傅里叶变换基础知识

1、1 / 6傅里叶变换基础知识1傅里叶级数展开最简单有最常用的信号是 谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线 性叠加而成。1.1 周期信号的傅里叶级数在有限区间上，任何周期信号x(t)只要满足狄利克雷(dirichlet )条件，都可以展开成傅里叶级数。1.1.1 狄利克雷(dirichlet)条件狄利克雷(dirichlet )条件为：(1) 信号 x(t)在一个周期内只有有限个第一类间断点(当 点时，函数有左极限值和右极限值)；(2) 信号 x(t)在一周期内只有有限个极大值和极小值；:x(t) d

2、t应为有限值。1.1.2 间断点在非连续函数y f(x)中某点处 xo处有中断现象，那么，X。就称为函数的不连续点。(1) 第一类间断点(有限型间断点)：a. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数 在该点无定义(X。令分母为零时等情况)；b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等( 情况)。(2) 第二类间断点：除第一类间断点的间断点。1.1.3 傅里叶级数三角函数表达式傅里叶级数三角函数表达式为x(t) ao(ancosnot 0 sinnot)n 1式中：ao为信号的常值分量；an为信号的余弦信号幅值；bn为信号的正弦信号幅值。ao、an、

3、bn分别表示为：式中：信号的幅值 A 和初相位n分别为,a：b：t 从左或右趋向于这个间断(3)信号在一个周期内是绝对可积分的，即y x/x在点x o处等aoanbn丄To2To2ToT0/2To/2x(t)dtT0/2x(t) cosnT0/2To/2x(t)sin nT0/2otdtotdt式中：To为信号的周期；o为信号的基频,合并同频项也可表示为即角频率,o2 /To，n 1,2,3。x(t) a0A, cos(notn)n 12 / 6arctan( bn/ an)3 / 6an将bn2TO2T/2x(t)cos n10 12T)/2T /2x(t)sin notdt代入 Cnotd

4、tanjbn,则 Cn-：x(t)ejn otdtTo-o在一般情况下 Cn是复数,可以写成 CnCnRjCmCnej式中Cnn由CnCnRjCnICnejn, Cnanjbn, Cnjbn可表示为1.1.4 频谱的相关概念（1）信号的频谱（三角频谱）：构成信号的各频率分量的集合,随频率的变化关系，即信号的结构，是代 （或Anf）和n（或nf）的统称；（2） 信号的幅频谱：周期信号幅值 代随（或 f ）的变化关系，用 An（或A f） 表示；（3） 信号的相频谱：周期信号相位n随 （或 f ）的变化关系，用n（或nf ） 表示；（4）信号的频谱分析：对信号进行数学变换，获得频谱的过程；（5）

5、基频：或 fo，各频率成分都是或 fo的整数倍；（6） 基波：或 fo对应的信号；（7 ） n 次谐波：no（n 2,3,.）或 nf（n 2,3,.）的倍频成分 Ancos（ntn）或Acos（2 nfotn）；1.1.5 周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开cos t1（ejtej）根据欧拉公式 eJ tcos t jsin t（j ），贝 y2sin t - j（ej tej t）2x(t) Cnejn otn 0, 1, 2,n这就是周期信号的傅里叶复指数形式的表达式。表征信号的幅值和相位ancos nt bnsinnt 可改写成x(t) aoann 1jbnjne2otanjbnej

6、not2令CoaoCn12anjbnCn1 an2jbn则x(t) CoCnejn otCnejnotCnejnotCnejnn 1n 1n on 1或Cnejn ot1因此，傅里叶级数三角函数表达式x(t) an 1arctanCnICnR4 / 61.1.6 傅里叶级数的复指数与三角函数展开关系1.由 Cn anjbn，CnCnRjCnI4可知:2CnRan/ 2CnIbn/ 2C由narctan 也，CnRan/2，Cnibn/2 可知:CnRCn1212ananjbnjbnCnejn则 X(t)nCnejn0, 1,2,变为notnCoejnot nCoejjnotCnen 1Cnej

7、n1周期信号用复指数形式展开，相当于在复平面内用一系列旋转矢量来描述，但是，负频率的出现，仅仅是数学推导的结果，并无实际物理意义。x(t)Co由此可见, Coejnot n综合A.a：b2，Cn. C：RC：I表示为Cn1：CnRCnIan/22bn/ 2An/2即双边频谱的幅值Cn是单边频谱幅值A的一半。5 / 6arctan bn/ an三角函数展开表达式复指数展开表达式常值分量a。Co复指数常量Coa。余弦分量幅值an2CnR复数Cn的实部CnRan/ 2正弦分量幅值bn2CnI复数Cn的虚部CnIbn/2振幅An2|Cn|复数Cn的模|Cn|A /2相位arctan b / anfy

8、n相位arctan b /anf y n2傅里叶变换出准周期函数之外的非周期信号称为一般周期信号，也就是瞬态信号。瞬态信号具有瞬变性，例如锤子敲击力的变化、承载缆绳断裂的应力变化、 热电偶插入加热的液体中温度的变化过程等信号均属于瞬态信号。瞬态信号是非周期信号，可以看作一个周期的周期信号， 即周期T。因此，可以把瞬态信号看作周期趋于无穷大的周期信号。6 / 62.1 傅里叶变换设有一周期信号 xt,则其在 T/2,T/2 区间内的傅里叶级数的复指数形式的表达式 为x(t)nCnejn 0t，式中Cn丄丄T0时，积分区间T/2,T/21T0/2T0/2x(t)ejn0tdt当 To谱线间隔02

9、/T。d ，离散频率 n0连续变量，所以 Cn T0T0/2.T0/2x(t)e jntdt 变为lim CnT0 x(t)eT0该式积分后将是的函数，且一般为复数，用X表示为tdtX j式中：X j 称为信号 x(t)的傅里叶积分变换或简称傅里叶变换( 是把非周期信号看成周期趋于无穷大的周期信号来处理的，显然X jJim CnT0陋学陋学为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度”的含义，故把，或简称“频谱函数”。lim 久得f 0fFouier Transform， FT)，即 X j谱密度函数”T0mCnT0CnimT0lim X j0j 称为瞬态信号的频代入 x(t)Cnejn当 T0时,/T

10、。dlim Xn0离散频率 n_0ejn0t20连续变量，求和 积分。则x t 称为12-X j的傅里叶逆变换或反变换(In verse Fourier Tran sform ， IFT)。tdt 和 xj tX j ejd构成了傅立叶变换对FTx t X jIFTFT般地，使用或IFT表示信号之间的傅立叶变换及其逆变换之间的关系。由于2 f，所以 Xx t ej tdt 和 x t1. tX j ej td 可变为27 / 68 / 6X jf x t ej2 ftdtx t X jf ej2 ftdf这就避免了在傅里叶变换中出现1/2的常数因子，使公式形式简化。由式 X jf x t ej

11、2 ftdt 可知，非周期信号能够用傅里叶函数来表示，。而周期信号可由傅里叶级数 x（t）Cnejn0t来表示。X jf x t ej2 ftdt 是一般复数形式，可表示n为X jf ReX jf jImX jf X jf ej f式中：ReX jf 为 X jf 的实部；ImX jf 为 X jf 的虚部；|X jf 为信号 x t 的连续 幅频谱；jf 为信号 x t 的连续相频谱。f22X jf Q ReX jf Im X jff arctan Im X jf / Re X jf比较周期信号和非周期信号的频谱可知：首先，非周期信号幅值|X jf |随 f 变化时连续的，即为连续频谱，而周期信号的幅值 Cn随 f 变化时离散的，即为离散频谱。其次，Cn的量纲和信号幅值的量纲一致，而X jf 的量纲相当于 Cn/ f，为单位频宽上的幅值，即为“频谱密度函数”。2.2 傅里叶变换的主要性质一个信号可以进行时域描述和频域描述。两种描述通过傅里叶变换来确立彼此一一对应的关系，因此，熟悉傅里叶变换的一些主要性质十分必要。性质时域频域函数的奇偶虚实性实偶函数实偶函数实奇函数虚奇函数虚偶函数实偶函数虚奇函数实奇函数线性叠加ax t by taX jfbY jf对称X jtX f续尺度改变x kt丄X j丄|k|jk时移x t toX f ej2