河北省2021届高三下学期一模考试数学试题及答案Word版

1、保密启用前2021年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学20213 (1) 注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1 .已知8都是R的子集，且AqB,则8“(；A)=()A . A B. B C. 0 D R.3回93回A.

2、 B. C. D. 2510103 .小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有()A. 261 种 B. 360 种 C. 369 种 D. 372 种4 .溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH = -也”+,其中+表示溶液中氢离子的浓 度,单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在ixi(r74ixi(rs之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的pH值的范围是()A. 7.25,7.55 B. 7.25,7.45 C. 7.25,7.35 D. 7.35,7.455 .已知两条不同的直线，相和不重合的两个平面。

3、,尸，且/，/，有下而四个命题:若则/?； 若。/夕，则/_L。：若C4，则/。：若则?/.其中真命题的序号是()A. ®® B. ®® C. ®®® D. ®6.某大学进行“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团选拔.某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为必从已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为1 .假设该同 25学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为()7已知椭圆的左焦点为尸上顶点为$右顶点为&若N。，NO”的平分线分别交X轴

4、于点E,且14。F +1AE F 一 | OE F= 14。|.| AE I,则椭圆C的离心率为()-TB专。与 D.8 .设/(x)是R上的奇函数，且/(%)在(-oo,0)上是减函数，又/(-4) = 0 ,则不等式/ (x + 4) / (一x 4)八奴4Ati、-0的解集是()xA. (0,4) B. (-8,-4) C. (-4,0) 0 (0,4)D. (8,-4) 9 (0,4)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.9.如果平面向量Z = (2,4),3 = (6,12),那么

5、下列结论中正确的是()A. 1 1=3 lai B. a I lbC.。与/；的夹角为30。 D.。在方向上的投影为2番10.袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记。分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X,则()(2、RA X B 43 B. P(X =2)= ( 3 J81QQC. X的期望E(X) = D. X的方差O(X) =:11.己知。0力0,且2。+ 80 = 1,则()/3iA. 3d > B. y/u + 2C. log? a + 1°g2 6 D. ” + 16b < 3812.已知函数/(x) = x + 2tanx,其

6、导函数为r(x),设g(x) =/(x)cosx ,则( )A. 7(x)的图象关于原点对称 B. 7(x)在R上单调递增C. 2万是g(x)的一个周期D.晨幻在|0.f |上的最小值为2点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .若P(4,l)为抛物线。：犬=2)，(>0)上一点，抛物线C的焦点为尸，则1。尸1=.14 .写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列。“ =.15 .已知函数/(x) = sin;rx + acos；Tx图象的一条对称轴为x =,，则"=,函数/(x)在区6间-,-"1上的值域为.6 316. 早期的毕达哥拉斯学

7、派学者注意到：用等边三角形或正方形为表而可构成四种规则的立体图形，即正 四面体、正六面体、正八而体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等.如图，正二十面体是由20个 等边三角形组成的正多而体，共有12个顶点，30条棱，20个而，是五个柏拉图多面体之一.如果把sin36。3按二计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (10 分)17己知公比小于1的等比数列4中，其前项和为S，%=, S3=-.48(1)求 4:(2)求证：-Sn<. 218. (12 分)中,cos B(3a -

8、bsin C) = bsinBcosC .(1)求 8：9 c（2）若c = 2aq43C的而积为士，求aABC的周长. 319. （12 分）如图，四边形A3CO是正方形，P4，平面48。,尸4所,且R4 = AB = 3.（1）求证：CK平面P4。；（2）若BE = LpA,求直线夕。与平面PCE所成角的正弦值. 320. （12分）某电器企业统计了近10年的年利润额y （千万元）与投入的年广告费用x （十万元）的相关数 据，散点图如图，对数据作出如下处理：令% =ln%.,匕=lny,得到相关数据如表所示:101-110J-110Z匕J-110Z-130.5151546.5q r h i

9、10小. 一一一 ",. "二卿小S兀() 2 4 6 X I什 12 H 僚】长 . 22 24 26 " ”（1）从y = " + n：y =，/（阳0,k 。）： = cx2+dx + e三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；（3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）参考数据：12 « 3.6788,3.67883 2 49.787参考公式：回归方程y = a + lit中斜率和截距的最小二乘估

10、计公式分别为h =,a = y-bTeu-d2J-l21. (12 分)X2 v2己知双曲线c：r r = 1(。0力0)上一动点P,左，有焦点分别为1，八，且A(2,o),定直线 cr Zr/：x=±pm_u,点河在直线/上，且满足四j=正.2"I 2(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线/。的斜率攵=1,且/。过双曲线右焦点与双曲线右支交于,4, 3两点,求的外接圆方程.22. (12 分)己知函数 f(x) = a In x + -(aeR). x(1)讨论函数/(x)在区间1,2上的最小值; 4- CCS X(2)当。=1时，求证：对任意xt(0,+s),恒有/(x

11、)v成立.X2021年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学参考答案及评分标准20213 (1)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. D由图，易知BU(QA)= R.故选D.2. A6611-3/1=7?+(-3)2亚.故选A.53. C从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有C；C； + C；C；+C；C； = 369 （种）故选 C.4. D 依题意，pH, = -lgl x IO_745 = 7.45,pH2 = -lgl x IO-735 = 7.35 ,因此，正常人体血液

12、的 pH值的范围是7.35,7.45.故选D.5. A 对于，由可得/?，故正确: 对于，若/1.夕,2），可得/_Le,故正确：对于，若I工0«工。,则有可能/ua，故错误: 对于,当时,则有可能加=尸，故错误.综上，真命题的序号是,故选A.16. D由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为二，则ab1-51 1 1 1 +a(1 b) + b( _)= 一, 2,2251112所以5（ +与一5帅=5 ,所以。+ 一出, =5，所以该同学一个社团都不进入的概率P = (1 _)( _)3.故选D.=1 - (a + b) + ab = -(a + b) ab = x 1 222

13、 1518因为 I4OF+IAEF|oeF=JIAOII4EI , 所以由余弦定理得cos ZDAE =AD f +AE I2-IDE I22ADAE2AD-AE FZZME = 45°.因为4DAE分别为NO48,NQ4F的平分线，所以N34尸= 2NDAE = 90。，所以AB1AF.由题意可知，点尸（一仁0）,40,故8（。,0）,则而= （-c,-b）,而= （%）.由行 而=一。+ =0,可得。2-。2-4。= 0,即，2+。一。2=0,在等式/+(一“2=0的两边同时除以，/，可得/+e - 1=0,因为Ovevl,解得e =二！.故选c.28. B因为/*)是R上的奇函

14、数，且在(一,0)上是减函数，所以/(x)在(0,+8)上是减函数，又因为/(-4) = 0,所以/'(4) = 0,则函数/*)的大致图象如下图所示:由 /(x + 4) -/(-我-4) )0 由 /(x + 4) - / <-(口 + 4) 4 0即 2人 + 4)>°,X必 + 4)<。,或x< 0,7(x + 4)>0, x >0,-4<x + 4<0,xv 0,0 < x + 4 < 4, 或，x>0.解得8vxvT或xw0.故) (x + 4)二/ (7 4) > 0的解集是(_&T

15、),故选b.X二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. AB 因为工=(2,4)1=(一612),所以分=一32.在A中，因为6 = -3£,所以1川=31力，故A正确:在B中，因为B = 3£,所以Z/B,故B正确：在C中，因为万=一3£,所以与B的夹角为180。，故c错误；在D中，£在B方向上的投影为之 =(2.T(-6.12) = _2/ ,故D错误.故选AB. bJ(6)2 + l-10. ACD由于每次取球互不影响，故所有结果有4类:4次全

16、是白球，X=O,记其概率为尸(X=O)=,13,1814次只有1次是黑球，X = l,记其概率为P(X=l) = C；|(；j881( i4次只有2次是黑球，X=2,记其概率为P(X=2) = C； -1 【3次只有3次是黑球，X=3,记其概率为P(X=3) = C；(gj 3 8124次全是黑球，X=4,记其概率为P(X=4)=-,故A正确，B错误:168?因为Xb4,|),所以X的期望E(X) = 4xg = |,故C正确;248?（2 7 1g4,-1,所以X的方差O（X） = 4x,X3 = 5,故D正确.故选ACD.11. ABC 对于 A,因为。>0 力 >0,且 2

17、+ 8 = 1,所以 2。-8 = 2。一（1-2）= 4。一1>一1,所以1次327'>37=，所以3°-.> 上，故A正确：33对于B,（而 + 厢）2 = 2a + 8b + 2&a8b = l + 242a 8bQ + （2 +汕）=2 ,所以衣 +用隆立,当且仅当2 = 8/九 即时取等号，故6+2欣1,故B正确： 416.2对于 C, log22a + log28 = log216H?Wlog"型 j =-2,当且仅当 = 8/九 即“ =时取等号，log2 2a + log28/?=l + log2a+ 3 + log2-2

18、,得logza + log2%一6 ,故 C 正确:对于 D,已知 n>0 力 >0,且 2。+8 = 1,所以（2。+ 8万）2忘2（2。）2+2（8与2,即 &8，+ 128/-，则/ + 16从21,当且仅当2a = 8。，即。=,仍=1时取等号，故D错误.故选ABC 841612 . AC/(x) = x + 2tanx的定义域是其关于坐标原点对称，且/(-x) = -x + 2tan(-x) = -x- 2 tanx = -(x + 2 tanx) = -/(x),所以/(x)是奇函数，所以/(x)的图象关于原点对称，故A项正确；22由 f(x)= x+ 2 ta

19、n x，得 fx) = 1 + ；，则 g(x) = ff(x)cos x = cos x +.cos* xcosx/，(幻=1 +=>0恒成立，所以/(大)在(一至 +攵乃，工+ k4(AeZ)上单调递增，并不是在R上单调 cos- x 22/递增，故B项错误:由 g(x) = cosx + - COSX得函数g(x)的定义域是+g(x + 2万)=cos(x + 2江)+= COSX + '= g(x), 故 C 项正确;cos(x + 2)cosx设，=cosx,当 xw O，wJ 时，t e (0,1),此时 g(x)>3,故 D 项错误，故选 AC.三、填空题：本

20、题共4小题，每小题5分，共20分.13. 5Q由 P(4J)为抛物线。：/=2)，(>0)上一点，得 4?=2pxl,可得 =8,贝 iJIPFI=l+ = 5. 214. 2/?-6 (答案不唯一)要满足“前3项之和小于第3项”，则4 +%<0 ,则不妨设 =>4,2=一2 ,则 an = 一4 + ( - 1) x 2 = 2 - 6.15. 1,2(第一空2分，第二空3分)因为函数/(x)的对称轴为x = -. 6由辅助角公式可得 /'(X)= Jl + a、sin(/rx + 6)(tan6 = n), 所以sin卜x + g）U，所以2sin卜x + gje

21、l,2,故函数在区间一篇 上的值域为1,2.即 sin + «cos = J+a266即L+虫。=Ji+l,两端平方, 22可得。=所以/(x) = sin/rx + 6cos/rx = 2sin| 7rx + 由xe -1,1，得;rx +6 37tzr 27re * , 3631A 55。 10.36乃二十而体的棱长为/,/ -2- r 则由图，知正二十而体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设其半径为凡正五边形的外接圆半径为人正35/= sin36o =二，得=，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是 56泮J陪十h = yjl2-r2 =/2-=乎,，所以K=，2+（R h）2，即

22、R?=弓）+我一孚/ ，解得R =今：/ 所以该正二十而体的外接球表而积为S球=4乃卡=4万x而体的表面积是打_+而凡=20x4x/x/xsin60o = 5j5/2,所以该正二十面体的表面积与该正二十而体的 JL- I BU re2外接球表而积之比等于艾虫.367r四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10 分）22) H V所以 S=： = 1 - - .8 分21、乙)2因为在r上为减函数，且)'=(?) >o恒成立，1 V 1所以当 eN,，即1时，0v w，9分所以;WS. = i-< 1.、2 / 210分18.

23、(12 分)/3acosB-bcosBsinC = Z?sinBcosC ,解：(1)由 cosS(>/5a-bsinC) = bsin8cosC ,即 VJcos8 = /?sin8cosc+ Z?cos8sinC ,y/3acosB = /?sin(B + C),2 分/3a cos B = bsinA .3 分由正弦定理，得 JSsin 4cos8 = sinBsinA ,4 分因为 sin A WO,所以 JJcosB = sin8 ,所以 tan 8 =5 分因为OvBv4,所以8 =工.6分3(2)因为c = 2a,48C的面积为坦， 32223所以。=2。= 土区. 3由余

24、弦定理 =(/ +c二一 2ccos8,伯/(2/丫，4右丫)26 4cl4可得/r= - + -2x x x- = 4 ,33332/ /11分解得。=2.12分所以A5C 的周长为。+ +c = 23 + 2 + +5 = 2 + 2j§. -319. (12 分)(1)证明：因为四边形488是正方形，所以5C/AO.又AOu平面P4D8C(z平面P4O,所以8C7/平面240.2分因为PA/EB,3分同理，可证上8平面P40,4分又BCcEB = B,所以平面EBC/平面PAO，5分又因为CE u平面EBC ,所以CE平面PAD.6分(2)解：分别以AD4&4P为x,

25、y, z轴建立如下图所示的空间直角坐标系.3则 P(0,0,3),。(3,0,0),C(3,3,O),E(0,3,1),则团=(3,0, 3), PC = (3,3, 3),屉=(0,3,-2).8 分 设平面PCE的法向量为加= (x,y,z),则由2z，= T八 PC = (x,z).(3,3, 3) = 3x + 3y 3z = 0, tn-PE = (x, y, z)(0,3,-2) = 3y - 2z =。，10分令z = 3,得平面PCE的一个法向量为7 = （L2,3）.设直线尸。与平而尸CE所成角为6,则sin® =PDmI 万 llzl(3。-3)(123)3必回=

26、V7一斤所以直线PD与平面PCE所成角的正弦值为.12分720. （12 分）解：（1）由散点图知，年广告费用X和年利润额的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，所以选择回归类型y = ?3更好.3分(2)对y =/两边取对数，得Iny = lnm +攵Inx ,即p = ln7 + A，4分30.5-10x1.5x1.5 _ 146.5-10x1.5x1.5 -3Z%匕一 1°后 由表中数据得，£ 二胃2>"1°齐人1所以ln2 =五一近7 = L5-xl.5 = 1,所以？ = e,7分31所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为y = e x

27、5.8分 e = V- 知 X7 2 zf 市 3)O > 一x3 e = y 令10一 e> 1-3X得>3.6788,10分所以x > 3.678夕a49.787 ,11分所以x、49.8 （十万元）=498 （万元）.故下一年应至少投入498万元广告费用.12分21. （12 分）解（1）由题意，可知股1 =生，设点尸（x,y）, PM I 3则x2得。一2）2+），2得 X? - 4x + 4 + y2 =孑2 -4x + 3, 得 1 +),2=1/，4 分即双曲线的标准方程为二V = 1. 3（2）由题意，可知直线人：y =工一2 ,设4内,）3（孙）3），

28、y = x-2.x2 ) 可得 2/一12工+15 = 0,»广=1.3.则AB中点为M（3,1）/A8用外接圆圆心在AB的垂直平分线上，设为/1,故4方程为y = -x + 4,又由焦点弦长公式，可知IABI=2j§.设圆心（见,先）满足%=一/+ 4,(x0-3)" +(>10-1)- + 3 = (4 + 2+ 片,故，1Ao =d，o31>0 = q o10分22. (12 分)12分（1）解：函数/（x） = alnx + 1的定义域是（0,+s）, xax-1f/X - 1当时，ax lvO,<0,则r*)<0, 厂则函数/*)在(0,+S)上单调递减，即函数/(X)在区间1,2上单调递减，故函数/(X)在区间1,2上的最小值为/(2) = «ln2 + l.3分2当>0时，令广(x)<0,得0vx<L：令/，(x)>0,得x>L：上单调递减，在(L,+s)上单调递增.故函数/(幻在(0,(i)