一元二次方程根地分布

1、实用标准文档一元二次方程根的分布一.知识要点二次方程ax2 +bx + c=0的根从几何意义上来说就是抛物线y =ax2 +bx + c与x轴交点的横坐标, 所以研究方程ax2 +bx+c=0的实根的情况,可从 y =ax2+bx + c的图象上进行研究.假设在_QO,也内研究方程ax2 +bx+c =0的实根情况,只需考察函数 y = ax2+bx十c与x轴交点个数 及交点横坐标的符号,根据判别式以及韦达定理,由 y =ax2+bx+c的系数可判断出 A, x1 + x2, x1x2的符 号,从而判断出实根的情况.假设在区间m, n内研究二次方程ax2 +bx+c=0,那么需由二次函数图象与

2、区间关系来确定.表一：两根与0的大小比拟即根的正负情况分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0,x1 ： 0, x2 : 0x10, x200 x1 : 0 ：x2得出的结论.0f 0 0得出的结论IL"0b 八0 2af 0 0综合结论不讨论aL 02a a f 00L 0-A <02aa f 00文案大全实用标准文档表二：两根与k的大小比拟分布情况两根都小于k即两根都大于k即一个根小于k , 一个大于k即x1 : k, x2 : kx1 k, x2 kx1 ： k : x2得出的结论f k ：二 00>Q得出的结论-b 二 k2a

3、f k <0 >0-b k2af k <0综合结论1不讨论a 下0A>0b b一<kJ一> k1 2a2aa f (k 户0a f (k )>0a f k ： 0文案大全实用标准文档表三：根在区间上的分布分布情况两根都在m, n R两根有且仅有一根在 m, n 内图象有两种情况,只画了一种一根在m, n内,另一根在p,q 内, m ： n ： p : q得出的结论f n 0bm << n2ay得出的结论A>0f (m )<0f n <0bm < 一 < n2af m f n ： 0f m),0f(n)<0

4、 或 lf(m)f(n)<0f p < 0 f p f q < 0f q 0f m f n ： 0f (m )< 0f(n)0I f(m)f(n)<04或Wf(p)>0f(p)f(q)<0,f (q )<0综合结论1不讨论af m f n =： 0f m f n ： 0 !f p f q 二 0文案大全实用标准文档根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m, n悭卜,即在区间两侧x1c m, x2 A n ,(图形分别如下)需满足的条件是对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：(1)两根有且仅有一根在 (m, n )内有以下特殊情况：1&#

5、176;假设f (m )=0或f (n )=0,那么此时f (m f (n )<0不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n ,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间(m,n )内,从而可以求出参数的值.如方程2mx (m+2)x+2=0 在区间(1 ,) 3t 有一根,由于 f(1)=0 ,所以2 一 一一 2,2 一 一 2 一 一m x( m 2X 汽1x -),另自卞及一,由1父一<3得一 <m<2即为所求； m m 32°方程有且只有一根,且这个根在区间(m,n )内,即A=0,此时由A=0可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相

6、应的根,检验根是否在给定的区间内,如假设不在,舍去相应的参数.如方程x2 4mx+2m+6=0有且一根在区间(3,0)内,求m的取值范围.分析：由f ( 3匕(0 0即15 一. 一一 23(14m +15 ,m + 3 )<0得出 一3 <m <；由 A=0 即 16m - 4(2m + 6 )=0 得出 m= -1 或 m =,33当m = -1时,根x = -2 = ( -3,0 ),即m = -1满足题忌；当 m = 时,根x = 3受(一3,0 ),故m = 不满2215足题思；综上分析,得出 -3<m一-或m = -114文案大全实用标准文档二.例题选讲(1

7、)两个根在实数k的同一侧例1.方程4x2 +2(m _1)x + (2m + 3) = 0(m w R)有两个负根,求 m的取值范围.变式1 ：方程2x2-(m+1 )x+m =0有两个不等正实根,求实数 m的取值范围.变式2：二次方程 mx2 +(2m 1)x m+2 =0的两个根都小于1,求m的取值范围.(2)两个根在实数k的异侧例2：二次方程(2m+1 )x2 2mx十(m1 ) = 0有一正根和一负根,求实数 m的取值范围.变式1：二次函数 y =(m+2 )x2(2m+4 )x+ (3m+3x轴有两个交点,一个大于1, 一个小于1,求实数m的取值范围.变式2：求实数m的范围,使关于x

8、的方程x2 +2(m1)x + 2m+6=0.(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小.(2 )有两个实根 a, B ,且满足0<a<1<P<4.(3 )至少有一个正根.文案大全实用标准文档2变式3：如果二次函数 y=mx+(卅3)x+l的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求m的取值范围.(3)在区间(m,n)有且只有一个实根2例3.一次万程 mx十(2m-3 )x+4 = 0只有一个正根且这个根小于1,求实数m的取值范围.变式：关于 x的二次方程x2+2m)+2n+1=0.假设方程有两根,其中一根在区间(一1, 0)内,另一根在区间(1 , 2)内,求m的范

9、围.(4)在区间(m,n)有两个实根例4：关于x的二次方程x2+2mx"2n+1=0.假设方程两根均在区间(0 , 1)内,求m的范围.变式1：方程2x2 - 2(2 a-1) x + a+2=0的两个根在-3与3之间,求a的取值范围.变式2：方程x2 + (3 m1) x + (3 m2)=0的两个根都属于(-3, 3),且其中至少有一个根小于 1,求m 的取值范围.文案大全实用标准文档(5)在区间m,n有实根例5.a是实数,函数 f(x) =2ax2+2x3 a ,如果函数y=f(x)在区间1,1上有零点,求a的取值范围.(6)二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根

10、的情况,在其它的一些场合下也可以适当运用.例6.1 .求函数y =x+1-短石2 (1< x<2)的值域.例6.2 .抛物线y = 2 x2-mxm与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1) 为端点的线段(除去两个端点)有 公共点,求m的取值范围.例6.3 .设关于x的方程4x 2x* b =0(b WR),(1)假设方程有实数解,求实数b的取值范围；(2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解.变式：方程 m,22x +(2m-1) 2x +m=0在(应,1)上有两个根,求 m的取值范围.文案大全实用标准文档三.稳固练习1.二次方程(3m -1)x2+(2m+3)

11、xm+4=0有且只有一个实根属于 (-1, 1),求m的取值范围.2.二次方程(2m +1)x2 2mx + (m1) =0有且只有一个实根属于(1,2),且x = 1, x = 2都不是方程 的根,求m的取值范围.3.二次方程(m1)x2+(3m+4)x+(m+1) =0的两个根都属于(-1, 1),求m的取值范围.4.假设关于x的方程x2+(a-1) x+1=0有两相异实根,且两根均在区间0,2上,求实数a的取值范围.文案大全实用标准文档答案:.例题选讲(1)两个根在实数k的同一侧例1.方程4x2 +2(m-1)x + (2m + 3) = 0(m w R)有两个负根,求 m的取值范围.解

12、：依题意有:二,八2一 一 =4(m 1) -4x4(2m +3)之0,-(m -1) <02m +3 A0变式1 ：方程2x2-(m+1 )x+m =0有两个不等正实根,求实数 m的取值范围.解：由-m 10 - 2L2f 002m 1 -8m 0m5一1m ：二3-2.2或m 3 2,2 _m 00二m ；3-2、.Km . 3 2、2即为所求的范围.变式2：二次方程mx2+(2m1)xm+2 =0的两个根都小于1,求m的取值范围.解一：二次方程两个根都小于1,其充要条件为(1)(2m -1)24m(m -2)二04 mm +(2m -1) -m + 2 >02m -1 .&l

13、t;12m(1)即为8m2 -12m+1之0 ,它的解集是(一二(2)即为m(2m+1)>0,它的解集是(g, _1)U(0,).2(3)的解集是(-二,0)(-, =：).4所以,m的取值范围是(-«,勒37,).24解二：二次方程 mx2+(2m1)xm+2 =0有两个根的充要条件是 之0.设两根为x1,x2,由于x1,x2都小于1,即x1 -1 <0, x2 -1 <0 ,其充要条件为:j(x1 1) +(x2 -1) <0(为-1)(x2 -1)>0文案大全实用标准文档即Xi +X2 -2 <0=X1X2 (xi +X2) +1 >0

14、因此,方程两个根都小于 1的充要条件是:(2m -1)2 4m(m -2) _02m-1m-2 ：:0-m +2,m2m -1以下同解法一(略) 解三：令y =x 1 ,原方程转化为 m(y +1)2 +(2m -1)(y+1) m+2 =0 ,即2my +(4m1)y+2m+1 =0(*)由于原方程两根都小于 1,所以方程(*)的两个实根都小于 0,其充要条件是：r0之04m - 1<0m2m +1 0,m同样可求出m的取值范围(略).(2)两个根在实数k的异侧例2：二次方程(2m+1 )x2 2mx + (m1 ) = 0有一正根和一负根,求实数 m的取值范围.1解：由(2m+1Uf

15、(0)<0即(2m+1 * m-1 )<0 ,从而得一一 < m < 1即为所求的范围.22变式1：一次函数 y=(m+2)x (2m+4 )x + (3m+3当x轴有两个交点,一个大于1, 一个小于1,求实数m的取值范围.1解：由(m十2|_f(1)<0即(m+2 U(2m + 1 )<0 = 一2 < m父一即为所求的范围. 2变式2：求实数m的范围,使关于x的方程x2 + 2(m 一 1)x + 2m+6 = 0 .(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小.(2 )有两个实根 «, P ,且满足0<a<1<P<

16、4.(3 )至少有一个正根.解：设 y = f (x) = x2 2(m - 1)x 2m 6 .(1)依题意有 f(2) <0,即 4+4(m 1)+ 2m+6 <0,得 m<1.文案大全实用标准文档(2) 依题意有f (0) = 2m 6 075« f(1)=4m+5<0 斛得：一一 <m<一-.54f(4) =10m +14>0(3 )方程至少有一个正根,那么有三种可能：上 0'mW 1或 m > 5有两个正根,此时可得 f f (0) >0 ,即,m >-3-3< m< -1.| 2(m -1)0

17、m < 11.2,有一个正根,一个负根,此时可得f (0) <0 ,得m < 3.人,厂,口6+2m=0有一个正根,另一根为0 ,此时可得J:. m = -3 .2(m-1) <0综上所述,得m < -1.变式3：如果二次函数 y=mX+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求m的取值范围.解：f (0)=1>0(1)当m< 0时,二次函数图象与 x轴有两个交点且分别在 y轴两侧,符合题意.之0(2)当n>0时,那么13_m 解得0Vm< 1>0 .m综上所述,m的取值范围是 m m< 1且m 0.(3)在区

18、间(m,n)有且只有一个实根例3.二次方程 mx2十(2m-3)x+4 = 0只有一个正根且这个根小于1,求实数 m的取值范围.解：由题意有方程在区间(0,1)上只有一个正根,那么f (0|_f(1)<0 = 4_(3m+1)<0 = m<1即3为所求范围.变式：关于 x的二次方程x2+2mx2ml'1=0.假设方程有两根,其中一根在区间(一1, 0)内,另一根在区间(1 , 2)内,求m的范围.2解：条件说明抛物线 f (x)=x+2m)+2n+1与x轴的交点分别在区间(一1, 0)和(1, 2)内,那么文案大全实用标准文档'f(0)=2m+1 <0,

19、f(-1)=2>0, _ f (1) =4m 2 ：二0尸f (2) =6m 5 01m :-2m R,1=m ：-,25m、一一651一一：二 m :二-62一 ,一 51实数m的范围是(一5,二).62(4)在区间(m,n)有两个实根例4：关于x的二次方程x2+2m)+2n+1=0.假设方程两根均在区间(0 , 1)内,求m的范围.解：据抛物线f (x)=x2+2m)+2n+1与x轴交点落在区间 (0 , 1)内,列不等式组f(0) >0,f(1)>0,：-0,0rm :二 11mA-万,1?m一,2m >1 十 J2或 m <1 - v 2, -1 <

20、m <0.2 < me 1- 2 ,实数m的范围是(_1,1 _ . 2.2变式1:方程2x2解：设 f (x) = 2 x2 -2(2 a-1) x + a+2=0的两个根在-3与3之间, 2(2 a-1) x + a+2,那么原方程两根都属于 (-3, 3)求a的取值范围.的充要条件为r > 0f (-3)>0f(3)>02a-1.-3< 丁 <34 4(2 a-1) 2 - 8( a+2) > 0 18+6(2 a-1)+ a+2>0=18-6(2 a-1)+ a+2>02a-1-3< 丁 <314 < m 3

21、-,21.3+.21v ms；故a的取值范围是(-g ,干U甲,得).变式2：方程x2 +(3m1)x + (3m2)=0的两个根都属于(-3, 3),且其中至少有一个根小于1,求m的取值范围.解：原方程即为(x + 1)( x + 3 m2)=0 ,所以方程两根分别为-1,2-3 m而-1在(-3,1)上,那么由题意,另一根满足-3<2-3 nr3 = - 1 < nr 5 . 33(6)在区间m,n有实根例5.a是实数,函数f(x) =2ax2+2x 3 a ,如果函数 y =f (x)在区间-1,1上有零点,求a的取值范围.解析1:函数y = f(x)在区间-1 , 1上有零

22、点,即方程f (x) =2ax2+2x3a =0在-1 , 1上有解,文案大全实用标准文档a=0 时,不符合题意,所以aw0,方程f(x)=0 在-1 , 1上有解<=> f (-1) ,f (1)<0或af (-1) ,0af(1)-0与_ 7_3.、7« A =4 +8a(3 +a)至0 = 1 Wa W5或 a <-2或 a 25 = a <2或 a> 1.1 -1.1 a所以实数a的取值范围是aE土虫或a>1._2解析2： a=0时,不符合题意,所以 aw0,又1 2x -1 f(x)=2ax +2x-3-a =0 在-1 , 1上有

23、解,仁？ (2x -1)a=3-2x 在-1 , 1上有解 仁？一=在-1 ,a 3-2x1上有解,问题转化为求函数y=2x -1-1 , 1上的值域；设 t=3-2x , xC-1 , 1,那么2x = 3t, te3-2x1,5,1y 二2(t -3)2 -2It=2(t - -6),设 g(t) =t ：.g'(t)=te1,77)时,g'(t) <0 ,此函数g(t)单调递减,tW(J7,5时,g'(t) >0,此函数g(t)单调递增,y的取值范围是 "-3,1,一,、37巾-3,1 u a 21 或 a<-.221"f(x

24、)=2ax +2x3a=0 在-1 , 1上有解 C a(6)二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况,在其它的一些场合下也可以适当运用. ,一一 x+1例6.1 .求函数 y = / 3x+2 (1< x<2)的值域.解：原函数即为y ( x2-3x+2)=x+1,yx2-(3 y+1)x+2y-1=0,由题意,关于x的方程在(1,2)上有实根.易知 y<0,令 f(x)= yx2-(3 y+1)x+2y-1 ,那么 f (1)= -2<0, f (2)= -3<0 ,所以方程在(1,2)上有实根A>0当且仅当j 1<3y+1 &l

25、t;2,解得yW-5-246 .原函数的值域为(-吟-5-2 琳.例6.2 .抛物线y = 2 x2-m)+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段(除去两个端点)有公共点,求m的取值范围.解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x,代入抛物线方程得：x = 2 x2-mxm 即 2 x2-( n+1)x+m=0, > 0m+1f(0) - f(1)<0 或?04f(0)>0f(1)>0由题意,方程在区间(0,1)上有实根,令f (x) = 2 x/m+Dx+m那么当且仅当-2m m-6 m+1 >0u rx0 或 £

26、-1< m<3u me 3-20且 m 0.,m>0文案大全实用标准文档故m的取值范围为(-8,0) U (0, 3-2 & .例6.3 .设关于x的方程4x -2x+ -b = 0(b R R),(1)假设方程有实数解,求实数 b的取值范围；(2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解.分析：可用换元法,设 2x =t ,原方程化为二次方程t2 -2t -b =0,但要注意t >0,故原方程有解并不 等价于方程t2-2tb=0有解,而等价于方程t2-2t-b = 0在(0,十厘)内有解.另外,方程有解的问题 也可以通过参变别离转化为求值域的问题,

27、它的原理是：假设关于 x的方程a= f(x)有解,那么aw f(x)的 值域.解：(1)原方程为b =4x -2x+, 4x -2x+ =(2x)2 2M2x =(2x -1)2 -1 >-1 ,当b w 1,2)时方程有实数解；(2)当b = 1时,2x=1,方程有唯一解 x=0;当 bA1 时,:(2x 1)2 =1+b= 2x =1±V1b.；2x >0,1 +vVb >0,/, 2x =1 +vyTb 的解为 x = log 2(1 +vVb)；令 1 - .1 b .0二 ,1 b ：二1 二 -1 ：二 b < 0,当 一 1 <b <

28、0时,2x=1 一 Ji +b 的解为 x = log2(1 -Ji + b)；综合、,得1)当 一1 <b <0时原方程有两解：x = 10g2(1 ±4'1 + b)；2)当b之0或b = 1时,原方程有唯一解 x = log2(1+J"b)；3)当b <-1时,原方程无解.变式：方程 m 22x +(2m1) 2x +m=0在(?,1)上有两个根,求 m的取值范围.解：令 t =2x,当 xW(-«,1)时,t50,2).由于1=2'是一一映射的函数,所以 x在(*,1)上有两个值,那么t在(0,2)上有两个对应的值.因而方程mt2 +(2m-1)t +m=0在(0, 2)上有两个不等实根,其充要条件为文案大全""一22(2m -1)2 -4m2 >0(1)m2 >0(2)m(9m -2) >0(3)C 2m -1 c0 c<2(4)实用标准文档由(1)得：m <-,4由(2)得：m=0,2由(3)得： m<0或 m>一, 9,11由(4)得： 一 <m <.6221r , ,2 1二一 <m <一,即m的取值氾围为(一,一).949 4三.稳固练习1 .二次方程(3m -1)x2 +(2m+3)xm+4 =