江苏省南京市九中2020-2021学年高一第二学期期中学情调研数学试题答案和解析

1、江苏省南京市九中【最新】高一第二学期期中学情调研数学试题学校:姓名：班级：考号：一、填空题1 . siii 585° 的值为.2 .函数/(x) = 2s？ 3x+2的最小正周期丁二.I 6)3 .已知等差数列%中，若生+。“ = 22,则的 =.4 .函数/(x) = JTsinx + sin在X£R上的最小值等于.5 .己知 34=2、则 suf 夕+sm 0 cos 夕一2 cos* 2 0 =-6 .若关于x的不等式2f3x+a<0的解集为(?,D,则实数? =.7 .不等式|2x1卜卜一2|<0的解集为.8 .公差不为零的等差数列“的前项和为S”若应是

2、。3与%的等比中项，S§=32, 则 Ho =.9 .等比数列%的前项和为S“，且4%, 2生，%成等差数列，若可=1，则10.己知函数/(工)=£,(工£一2,2)g(x) = a1 sin(2x+2) + 3o,xw 0, , 62试卷第3页，总3页VX£2,2,总羽£ 0,y ,使得g(%) = /a)成立，则实数。的取值范围是 G N*，则数列也的通项公式乩p2'3x,y g R,sin(x- y) = sinx-siny ； pj Vxg 0,句,/1-cs2a = sinx ； p4: sinx = cosy =>x+

3、y =,其中假命题的个数是，且13 .在锐角A43C中，BC=L 5=2A，则AC的取值范围为.14 .已知函数/(x) = sim,+tanx.项数为31的等差数列也)满足£公差d手。,若/(q对(4)+。(见1尸0,则当 =时，/(4) = 0 二、解答题315.己知sina = g,且。为第二象限角，计算：( 知)(1) COS a-； I 4 J,、.，a siii 4a cos 2a(2) sur +.21 + cos4a16 .己知等差数列%中，首项4 = 1,公差d为整数,且满足q + 3 < %，%+ 5 > %,数列4满足。=,且其前项和为S”.% 4+

4、1(1)求数列”的通项公式：(2 )若邑为S|,S,“(7£N)的等比中项，求正整数7的值.17 .如图，A B, C,。都在同一个与水平面垂直的平面内，B,。为两岛上的两座 灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得3点和。点的仰角分别为75。，30。，于水面C处 测得8点和。点的仰角均为60。，AC = 0.1k试探究图中8。间距离与另外哪两点 间距离相等，然后求8。的距离(计算结果用根号表示)18 .在数列%中，4=1,%+=(1 +)与+ *(I)设“斗，求数列也的通项公式(II)求数列q的前项和s“19 . AA6C中，A 5, C, C所对的边分别为，b, c,- sin A +

5、sin B . zr> . 厂tan C =. sui(d - A) = cos C.cos A + cos 6(1)求A, C；(2)若5乂,=3 + 石，求，c .20.设数列qj的通项公式为” = p + q(£N", P>0).数列也定义如下：对 于正整数团，b,n是使得不等式为之m成立的所有中的最小值.(1)若 p = ,4=一(,求”； 乙J(2)若p = 2, q = -l,求数列也J的前2帆项和公式；(3)是否存在和9,使得d=3次+2(7eN")?如果存在，求和q的取值范围； 如果不存在，请说明理由.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使

6、用，答案仅供参考。参考答案答案第5页，总11页【分析】 利用三角函数诱导公式sin(c + 2i) = sin。和sin(7+a) =-sin。把大角化为小角，进而求值即可.【详解】sin585' = sin(360 +225 ) = sin225, = sm(l800+45 ) = -sin45° =乎.【点睛】 本题考察利用三角函数诱导公式化简求值.27r2, T【解析】【分析】由解析式找出力的值，代入周期公式：T =2"，求函数最小正周期。【详解】 由/(x) = 2s加+ 可知©=3,所以周期丁 二三.k 6 J3【点睛】本题主要考察三角函数的周期

7、，形如/(x) = Asin(5+e)的周期公式为：T=" 网3. 11【解析】【分析】利用等差数列通项公式，把生，用生和d表示，进而可得出火的值.【详解】 % +。11 = 22q+ 2d + q+ 10d = 22 ,即q + 6d = ll：【点睛】 本题主要考察等差数列通项公式牝=q + (- l)d的应用.4. 一2【解析】【分析】先利用sm(x+y) = cosx化简函数解析式，再把函数转化成f(x) = Asin(5+ (p)的形式, 乙进而求最小值。【详解】71,/ f (x) = >/3 siiix + sin + x(2=5/3 sin x + cos x

8、= 2 sin(x + 令当siii*+§) = -l时，取得最小值-2.6【点睛】 本题主要考察三角函数的最值问题。涉及三角函数性质问题，需先利用转化公式:BAsma + Bcosa = >JA2 + B2 sin(a +(p) (MH1 tan = ), zi把函数化成形如/(x) = 4sm(s+0)的形式，从而求三角函数的性质.45.-5【解析】 由题意可得:sm2 0+sin 0 cos 8 - 2 cos2 0 sin2 6 + sin0cos6-2cos2 0 sm2 8+cos? 0_ tan2 夕 + tan。-2tan2 6+1_45点睛：熟记同角三角函数关

9、系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题;注意公式的变形应用，如 shra=lcos2«f cos七=1sin%, l=sin%+cosb及 sma=tanCCOSG等.这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在.16.-2【分析】由不等式2.F - 3x+a<0的解集为(小，1)可知：x=m, x=l是方程2x2 - 3%+a=0的两根.根 据韦达定理便可分别求出w和。的值.【详解】由题意得：1为2/3工+。= 0的根，所以从而- 3x+ 1<0=>-<%<1=>7；7 =22故答案为L2【点睛】本题考查一元二次不等式的解法

10、，属于基础题.7. (-U)【详解】解：因为 12x1卜,一2Ko <>|2x12 (2x1) <(x2)<=> 3x2 < 3 <=> -1 < x < 18. 60【分析】由%是生与%的等比中项可得用=4/，且1=32,代入等差数列的通项公式及前项和公式，联立方程求出可,d,从而求出So的值.【详解】设等差数列公差为或4=0).由=a3a丁 得回 + 3d4=(4 + 2d)(q + 6d)由 S8=32 得 8q + 28d = 32因为dwO,联立上述两方程，解得q=-3,1 = 210x9所以 510 = 104+ d =

11、10x(3) + 45x2 = 60.【点睛】本题主要考察等差数列的通项公式及前项和公式的灵活应用，利用条件建立方程组求出等差数列的关键数字为和d,即可解决等差数列的相关问题.9. 15.【解析】,1-24由题意得 4%=4q + %=> 4q = 4 + q? => q = 2 /. S4 = 151 210. (-oo,-4U6,+8)【分析】先求出函数"')与g(x)的值域，然后再由2,2, 3x0e 0,g ,使得g(xo) = /(xj成立，可知函数/(M的值域是g(M的值域的子集，即0,4 q g / + 3凡/ + 30，进而建立不等关系求a的取值范

12、围即可. 【详解】 x£2,2,/(X)=0,4乃 乃 c 4 7万1. 万 xe 0,万，A-<2x+-< , .-<sm(2x+-)<l:.g(x)g-a2 + 3a,cr + 3a要使VXW2,2,总0,y ,使得g(xo) = /(xj成立，则需满足：0,4口gcJ+34,42 + 34-a2 + 3a <0工彳2,解得w4或。26a2 +> 4，。的取值范围是(一应-436,十8).【点睛】本题是一道综合性较强的题目，主要考察二次函数、三角函数在给定区间内的值域与建立不等关系求未知数的范围.在求函数的值域时注意利用数形结合方法进行分析.1

13、1. 2n+1【解析】由条件得£+1=%工 =?=2 4工 =24,且4 = 4,所以数列也是首项为 2_1%-1%4,公比为2的等比数列，则”=4-2"T = 2"M.12. Pi，p“【分析】对给出的四个命题分别进行分析、判断后可得假命题.【详解】rr对于命题R，由于对任意以WR，sin2-+cos2- = b所以R是假命题：对于命题R，例如：当f时，sin（xy） =sin xsin y=0,所以R是真命题；对于命题R,因为对任意x£0，n, sin x20,所以卢孚三.su卜sin J所以n是真命题；对于命题R,例如：sin = cos ,但工+

14、），=四+三工2,所以r是假命题. 63632综上可得为假命题.故答案为P1,P【点睛】解题时注意以下几点：（1）分清判断的是全称命题的真假还是特称命题的真假；（2）解题时注意判断方法的选择，如合理运用特例可使得问题的解决简单易行.13. （衣©【解析】解：在锐角 ABC 中，BC=1, ZB=2ZA, ：.7i +2 V3AV兀，且 0V2AV兀+ 2 ,故兀+6 VAV71+ 4 ，故 <cosA< .由正弦定理可得 1： suiA =" b" ： siii2A ,22b=2cosA, y/2 <b< yfi .14. 16【分析】先分

15、析函数/(x) = sim/+tan¥的性质，可发现/(x)为奇函数，再根据奇函数的对称性及等差数列的性质，可知要使/(尸/(%)+尸0，则可得/()+ /(。31) = 2/(6)=。，因此即可求出h【详解】f(x) = sinx+tanx, /. f(-x) = sin(-x) + taii(-x) = - sin x-tanx = -f(x)函数AM为奇函数：/(x)的图像关于原点对称< 乃 乃、。”是项数为31的等差数列，且公差NN/当/(4讨(。2)+旬尸。时，/(46)= °，即2 = 16 .【点睛】本题主要考察函数的性质及等差数列的性质.函数的奇偶性的

16、判断可根据以卜.几步：一是先 看定义域是否关于原点对称；二看关系，即是否满足/(x) = /(x)或/(x) = /(X)；三 是下结论，若满足上述关系，则可得函数为偶函数或奇函数.15. (1) -； (2) -.1050【分析】(1)先利用同角基本关系式求出cosa,再利用两角差余弦公式展开求解即可；(2)利用倍角公式先化简上式，化成sina,cosa表示，再代入求值.【详解】3(1)V smez = -,且。为第二象限角,本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。，cos a = ->/l-silica =- 5./ 不、717t coster) = cos a cos

17、+ sin asm =4444、应一应.品/X 十A -10.、a sin 4a cos 2a(2) sm- +21 +cos 4a1 - cos a 2 sin 2a cos2 2aH2 cos2 2a1-cosa . c 1-cosa .+ sm 2a =+ 2 sin a cos a29 c 3=+ 2x-x105【点睛】本题主要考察三角函数的同角基本关系式，两角和差公式及倍角公式，及利用已学公式进行化简求值的问题.16. (1)= 2/7-1； (2) 7/7 = 12【分析】（1）根据等差数列通项公式和题目所给不等式列不等式组，结合d为整数求得公差d的值,进而求得数列“的通项公式.（

18、2）利用裂项求和法求得S，然后根据邑为N"）的等比中项列方程，解方程求得7的值.【详解】（1）由题意，得4i+3<q+2d,35q+"5邮+ 3d解%(八5.又公Z，" = 2.cin -1 + (/7 - 2) 2 = 2/7 1.(2 -1)(2 + 1) -2(2 -1 . 2 + 1)，*- S“ = ；Q_g) + d)+ + (27?-1 272+ 12 +1)=六=沁=上，邑为的等比中项, S； = s"品即修£ 相 3 2/h + I解得2 = 12.答案第9页，总11页【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查等差

19、数列的通项公式，考查裂项求和法，考查 等比中项的性质，属于中档题.17. B, D间距离与A,B两点间距离相等，BD/0&km20【分析】先求NAOC与4CQ,进而可发现CB是AC40底边A3的中垂线，所以8。=胡；而 要求80，可利用正弦定理在zXABC中求84即可.【详解】在 A45C 中，ZQ4C=30°, ZADC = 60°-ZDAC = 30° ,所以 C3 = AC = 0.1又 ZBCD = 180。 60° - 60° = 60°,故。5是4。4。底边的中垂线，所以加=胡，AB _ ACsin A BCA s

20、in A ABCBn AC sin 6035/2+ >/6即 Ad =，sin 15020因此，bd =若普故B,。的距离约为亚幽心”.20【点睛】本题主要考察解三角形，利用已知条件或所学的正弦定理、余弦定理求出未知的角或边.18. (I) b=2一一 2H-1（£川）/ r /1、 + 2)(H) S, = /7(/7 + l)+ -4【解析】试题分析：解:由己知有&e=”+!. 4+-4二!利用累差迭加即可求出数列4 A3+1 W 22的通项公式a = 2§ (H)由知 = 2M»k K« Jr4=力（2止一药）二 £（2后一

21、£尹 A-1 乙 fc-L反“ /»« r而z<2="附+1），又Z 诉是一个典型的错位相减法模型,A-lJU1 2易喏-法W + D+竽-4考点：数列的通项公式和求和的运用 点评：解决的关键是对于数列的递推关系式的运用，根据迭代法得到通项公式，并结合错位 相减法求和.19. (1) A = 4【详解】(1)因为 taiiC =sinA + shiB nn,即cosA + cqsBC = H a = 2->/2 » c = 25/3sinC _ smA + suiB cosC cosA + cosB所以smCcosA + smCcosB = cosCsmA+cosCshiB .suiCcosA - cosCsmA = cosCsmB - smCcosB, sm(C-A) = sm(5-C).所以CA = 5C,或C人二乃一（5C）（不成立）.一c即2C = A+5,得C = 2,所以6 + A =2.33又因为sin(8 A) = cosC = g ,则8-4 = *,或6-4 =磊(舍去).得a = 2, b = , c=.4123smA smC(2) .S 148c = -cicsinB = " etzc = 3 + 5/3 » 又 28本卷由系统自动生成