的，但其本 质是等号左、 右两边三角 式的化简.2 一1 - cos - 2 .=cos02=叫_snL =tan3a =右边,1 -sin : cos： cos :所以，原式成立.1 3二一.例 9.已知 cos(n +a) = 一一, <a < 2元.求:2 2sin(2兀叼的值.一 一1斛：已知条件即 cosa =1,23二八又一< 2 2 2n ,2所以：说明：本 题是在约束 条件下三角 函数式的求 值问题.由于 给出了角a 的范围，因 此，口的三角 函数的符号 是一定的，求 解时既要注 意诱导公式 本身所涉及 的符号，又要 注意根据a 的范围确定 三角函数的 符号

11、.sin（2更一力=-sin : - -（- 1 - cos2 :）=例 10.已知 1 +tan(9 )720t =3 + 2j2 ,求: 1 - tan(- -360 )2 ,cos (二-1) sin。： ) cos(二-i)2 .12sin2(i-二)cos2(一二 一2二)的值解：由1+匕n(1=3+2”，得1 -tan(- -360 )(4 +2'2)tan6 =2+272 ,2 21 2 v 2所以tarn =_ =4 2%22说明：本 题也是有约 束条件的三 角函数式的 求值问题，但 比例9要复杂 一些.它对于 学生熟练诱 导公式及同 角三角函数 关系式的应 用.提高运

12、算 能力等都能 起到较好的 作用._2 .cos (二-0 sin(二【)cos(二-1)-2 .12sin (二-二)2 cos (-1 - 2二)9 ,9 .1= cos ? sin 二 cos1 2 sin 寸 2 cos 1=1 + tan 9 +2tan2 8例11.已知说明：通过观察，获得冗角口+一与3二 22 二、一 <口 <*,cos。+)=m(m ¥0),求 tan(- -«) 6333的值.2 二, 二、解：因为一一口 =n-(« +一), 33所以：.2二一 ,一cos( -); cos - ( "-) = "

13、 cos( "-)333=m，一二 2 二一一 2 二 二由于一<，所以0 c-a <6332于是：.,2n、 l2,2n 、-2sin(u) = i1 - cos (-a) =J1 -m ,33所以：. 2、osin(a)1.2,2n、341 -mtan (a)=3 、mcos(a)例12.已知cosP = 一，角a P的终边在y轴的 3非负半轴上，求 cos(2a -3P )的值.解：因为角a P的终辿在y轴的非负半轴上，所以：a 一口 二一十2kn(k w Z), 2于是 2 ( 口 P ) =n +4kn(k u n)从而2a 3P =-P + 4 +4kn(kw

14、 Z),cos(2a -3P) =cos(兀 一 P) +4kn = cos(n - P)=- cos =3三、课堂练习：1-1,1.已知 sin(ot + 7t),则的2cos(7 +7元)值是()2s21(A)§(B) - 2(C)- 2*3(D) 土 32.式子cos(a851的值是()sin630 + sin(-690)(A) 2J2(B)<2(C)3后2n+角 _a之3间的关系式2n=n3一与)， 为顺利利用 诱导公式求2ncos(a ) 的值奠定了 基础，这是求 解本题的关 键，我们应当 善于引导学 生观察，充分 挖掘的隐含 条件，努力为 解决问题寻 找突破口，本

15、题求解中一 个鲜明的特 点是诱导公 式中角的结 构要由我们 通过对已知 式和欲求之 式中角的观 察分析后自 己构造出来， 在思维和技72 (D)一 33 . 口，3, 丫是一个三角形的三个内角，则下列各 式中始终表示常数的是()(A) sin(a + 3 )+sinr(B)cos(3 +丫)- cosot(C)sin(ot + 丫)一 cos( 3 )tan 3 (D)cos(2 3 + 丫)+ cos2ct4 .已知：集合P = (x | x = sin (§ 3)兀,k = Z , 集合 Q = 3y | y =sin (-21；k)7r ,k e Z 则 P与 Q 的 关系是(

16、).(A) PcQ(B)PnQ(C)P=Q(D)Pn Q=(j)HTl5 .已知 sin( - -«) =coss, cos(- -a) = since 对 22任意角久均成立.右f (sinx)=cos2x,则f(cosx)等于 ( ).(A) cos2x(B)cos2x(C)sin2x(D)sin2x“ 13cos(n8)2cos(3n 8)记6,已知二一，则乙的cos(-9) -39sin(-8+5冗)值等于.22n3n4n7. cos +cos +cos +cos =55558化简：sin(7) -sin(9000-a)能上显然都 有较高的要 求，给我们全 新的感觉，它 对于

17、培养学 生思维能力、 创新意识，训 练学生素质 有着很好的 作用.说明：本 题求解中，通 过对 角 “ -B的终 辿在y轴的非 负半轴上的 分析而得的 a P=ji+2总（kW 2,还/、能马上 将未知与已 知沟通起 来.然而，当 我们通过观 察，分析角 2« - 3P 的tan© -360) -cos(180°+«) -cos(7 -360)所得的结果是.Z)1 -sin(180° + a) sin(-a)39.求证=cot ot 1 ，一+cos(3600-a) cos(540°-a)2 2cos (nn +x) sin (nn -x) z )、 10.设 f(x)=J-(ne Z),cos (2n +1)n -x求f (一)的值.6答案与提示 1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6.土37. 0 8. - 2cosa43,.，一 一一、 一一cos a9 .提示：左边利用诱导公式及平方关系，得一3,sin a3.一 ,cos ot右边利用倒数关系和商数关系，得cosL，所以左sin 3边=右边.10 . 1 . 4提示：分n=2k,