2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(全国卷3,正式版解析)

1、绝密启封并使用完毕前试题类型：新课标出2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(全国卷3)注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。第I卷 1至3页，第n卷3至5页。2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3 .全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4 .考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第I卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。(1)设集合 S=S x|(x 2)(x 3) 0 ,T x|x 0 ，则 SI T=(A) 2 ,3(B)(-, 2 U 3,+)(C)

2、 3,+)(D)(0, 2U 3,+)【答案】Dt解析】I试题分析：由0-2»-5)之0解得3或所以5=3工£或立外所以sn丁二工|01工W2噩之力，故选口.考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算.4i(2)若 z 1 2i ,则 Yzz 1(A)1(B) -1(C) i (D)-i【答案】C【解析】一 4i4i一.试题分析： 一4 i ,故选C.zz 1(1 2i)(1 2i) 1考点：1、复数的运算；2、共轲复数.uuv 13 uuv 3 1(3)已知向量 BA (-,一)，BC (一,-),则 ABC二2 22 2(A)30 0(B) 450(C) 60 0(D)

3、1200【答案】A【解析】试题分析：由题意，得 cos ABCuur uuurBA BC-uuur-uuur-|BA|BC|1吏二 1_2下下2正，所以1 12ABC 30 ,故选 A.考点：向量夹角公式.(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15°C, B点表示四月的平均最低气温约为5°C。下面叙述不正确的是平均低气平均(A)各月的平均最低气温都在00C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于20°C的月份有5个【

4、答案】Dt解析】试题分析：由图可知VC均在虚线框内J所以各月的平均最低气温都在。七以上，且正确；由图可在七月的 平均温差大于7¥仃，而一月的平均温差小于工产C,所以七月的平均温差比一月的平差大，E正蚓 由图可知三月木计一月的平均最高气温者氏约在5吧,基本相同，C正确5由图可知平均最高气温高于20七 的月份有3个或2个/所以不正确.故选上考点：1、平均数；2、统计图(5)若 tan3,2一,贝U cos2sin 2464(A)25【答案】A【解析】(B)48(C) 1(D)16试题分析：由3m.34-.34tan ,得 sin ,cos 或 sin ,cos,所以455552 cos1

5、612642sin2与4 25不，故选A.考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式.421(6)已知a23, b45 , c 253 ,贝U(A)ba c (B)a bc(C)b c a【答案】A(D) c a b42试题分析：因为a 23 43考点：哥函数的图象与性质.212245 b , c 25可 53 4号a ,所以b a c,故选A.(7)执行下图的程序框图，如果输入的n 0, a - D(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6a 4, b 6,那么输出的n【答案】Bt解析】试题分析士第一j欠循环，得口二工才二工口 二 6/二1 ;第二;欠循环，得日二-2甘=6=口=4=工=

6、10, »=2|第三次循环？得出=工q = 61 = 161 = 3 s第四次循环得心=2. i = 6. ci = -4. j = 20 > 16. m = 4 f退出彳盾环输出7：=1y推选B .考点：程序框图.(8)在4ABC中，B= - , BC边上的高等于BC,则cosA 二 43(A)如(B)叵(C)-叵(D)-逮10101010【答案】C【解析】试题分析：设BC边上的高线为AD ,则BC 3AD ,所以AC JAD2 DC2 J5AD , AB J2AD ,由方f田知 八 AB2 AC2 BC2 2AD2 5AD2 9AD2.10 坨4 .余弦7E理，知 COSA

7、 - - ,故选 C.2AB AC 2 X2AD 高AD 10考点：余弦定理.(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(A) 18 3675(B) 54 18/5(C) 90(D) 81【答案】B【解析】试题分析；由三视图i买几何体是以恻视图为底囱的斜四棱柱，所以该几何体的表囱积 5=2x3x6 + 2x3x3+2x3x35=54+18,微选 E.考点：空间几何体的三视图及表面积.(10)在封闭的直三棱柱 ABC ABG内有一个体积为 V的球，若AB BC,AB 6, BC 8 , AA 3,则V的最大值是(A) 4兀(B) (C) 6兀(D

8、) 2-23【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积 V最大，必须球的半径 R最大.由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值-,此时球的体积为4 R3 - (3)3 9 ，故选B.23322考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积.2 X（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C: -2 a2 y_ 11(ab 0）的左焦点，A, B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(A) 1(B) -(C) -(D)-3234【解析】试题分析：由题意设直线，的方程为r =分别令Y与元=0得点I我J

9、1 0E1阳二由aSE-ACRIFj喝,即-,整理？得三二工J所以椭I ?1W| BCo + ca 3圆常心率为官=；j故选人考点：椭圆方程与几何性质.（12）定义“规范01数列” an如下：an共有2m项，其中m1页为0,m项为1,且对任意k 2m,a1,a2,L ,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范 01数列”共有（A） 18 个（B） 16 个（C） 14 个（D） 12 个【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有 a1 0, a8 1,则具体的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110考点：计

10、数原理的应用.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作 答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分x y 1 0（13）若x,y满足约束条件x 2y 0 则z x y的最大值为x 2y 2 0【解析】试题分析:作出不等式蛆满足的平面区域，如囹所示j由图知，当目标酸£三工十）经过点时取得最大值,即三=1+±=考点：简单的线性规划问题.（14）函数y sin x J3cosx的图像可由函数 y sin x J3 cosx的图像至少向右平移 个 单位长度得到.【答案】 一3【解

11、析】试题分析：因为y sinx 百cosx 2sin(x ) , y sinx V3cosx 2sin(x -)= 移一个单位长度得到.2sin(x 3) W，所以函数y sin x ，3cosx的图像可由函数 y sin xcosx的图像至少向右平3考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数.(15)已知f x为偶函数，当x 0时，f(x) ln( x) 3x,则曲线y f x在点(1, 3)处的切线方程【答案】y 2x 1【解析】试题分析；当三)。时，则/(-口丁云.又因为以)为偶函数，所以/(冷=/(-，)川口工一1工一所以三，叫切纯斜率为了二2 ，斫以切线方程为 xj&

12、#39;+3=-2(t1),即y = -2?一.考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义.(16)已知直线l ： mx y 3m J3 0与圆x2 y2 12交于A,B两点，过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点，若AB 2曲,则|CD | .【答案】4【解析】试题分析：因为|AB| 2J3,且圆的半径为2J3,所以圆心(0,0)到直线mx y 3m J3 0的距离为JR2(LABJ)2 3 ,则由13m 出1 3 ,解得m ，代入直线l的方程，得y x 273 ,所'2，m2 13，3以直线l的倾斜角为30 ,由平面几何知识知在梯形 ABDC中，|CD| 1AB | 4

13、.cos30考点：直线与 周的位置关系.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知数列an的前n项和Sn 1an ,其中 0 .(I)证明an是等比数列，并求其通项公式；(II )若 S5 口，求.321【答案】(I) an ()n 1; (n)1 .n 11【解析】试题分析:( I )苜先利用公式4 =口 * Z ,得到数列凡)的递推公式，然后通过变损结合等3H 5此_1 外之.比数列的定义可证j (n)jijffi( I)前鞭项和“化为上的表达式，结合国的值j建立方程可求得力的值.试题解析r I )由题意得q =M=1+上问J或3工0.1 - X由

14、'=1 -然f , S= = 1 +余7得风_i = /qi 一上外,即_1 1/. - 1) = &口由/炉L片炉。得见m 0 ,所以吧二aT儿 一 1因此%是苜项为丁Li公比为刍的等比数列，于是/二工C47广1, 1 AX 11Z U1/31/.31a .1口)由1)得工=1(汽由邑=91导1(=”？即(一7二 12.A 1j2 x 1解得Z =-1 .考点：1、数列通项an与前n项和为Sn关系；2、等比数列的定义与通项及前 n项和为& .(18)(本小题满分12分)(I)由折线图看出，可用线性回归模型拟合触叁学«曾还甘酒ma下图是我国2020年至2020

15、年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图y与t的关系，请用相关系数加以说明;(II )建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2020年我国生活垃圾无害化处理量。参考数据:yii 179.32，ti xi 140.17，J (yi y)20.55,2.646.n(ti F)(y y)参考公式：相关系数r /士nn、.(tit )2 (yi y)2 i 1i 1回归方程y a bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:n)(t F)(x y).b j,a=y f)2i 1【答案】（i）理由见解析；（n） 1.82亿吨.【解析】试题分析：（I）根据相关系数产公式中出相关数据后？然后代

16、入公式即可求得广的值，最后根据其值大小 回答即可3 （II）禾用最小二乘法的原理提供的回归方程，准确求得相关数据8口可建立Y关于t的回归方程, 燃后作预测.试跑解析：（I）由折缄图这数据和附注中参考判据得>89r -堂 0 99.0.5S2x2_646因为P与f的相关系数近'劝0.9%说明与撵拼4相关相当高？从硒以用线性回归模型拟言与的 关系.(n)由 y972 1.331 及(I)得 g7_(ti t)(小y)i 17- 2(tit)i 1289 0.103, 28i? y bt 1.331 0.103 4 0.92.所以，y关于t的回归方程为：？ 0.92 0.10t .将2

17、020年对应的t 9代入回归方程得：,0.92 0.10 9 1.82 .所以预测2020年我国生,活垃圾无害化处理量将约 1.82亿吨.考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用.（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥 P ABC 中，PA 地面 ABCD, AD P BC , AB AD AC 3, PA BC 4 ,M为线段AD上一点，AM 2MD , N为PC的中点.(I)证明MN P平面PAB ;(II )求直线AN与平面PMN所成角的正弦值【答案】(I)见解析；(n)如525【解析】试题分析：(I )取4的中点Tj然后结合条件中的数据证明四边形血江为平行四边形，从而得到 MX/AT

18、,由此结合线面平行的判断定理可证3 (口)以H为坐标原点，以月。一小所在直线分另优 轴建立篁间直角坐标系，然后通过求直?戋小的方向向量与平面FAC法向量的夹角来处理4V与平面 FM早所成甬.试题解析；(1 )由已知得AM =2fBP的中点T,连接AT, TN f由N为PC中点知TN BC ,又皿8C、故r平行且等于air,四i形ha丁为平行四边形，于是” 5.因为AT c平面Z15 j UY工平面汽钳J所以MX 平面PAB.(II)取BC的中点E,连结ME,由4二得一4_3C,从而ME L4D ,目=RE： =*5一竿):=后.以月为坐标用点,a笈的方向为x轴正方向?建立如图所示的空间直角坐标

19、系月-4人由题献0,产(0Q43W0), Q技必 A畔12),列/,域=($* 小谭2).* *2x 4z 0设n (x,y,z)为平面PMN的法向量，则n PM 0，即 J5，可取 n (021)，n PN 0 x y 2z 02于是 |cos n, AN |n AN |n|AN|25考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积.(20)(本小题满分12分)已知抛物线C： y2 2x的焦点为F ,平行于X轴的两条直线11,12分别交C于A, B两点，交C的准 线于P, Q两点.(I)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明 ARPFQ；(II )若 PQF的面积是 ABF的面积的

20、两倍，求 AB中点的轨迹方程.【答案】(I)见解析；(n) y2 x 1.【解析】试题分析；(I)设出与三轴垂直的两条直线j然后得出反见月。.五的坐标,然后通过证明直线与直 线FQ的斜率f酹即可证明结果了式1D没直续(与上箍的支点坐标口(40)用用面积可求得不退出 的中点也(达丁)？中魏必与轴是否垂直分两fWfi况绪合心=%求解？试趣解析：由题设F(。0).役公'=q&二J =旌 则加工久且 *记过4£两点的直线为L贝收的方程为2，一g+占"+原=03分( I )由于F在线段以3上，故1斗/5=0.记.业的斜率为国,FQ的斜率为自，则二 a - ba -b

21、1 -ab ,=1 =、= = -ifci *1十口一 "一血 a a所以FQ5分<11 )设与工轴的交点为“X。，则反的=+ -叩切=；P - H卜- *»声=u b由题设可得三用-同巧-3 =-7所以占=0(舍去)再=1. dltar-设满足条件的as的中点,为宜(E >).当小5与彳轴不垂直时，由匕3 M心E可得二一二仁仁二%口+3 X1-口 + 5亡 m +叫/下1 %K=yf所以厂=工-：1(工工1). Jb当.”与，轴垂直时，E与口重含.所以j所求轨迹方程为二工-112分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法.(21)

22、(本小题满分12分)设函数 f(x) acos2x (a 1)(cosx 1),其中 a 0,记 | f (x) | 的最大值为 A.(I)求 f (x)；(n)求 A；(m)证明 | f (x) | 2A.12 3a,0 a52【答案】(I) f (x) 2asin 2x (a 1)sinx； (n) A -a，一 a 1;(出)见解析.8a 53a 2,a 1【解析】试题分析：(I)直接可求f (x)； (n)分a 1,0 a 1两种情况，结合三角函数的有界性求出A ,但须1 1汪息当0 a 1时还须进一步分为 0 a -,- a 1两种情况求解；(出)首先由(I)得到5 5一八11、r|

23、f(x)| 2a |a 1|,然后分a 1, 0 a -,- a 1三种情况证明5 5试题解析：(I) f (x) 2asin 2x (a 1)sinx.(n)当a 1时， | f (x) | |asin2x (a 1)(cosx 1)| a 2(a 1) 3a 2 f (0)因此，A 3a 2.4分当 0 a 1 时，将 f (x)变形为 f(x) 2a cos2 x (a 1)cosx 1 .令 g(t)2at2 (a 1)t 1,则 A是 |g(t)|在1,1上的最大值，g( 1) a , g(1) 3a 2 ,且当 t4a6a 18a1(1)2时，g(t)取得极小值，极小值为 g(L)

24、(a 1)4a 8a“1 a11v 1 1 ,解得 a 一(舍去)，a .4a35(i )当。0 时，在(-L1)内无极值良，口，WQ)|二工一物，|<| g(X),眦、工二 2一34 .(ii)当<白式1时，由 g(-D-gro = 2Cl-G、。>£(). 54an I J一口i z i (I烧)a+，R) 八. I ,1一口、 d"+6口+ 1又I s() 1-1晨-D仁-70 ,所以4W 5() 1=- -4a4ab 日2 知一0< 5广口1十6口+】11公%上，乂=<一,-<£?<1 .9 分8(?3d! 2.(

25、3 21L(III)由I13| /W |=| -2flsiu 2a(a-ljsin x 2a+10-1|当0亡口£：时,|/O) W1+dM2-4日七1二一3G三2月-11口小口ki时-i=|+>i,户似|了(唠51+日(，九当心1时"/(#530-1«山-4=24 所以|切G.L 考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性.请考生在22、23、24题中任选一题作答。作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分22.(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲如图，O O中Ab的中点为P,弦PC,

26、 PD分别交AB于E, F两点.若 PFB 2 PCD ,求 PCD的大小；(II )若EC的垂直平分线与 FD的垂直平分线交于点 G ,证明OG CD .【答案】(i) 60 ; (n)见解析.【解析】试题分析；(I)根据条件可证明4月与是互补的，然后给合/阳=227切与三角形内角?碇理， 不难求得二尸8的大小；(II由(I )的证明可知CEE四点共圆？然后根据用线段的垂直平分线 知G为四边形CEED播展图图4如何知G在线段8的垂直平分线上j由此可证明结果， 试题解析；(I)连结 F区 5C ,则 ZBF0 = £PBA + 4PD, ZPCD = ZFC5 + "CD,

27、因为 HF = BP,所以 £PBA = aPCB * 又4FD = -BCD * 删、-3FD =乙PCD.又PFD * _gFD = 曲二 jPFR 三2±FCD,所以8三 1X0 ,因此上FCD 二60二口因为ZPCD = 士BFD ,所以ZPCD + ZEFD = 1801,由此知C, D.E E四点共圆，箕圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过GOEE四点的圆的圆心，所以G在CD的垂 直平分线上，因此。G_a.考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆.23.(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x J3cos (为参数)，以坐标原点为极点，以 x轴的正y sin半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为sin(-) 2& .(I)写出Ci的普通方程和C2的直角坐标方程；(II )设点P在Ci上，点Q在C2上，求|PQ的最小值及此时 P的直角坐标【答案】(I) C1的普通方程为X22 3 1y y 1, C