江苏省苏州市2020-2021学年高一上学期1月学业质量阳光指标调研数学试题

1、苏州市20202021学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在母小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 .设有下面四个命题：Pi：玉x2+l<0；x+|j|>0；: Vx g Z , xeN .p4 :3xe /? , /一2工+ 3 = 0.其中真命题为()A. PiB. p2C. PiD. PaC根据全称命题与特称命题真假的判断方法逐一判定.解：对于A.VxeR./+121 ,所以该命题为假命题；对于B.当x«0时x + k| =。，所以该命题为假命题；对于C当以EZ时W均为非负整数，所以该命题为真

2、命题；对于D.因为i2x + 3 = (x a+2w0,所以该命题为假命题；故选：C.全称命题与特称命题真假的判断方法：1、全称命题：真：所有对象使命题真，否定为假；假：存在一个对象使命题假，否定为真.2、特称命题：真：存在一个对象使命题真，否定为假； 假：所有对象使命题假，否定为真.2小52 .若角。的终边经过点(1,2),则cosa=(D.A.立B.正55A用余弦的定义可以直接求解.点(-1,2)到原点的距离为所以COS2 =故本题选A.本题考查了余弦的定义，考查了数学运算能力.3对于集合A, B,我们把集合xlxwA且x任8叫做集合A与8的差集，记作A-3 .若A = k|lnx<

3、21n后 , B = x|x>l,则人一5为（ ）A. x|x< 1B, x|O<x< 1 C. x| 1 <x<3D, x| 1 <x<3B解对数不等式得集合A,现根据新定义计算.A = Wlnx<21n/ = xlO<x<3,，A-8 = xlO<xvl.故选：B.思路点睛：本题考查集合的新定义，解题时关键是正确理解新定义运算，确定集合A是解题基 础.A-8是由集合A中不属于集合8的元素所组成，由此可得结论./ 4.下列四个函数中，以万为最小正周期且在区间g,兀上单调递增的函数是（）12/A. y = sin2xB.

4、y = cosxC. y = tanxD. y = cos-2c根据三角函数的性质依次求出周期和判断单调性即可.对于A, y = sin2x的最小正周期为三=江，在区间修,】有增有减，故A错误；212 ；对于B, y = cosx的最小正周期为2乃，故B错误；/ 对于c, y = tanx的最小正周期为江，在区间 号兀上单调递增，故C正确；2万 /v = 47r对于D, y = cos1的最小正周期为1，故D错误.故选：C.225 .“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价.甲平台第一次降价,第二次降价战;乙平台两次都降价（其中则两个平台的降价力

5、度（）A.甲大B.乙大C. 一样大D.大小不能确定A根据题意可分别得出甲、乙两次降价后的售价的表达式，并进行计算，再结合基本不等式比较 大小即可.设原价是x,那么甲平台两次降价后的售价=（1 -%） （1 -b%） x；乙平台两次降价后的售价=（1-，） %; 乙十 /、,、10000-100(«+ /?) + «/?40000-400(« + /?) + 4ab1000040000而(1 -67%) (1 -b%) x=x=-X；i) 2一 40000-400. + ) + ( +万)2, 240000V （a+b） 24ah9 （当且仅当。=b是等号成立），又

6、 ，乙甲.即乙的售价高，甲降价幅度大，故选：A.6 .已知函数/（X）的图象如图所示，则函数丁 = M*（x）的图象可能是（）A法一：根据函数奇偶性，及函数特殊值的正负判定；法二：根据函数“X）函数值的正负，结合y = #（x）的函数值正负判定.解：法一：由图可得/（x）为偶函数，3令 =则 g(T)= -Xf(-X)= -xf(X)= 一双式),所以以#二必'。)为奇函数，排除C, D.又 X f+8 J(x) >。，所以 X f +8, g(x) = xf(x)> 0 .排除 B.法二：由函数图像可得/(M的函数值：正、负、正、负;则 > =,炉5)的函数值：负、

7、正、负、正.故选：A.思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手:从函数的定义域，判断图象的左右.位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.从函数的单调性,判断图象的变化趋势;从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象7 .若夕为第二象限角，则/二可化简为()V 1 + cos 6 1 - cos 622A. 2tan。B. C. -2tan6D. -tan 0tan 0D根据同角三角函数的关系化简可求出.e为第二象限角，.sine。，11 - cos 0+ cos6V 1 + cos 山-cos 6I (l-cos)- I(1 + cos 6)-(1 + cos

8、)(1- cos 0) 4(1-cos 8)(1 +cos 6)_ /(I-cos7:+ cosey_|l - cose| |l+cos8|=V si/e- -V sin2忖 n8|sin 01 - cos 0 1+cosC2cos。 2一=.故选:D.sin®singsin。tangx°_3 x > 08.已知函致x)= .； 一八，若函数y=/(f(x)-左有3个不同的零点，则实数攵的取值 一 x + l,x<0范围是()A. (1,4)B. (1,4C. 1,4)D. 1,4B先求出)，= /(/")的解析式，画出函数图象，根据> = /(

9、/()和y = %有3个不同的交点可 得出.当x<0时，/(%)>0,则/(/(x) = /(-x + 1) = (-x+1)2_3 = W_2x_2,:与 0$ xv G时，/(x)<0，则/(/(x) = /-3)= -12-3)+ 1 = -r+4,当地/时，/(x)>0, /(/(x) = /(x2-3)= (x2-3)2-3 = x4-6x2+6,x2 -2x-2,x < 0/(/(X) = < 7 +4,0< A < ,X4 -6x2 +6,X>y/3当xzVJ时.，y = x4-6x2+6 = (x2-3)2-3,1 .1 =

10、 /一3单调递增，且年0,此时)，=/一3单调递增，2 y =(i3一3 在)单调递增，ymin = -3 ,画出函数图象，函数y = /(x)-k有3个不同的零点，等价于丁 = /(/(")和)' =攵有3个不同的交点，则观察图象可得，lv%<4.故选：B.本题考查根据函数零点个数求参数范围，解题的关键是将其转化为> =/(/。)和丁 =攵有3个 不同的交点，数形结合求出.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.9.已知罂函数/（x）的图象经过点（工8

11、）.则（）A. “X）的定义域为0,）B, “X）的值域为（）,一）C. “X）是偶函数D. /（"的单调增区间为0,一）ABD先求出塞函数的解析式，再根据解析式判断各项的正误.因 /（x）为塞函数，故/（工）=/，所以3。=6，故。=J， 乙故 f（X）= «，所以函数的定义域为0，一）,值域为0，）,单调增区间为9一），且力不是偶函数，故选：ABD.10.为了得到函数y = cos12x + f）的图象，只要把函数），=cosx图象上所有的点（）（4JA.向左平移工个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍 4 7T1B.向左平移7个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍 42C

12、.横坐标变为原来的;倍，再向左平移£个单位长度 幺8171D,横坐标变为原来的可倍，再向左平移二个单位长度 24BC由题意利用三角函数的图象变换规律，得出结论.要得到函数）=cos（2x + ?）的图象，可将），=cosx的图象上所有点向左平移£个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的1,纵坐标不变而得到.也可将），=cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的;，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移£个单位长度而得.故选：BC.8易错点：y=Acos（3i+（p）（30）的图像是由y=Acos（o）x）（3>0）向左平移？个单位长度而得的,

13、co而不是向左平移。个单位长度.11.已知实数a, b, c满足0<4 vl vvc,则（）A. ba <caB. log/," > log" C. yfa < i/ciD. sin/?< sineAC根据寡函数，对数函数，指数函数，正弦函数的性质判断.*： <a<<b<c由y = x"在（0,2）上是增函数知A正确；由对数函数性质y = 是减函数，0>log/2>loga。为，瓦，<弓 ,即log/<log,4, log。， 2g。cB错；由y = M是减函数得也,C正确；由于Ac不一

14、定在,v = sinx的单调增区间内，不能比较singinc的大小，因此sin<sinc错误，D错；故选：AC.关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题时需对各个选项分别进行判断，需要掌握幕函数、 指数函数、对数函数、正弦定理的性质.解题时，对数式中两个对数的底不相同，可考虑同底 的对数同，因此利用换底公式及不等式的性质进行判断，正弦函数在整个定义域上不单调，它 是周期函数，增区间是一个一个的，因此由<c不能轻易地得出sin<sinc.12 .高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为

15、：设xeR,用卜表示不超过x 的最大整数，则产可称为高斯函数，例如一21=一3, 2.1 = 2.已知函数/（刈=国明+卜inx|,函数 g(x) = /(x),则()A.函数g（x）的值域是0,1,2B,函数g（x）是周期函数C.函数g(x)的图象关于x = 9对称D.方程送(')='只有一个实数根AD先研究函数的奇偶性，作出函数"X)的图象，作出函数g(幻的图象判断选项ABC的正确性，再分类讨论判断方程9送(刈=工的根的个数得解.由题得函数x) = sEW+卜inx|的定义域为R,f (-%) = sin 卜目 + |sin(-x)| = sin I x I +1

16、 sin x 1= f(x),所以函数f(x)为偶函数，当 0 V xW万时，f (x) = sin x+sin x = 2sin x ；当；rvx<2;r时，/(x) = sinx-sinx = O；当24工43/时，/(x) = sinx+sinx = 2sinx；所以函数"X)的图象如图所示,所以函数g«的图象如图所示,所以函数g(x)的值域是0,1,2,故选项A正确;由函数g(x)的图象得到g(x)不是周期函数，g(x+/r) = "(x + ;r) =故选项 B 不正确；由函数g(x)的图象得到函数g(x)的图象不关于X对称，故选项C不正确；对于方

17、程gg(x) = x,当且(幻=0时-，x = o,方程有一个实数根；当以外=1时，*,此时抵§ = 2/1,此时方程没有实数根；当g(幻=2时-，x = ，此时g(m = 0w2,此时方程没有实数根； 故方程g-g(x) = x只有一个实数根，故选项D正确.故选：AD 关键点睛：解答本题的关键是能准确作出函数/*)，g(x)的图象，研究函数的问题，经常要利 用数形结合的思想分析解答.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .函数/(x) = Jx-1 +lg(2-x)的定义域是.1，2)x 1 2 0r试题分析：要使函数有意义，需满足2_x>0，1«x

18、<2,所以函数定义域为1,2) 考点：函数定义域1 1 22)14.关于x的方程sinx+x3 = 0的唯一解在区间攵-不攵+力伏仁工)内，则攵的值为由题意转化为函数/(x) = sinx + x-3在区间攵-尸+会(攵")内有唯一零点，求导得15由函数的零点存在定理/(x) = cosx+l>0,从而在R上递增，且2)<0, f可得结果.由题意得，关于a-方程sini+x-3 = 0的唯一解转化为函数/(M = sinx + x_3在区间孑次+不(AeZ)内有唯一零点, 乙乙)v/(x) = cosx+l>0,./(外在R上递增,由 /(2) = sin2

19、+ 2-3 = sin2-l <0, 且/ | = sin + - 3>sin + - - 3 = - 2 72 26225、由函数的零点存在定理可得力在2,-上有唯一的零点, 乙）11又因为方程sinx+13 = 0的唯一解在区间女-不次+彳ReZ）内，所以 =2.故答案：2关键点点睛：方程sinx+x-3 = 0的解转化为函数x） = sinx + x-3的零点问题，求导得“力的 单调性，再结合函数的零点存在定理.15.已知m 为正实数，且出?+。+3。= 9,则+3/?的最小值为.6利用基本不等式得出4 +弘的不等式，解之可得 + 的最小值.V a >0,/>&g

20、t;0 ,9 = ab + a + 3b = a-3b + （a + 3b） < -（a + 3）* + （。+ 3Z?）.（4 + 36 + 18）（4 + 3/7-6）20, ：.a+3b>6,当且仅当。= 3，即。=3/=1 时等号成立，故答案为：6.方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，解题方法是用基本不等式得出关于。+ 3的不等 式，然后通过解不等式得出结论.不是直接由基本不等式得最小值，解题时也要注意基本不等 式成立的条件.即最小值能否取到.16.当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经 过5730年衰减为原来的一半，这个时间称

21、为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为4按 照上述变化规律，生物体内碳14含量），与死亡年数x的函数关系式是,考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%,则可 以推测该生物的死亡时间距今约 年.（参考数据：怆2%0.3）（1）. y = （f3°；（2）. 3883根据指数函数模型得出函数关系式，然后由= 62.5%计算X.设1年后碳14含量为原来的。倍，则“切。=:，a一品=皿。-4 =卡-4 =备一4, 2883. X故答案为：y = fl； 3883.四、解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算

22、步骤.17.在条件：® smA= 1. 4sin2 A = 4cosA + l;sin AcosAtan A =（中任选一个,3sinA + 4cosA 72补充在下面的问题中，并求解.已知角A为锐角，.（1）求角A的大小；(2)求sin(4 + A)cos(2021乃 < 2（注：如果选择多个条件分别解答，按笫一个解答计分）（1）见解析；（2）见解析.（1）利用同角的三角函数的基本关系式可求A的三角函数值，从而得到角4的大小.（2）利用诱导公式可求三角函数式的值.若选，八、.2sinA - cosA1一,门.(1)由丁一;一:7 = ;?可得$1114 = 8§4，

23、3sin A +4cos A 7因为4为锐角，故人=£.4./ A (202 Izr . . . . 2 a 1(2) sin(/r + A)cos1-AJ = -smAsinA = -sm A =-.若选，(1)由 4sin2 A = 4cosA + l ,故4cos° A + 4cos A-3 = 0 ,1 、3故 cos A = 或 cos A =(舍)，2 2因为A为锐角，故A = g.(2) sin(4+ A)cos202br20-A | = - sin A sin A = - sin2 A =-J4若选，(1)由 sin Acos AtanA = !可得 sin

24、2 A =1,因为 4 为锐角，故 sin A =受， 222故 a = £. 4. /. x (2021/r a . . . -> .1(2) sin(7r + A)cos| A ! = -sinAsin/l = -sin- A = -.方法点睛：(1)利用同角的三角函数基本关系式化简时，常见的方法有弦切互化法、“1的代 换”等，注意根据三角函数式的特征选择合适的方法.(2)使用诱导公式化简三角函数式，注意函数名是否改变，三角函数式的符号是否改变.18.已知集合4 = 巾2-21一3<0 , 8 =卜|打一4<1.(1)当” =3时，求AU8；(2)设:xeA,

25、q.xeB,若是9的必要不充分条件，求实数。的取值范围.(1) x-l<x<4； (2) 0,2(1)化简集合48,根据并集运算即可； 1 > 1(2)根据命题的关系转化为8$ A ,得到，化简即可.于a+<3解：集合A,3化简得A = x| - lvxv3, 8 = x|一lvxva + 1(1)当a = 3时; B = x2<x<4,所以 A = 8 = x| -1 v x v 3 . ,v|2 v x < 4=国 一 1 v x v 4(2)因为是4的必要不充分条件，所以8段A,a IN1所以=( 验证当。=0,2时满足34,a + <3

26、a <2工所以实数。取值范围为【。.根据充分、必要条件求参数范围的方法:（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解;（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时, 不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.19.已知函数/(x) = 4sin(+夕）A >0>0,附<3的图象经过点乙其最大值与最小值的差为4,且相邻两个零点之间的距离为(1)(2)求/（x）在0,可上的单调增区间.(1)/3 = 2

27、sini 2x + I 627rT,7r(1)得。，然后由函数“X）的图象经过点恪，有11Z/,求得函数的解析式.(2)令F 2k亢 < 2xH W 2k冗H ,k eZ,结合工40,可，利用正弦函数的性质求解.根据函数/（M最大值与最小值的差为4,求得A,再由相邻两个零点之间的距离为求（1）因为函数“X）最大值与最小值的差为4,所以4=2, 又相邻两个零点之间的距离%.所以丁 =4，所以 6? = -= 2 ,所以 / (1)=2sin (2x+cp),乂函数/"）的图象经过点11 z所以/3 = 2sin 2x- +(p =W, B|J sin12乃/升以+。= 2k 7T

28、 4L文+。= 2k 71 +,6363解得8 = 2k九+ 7或。=2k九+ , o2又囤<9,所以 O所以/(x) = 2sin(2x + *(2)令一巳+ 2%万42工+工424乃+2次eZ ,262解得一2+江+工, eZ ,36因为 xw0,;r|,所以。或f4入«花， 63所以“力在0,句上的单调增区间是。,J y,7i .方法点睛：1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成尸AsinQx+9)3>0)的形式.2k2 .函数尸Asin(cox+夕)和y=Acos(cox+9)的最小正周期为7 =时,y=tan(”+9)的最小正周期为扁3 .对于函数的性质(定义域、

29、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令f=5十夕，将其转化为研的性质.20.已知定义在R上的函数x) = 2、+ k 2r (k g R).(1)若力是奇函数，求函数y = /(x) + /(2x)的零点；(2)是否存在实数攵，使/(x)在(,-1)上单调递减且在(2,y)上单调递增？若存在，求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由.x =。；存在，六心6理由见解析.(1)利用特殊值求得人得到/(x) = 2-2-x,再令)，= f(x) + 2x) = 0,可求得零点;(2)对k讨论，当女<0时不符合题意，当>0时，令/ = 2'«>0),则g

30、«) = / + h；,利用g(/) 的图象找到单调性的分界线，让其在：，4范围可得答案.(1)因为/(X)是定义在R上的奇函数，所以/(0) = 2°+匕2°=。，即攵=一1,所以/(外=2,-2-，”t) = 2-x2'=/(力，即满足函数为奇函数，令'=/(x) + /()= 2' -2-、+ 22、_*= 0,整理得2-*白=审,所以(1 + 2、)卜一击卜0,因为 1 + 2、 0,所以 2' - -27 = 0,即 x = 0,函数y = x) + /(2x)的零点为x = 0.(2)存在，理由如下：当女0时，由于)，=

31、h2-、=人1是增函数，所以/(x) = 2'+h2-、是增函数，不符合题意；当 =0时，x) = 2,是增函数，不符合题意;当女 0 时，令，=2，(/0),则 g(f) = / + kj,因为/W在(口，-1)上单调递减且在(2,)上单调递增，所以g在/84,)上单调递增，在/。,J)上单调递减， 乙)所以g(f)的图象形如对勾，而g(/)=1+ k标2回：=2，当且仅当/ =人；等号成立，即/ = «是单调性 分界线，所以解得?攵16, 24所以存在实数攵，且 4方法点睛：本题考查了奇偶性的应用，利用函数的单调区间研究参数的取值范围，第二问的关 键点是对勾函数的单调性是

32、以取得最值时的X为分界线的，考查了分析问题、解决问题的能力.21.经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量。(单位：L)、百公里耗油量W (单位：L) 与速度y (单位：knVh ) (40<v<120)的数据关系如下表：406090100120Q5.268.3251015.6W139.25为描述。与的关系，现有以下三种模型供选择：。(口) = 05'+，。")=即+。，Q(v) = avy +bv +cv.(1)请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析 式；(2)已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，

33、车速范围分别 60,90), 90,110), 110,120(单位:km/h).问:该型号汽车应在哪个车道以什么速度行 驶时W最小？(1)填表见解析，选第三种函数模型，Q") = 0.000025J0.0041,2251，； (2)在外侧车道 以80km/h行驶时W最小.(1)根据分析可得出第三种模型最符合实际，代入三组值即可求出解析式：(2)可得W=W2xQ = O.OO25dO.4u + 25,根据二次函数性质可求出最值.(1)填表如下:V406090100120Q5.268.3251015.6W13109.251013由题可得符合的函数模型需满足在404PW120时口都可取，

34、三种模型都满足，且该函数模型应为增函数，故第一种函数模型不符合，若选择第二种模型，代入(4052),(60,6)得产：，解得 = 0.04/= 3.6 , o = bUa + b则Q(u) = 0.04y + 3.6,此时Q(90) = 7.2, 0(100) = 7.6, 0(120) = 8.4,与实际数据相差较大,故笫二种不符合；经观察，笫三种函数模型最符合实际，代入(40,5.2),(60,6),(100,10),a x 403 +/?x402 +cx40 = 5.2Jjllj<6/x603 + Z;x602 + cx60 = 6,解得a = 0.000025,b = -0.004,c = 0.25 ,6/xlOO3+/?xlOO2+cxlOO = lO ./. 2(v) = O.OOOO25v3 -0.004v2+0.25v ；(2) ; W = xQ = 0.0025v2-0.4v + 25 = 0.0025(v-80)- +9 ,当n = 80时，W取得最小值为9,所以该型号汽车应在外侧车道以80km/h行驶时W最小.本题考查函数模型的应用，解题的关键是正确分析题意，考查学生计算能力.22.已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为R和。.若满足对任意2,恰好存在个不同的