量子力学的数学准备

1、积分区域是半径无穷大的圆2-r- e由此我们可以得到积分公式:量子力学的数学准备（暑期读物）写在前面的话06光信、电科的同学们：暑假开学后我将和你们一起学习量子力学这门课程。由于教学计划调整，量子力学的学时由周五学时缩减为周四学时，加之学期缩短 （由18-19周缩短为16-17周），实际教学时间缩减近三分之一。无论是从学校 的要求还是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来看，都不允许减少教学内容。为此我编写了一个暑期 读物，以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理和有关概念的前提下，能够对量子力学课程中用到的一些数学知识做一个复习和预习，以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。我知道大家

2、暑假都很忙,要回家与亲人团聚尽享天伦之乐，要孝敬父母帮着做一些事情，要游览大好河山感受大自然的美，要准备考 托考吉考这考那，要准备科技创新、电子大赛，等等等等。但我还是希望大家能拨冗看一下这个读物，此处 所说的看决不是指"Look",而是指"Read, Deduce and Consider ",即阅读、推导、思考。为此，带上数 学物理方法和线性代数的课本回家是有必要的。有人说19世纪是机器的世纪，20世纪是信息的世纪，而 21世纪将是量子的世纪。让我们为迎接量子世 纪的到来做好准备吧！刘骥谨此I. 一个积分的计算计算积分Idx-He -He 2_ 2_

3、 2I 三e -x dx e dy ' e二 2 二 2 = e-r rd Rr0 0Word资料二(2n -1)!2n-pcOQOQ.2 n,x2 ,1 2n J. , . x22n-'12 n J2 . x2 ,In = x e dx=x de = x e dx22JJ"Vn2n -1= (2n -1)( 2n -3)- In-2I n -212问题：对于积分 J三e'dx可以仿照上述方法计算吗？为什么？如果不能，该如何计算其近似值? 考察方程(1)在区间(_m,十整)两端XT 土笛的渐近行为，一由于九是常数，相对X2(T -)可忽略，方程(1)在XT &

4、#177;比的渐近式为俗称“抓两头”y - x2 y = 0(2)2-X2/2x )2-r - -二y - x y - -e 0观察可发现ef/2是方程(2)的近似解。1x2 /2x2 /2e当然不是方程(1)的解y(x)，但当x-> 时y(x)应表现出e的渐近行为，于是我们可以x2 /2合理地假设y(x)中应包含因子e 。俗称“带中间” 令 y(x) = h(x)e« /2,代入(1),得h (x) -2xh(x) ( -1)h(x) =0方程(3)称为Hermit方程，是可以用级数法求解的。级数法求解Hermit方程oO令 h(x) =Z akxk ,代入(3),k=0%

5、k(k -1)akxk八( -1 -2k)akxk =0 k =0k =0COZ (k +2)(k +1)a"十(入1 -2k)akxk =0 k =0由方程两边x的同哥次系数相等，我们得到 展开系数的递推公式：82CO二 k(k-1)akxk"k(k-1)akxk"k=0k =2QOQO八(k： 2)(k1)ak xk 八(k 2)(k 1)ayxkk：=0k=0求和哑指标k换为k (kM2)再用k( =k)k*正像积分变量替换不改变定积分的值一样，求和哑指标的替换不改变求和的值。k =0,1,2,(4)2k +1 入ak 2) -ak 2 (k 1)(k 2)

6、由递推公式(4)可以看出，a0确定后，a?、a4、等所有下标为偶数的展开系数随之确定，a1确定后,a3、as、等所有下标为奇数的展开系数随之确定。不妨令3ak =C1bk， ak = C2 bk ,k为偶数k为奇数Ci,C2为任意常数,则不管k为偶数还是奇数都有 bk * = 2k +1 一=bk (5)(k 1)(k 2)于是1一 (1- )(5- ),4(1- )(5- )(9- )6 .h(x) = C1 (bo box box box)2!4!6!(6)C2(b1xJb1x3(3一)(7一5(3-')(7-')(11-7)3!5!7!= C1h1(x) C2h2(x)可

7、见无穷级数h1(x)和h2(x)是Hermit方程(3)的两个线性无关解。y(x)有限性的讨论一当九取任意常数值(九#2n +1, n w N ),若y(x)有限，则要求:i .对任一有限的x,无穷级数h1(x)或h2(x)收敛于有限值;对于任一常数九，无穷级数 22 /2y(x)=h(x)e 是方程 的解，这是没有问题的。但是否 有限解，欲得到有限解对常数入 有何要求，这是需要讨论的。x2/2ii . xt 时，无否级数h1(x)或h2(x)有限，即使趋向无穷大也不能快于e 。由式(5), h1(x)或h2(x)的相邻项系数比(后项比前项)bk2 =-21二bk(k 1)(k 2)一 kz&

8、quot;： 2 ,根据无穷级数k收敛判别法则，条件i是满足白1即h1(x)或h2(x)是收敛的。至于是否满足条件ii ,难以直接看出。为此22。 x4 x6我们考祭函数ex的泰勒展开式ex =1 + x2+十十十2!3!xk十(k/2)!其相邻项系数比xT时的渐近行为取决于其高次项,h1(x)或(k 2)!= 1一 一 -。 一个无穷级数在(k 2) 1! (k 2) 1k,x2x 1, ： -Y2x 1, ： -Y2hz(x)与e 有相同的(kT 0°)相邻项系数比，因而 h1(x)b boe , h2(x)b b1xe 。显然 这不满足上述的条件ii ,即九#2n十1时，方程(

9、1)没有有限解。九=2n +1时，方程(1)有有限解一 2k 1 - (2n 1)九=2n+1时，式 变为bk 42-bk，由bo (或b1)可推出b2, b4,，bn (或b3, b5,，bn)，(k 1)(k 2)而bn42 =bn44=0 , h(x)或h2(x)截断成为多项式。xt 土笛时，多项式趋向无穷的速度不快于x2 /2 _. 一 . 一 .e ,满足条件ii ,因而我们可以得到方程 (1)的有限解。具体地说，九=2n+1, n为偶数时，(x)截断成为只含有偶数次哥的n次多项式，而h2(x)仍为无穷2 ,级数，此时可选任意常数 C2 =0 ,得到方程(1)的有限解y(x) =C1

10、h1(x)e。九=2n+1, n为奇数时，h2(x)截断成为只含有奇数次哥的n次多项式，而h"x)仍为无穷级数，此时2 O可选任意常数C1 =0 ,得到方程(1)的有限解y(x) =C2h2(x)ex /2。Hermit(厄密)多项式2 =2n +1时，%(x)或h2(x)截断成为n次多项式，其中的常数 b0或b1习惯上这样选取：使多项式最高次项的系数为2n。这样的多项式称为Hermit多项式，记为Hn(x),其通项公式:2 一Hn(x) =(-1)kk =0n!k!(n -2k)!(2x)n2kn n45_n为_n的整数部分，g=_5 = 2由此通项公式可具体写出任意阶的厄密多项式

11、，如H0(x)=1, H(x)=2x, H2(x)=4x2-2,H 3(x) = 8x3 - 12xH4(x) =16x4 -48x2 +12,归纳起来，方程丫"十(九乂2)丫=0在,九=2n * 1时存在有限解.对应的解为yn(x): CnHn(x)e-x2/2n = 0,1,2,3，。Cn为常数，由其他条件确定。Hermit多项式的微商表示方法及递推公式2n -x2 dne-xHermit 多项式还可与为 Hn(x) -(1) e- (8)dxn由通项公式(7)可得厄密多项式的一个递推公式Hn(x) = 2nHn 1由微商表示(8)可得第二个递推公式由(9),(10)可得第三个递

12、推公式常数Cn由归一化条件确定Hn(x)=2xHn M(x)Hn 1(x) 2nHn(x)=2xHn(x)*heHoc按照量子力学，yn(x)应满足归一化条件，即y2(x)dx=C2 fe2-x-rd(10)(11)H2(x)dx = 1。其中的积分值计算出来后，就能得到常数 Cn。将微商表示(8)代入上述积分，得-ho2e-feeH2(x)dx= . (-1)nHn(x)2 n -x d eHoc-(-1)n , Hn(x)-nd2.n 1 -xd en -1dxHoc2= 2nn! H0(x)exCnndxdx = (-1)n . Hn(x)d(dx = 2n(-1)n-1dx = 2nn

13、!.二yn(x)=Hoc,Hn.1(x)(12)1/2l2nn!j”两个常用的关于 yn(x)递推关系dxn'2.n -1 -xd en -1dxdx2 , 一-x / 2e Hn(x)1 ,由(11)得，xHn(x) =nHn_1(x) +2Hn41(x)，那么 xyn(x) =2 2n”(n -1)!、二1/2-x / 2e H n -1(x)n 11 /2。n n<2 n'、22n 1(n 1)! 一二e-x /2xHn(x)一x2 /2e H n 1(x)，、in ，、 即 xyn(x) = 12yn_1(x)n 1利用(10)式H n (x) = 2xH n -

14、Hn+1(x),类此上面的计算可得dyn(x)二dxn /、12yn.1(x)-yn 1(x) yn(x)满足正交性，即1ym(x)yn(x)dx = 0, m*n证明：不妨设m >n ,仿照(12)式中的做法.ym(x)yn(x)dx = 2nn! . Hm_n(x)e2一x dxOd-J30再将厄密多项式的微商表示 （8）代入,+00-hsoym(x)yn(x)dx = 2nn!(-1)m-n2m -n -x men dx dx2m -n _1 八 _xd e-dxm 二 n一2一x是一个多项式与e 的乘积= 2nn!(-1)2m - n -1 xm_n d e一dxm二 n-Hz;

15、III.1.定义0,40c传(x)dx =1。-CO2.性质i. 6(-x) = &(x) , ii.x1、.=- -、(x), (a = 0) aaiii.f (x)、(x -x0)dx = f (xo)3.8函数是某些通常函数序列的极限“8函数显然不是通常意义的函数。人们现在说，它是广义函数。具体地说，它是某种通常函数系列的极限，而这极限是在积分的意义上说的。”（梁昆淼数学物理方法第三版，p108）除了梁昆淼书中给出的三个例子，即i.1“x、rect(-)ii.(x)=iii.(x) =lim二；2 x2之外，量子力学中还经常用到下面几种:iv.、(k)=*heikxe dxv.(

16、x) =limg ：. 2 /、sin (xg)二 x2先验证iveikxdx =lim1 Reikxdx =2 二 L-R再验证V,sin2(xg)lim 一. 2g一；心 J x g两次使用洛比达x =0 时,2/、sin (xg)lim . 2g； ： ： : x g= lim limgr ' x- 0c/一s1n阿g2 2 lim -x g g ,二注意到4oclim一-二 g :二二一一2sin xsin2(xg)二 x2gdx4oc= limg ”1二一工sin2(xg)1Fdxm 二Hocdx =1 ccos2x2x2-fee,11dx =cos2xd =2x_n0sin

17、 2x ,dx 二二xsin 2(xg)lim 押_-：g 二二 x gdx符合8函数的定义。IV. Kroneck 符号 6mn 与 Levi-Civita 符号 ®ijk-01,m = n1. Kroneck 将3 6=1m, n w Zmn 0,m f n引入Kroneck符号后，可对许多公式进行方便简捷地表达。例如，三维空间的三个相互正交的单位矢量i,j,k也可用e1,e2,e3表示，则有ei e1 = 1, e1 %=0，向% =0 、,2e1= 0，e2e2=1，e2e3= 0> 此九式可统一写为emen=6mne3 0=0 , e3 e2 =0，e3 e3 = 1

18、2. Levi-Civita 符号1,ijk 为 123 或 231 或 312定义:%k =-1, ijk 为 213 或 321 或 1320, ijk有重复数字可这样记忆：设想只有三个钟点的表盘（如右图），ijk按顺时针方向取三个数字，Levi-Civita符号为+1,逆时针方向取为-1 , ijk中有两个或三个重复数字则为0。口诀：顺正逆负，重复为零性质：名派=%ki =%j（下标轮换，符号不变），%k = 一k = 一名ikj （下标对调，改变符号）例如向“1 =0,9乂%=%,向父，=飞2fl一 一 3一e2 M e1=飞3 , e2 M ,=0，e2 M e3 = e1此九式可统

19、一写为 ei 父 ej 一 乙 6 ijk ekrk=1e3父e1 = -e2，e3父e2 = _e1，e3父e3 = °(或省略不写求和号) 二Ejk ek -又如角动量 L=r p = (xiq) (pjej) = jkxiPjek = 1卜吸重复下标（此处为k）意味求和, 此乃爱因斯坦惯例。符号可以很简洁地证明。证明:f (x, y, z)的作用在直角坐标系中表示为1 nk :zx = r sin f cos :y = r sin sin 中 和 z = r cos r = x2 y2cos 二-z、x2 tan = y x2z22y z其中第k个分量Lk = &ijk

20、为Pjk取1得第一个分量(x分量):Li =行iXi p j = X2 P3 - X3 P2再如熟知的公式 Am(BmC) =B(C，A)_C(A .B),利用 Levi-CivitaV. Nabla算符与Laplace算符Nabla算符就是梯度算符 V (读彳Nabla),它对任意函数-T .i、,_?、,-k ,或与为 = + j L,L,，.r,:zex ty那么在球坐标系中，函数 f (x, y,z) = g(r,6W) = gr(x, y,x),6(x,y, z),中(x, y, z) , Nabla 算符又具有 什么样的形式?利用直角坐标和球坐标之间的关系工=阻=工用.-g . -

21、g.x二 x 二 r：x 二口 .x :1 sin ：=-:xr sin-二 r：F1.计算得: =sin日cos中， =cos日cos中x：xr.一 一 1 一 一 1 sin ： 一"sincos cosmos;-一 :xer rr sin 二1. ;1 cos :同理 一 =sin s sin 一 cos 二 sin :一二y；r rr sin ?厂.z4。.:1 :=cosu - - - sin .一 .一.一 一1,l- " (sin c cos : isin【sin jcos k)-(cos cos : i cos?sin : j -sin 二 k)jr r1(

22、-sin : i cos j) r sin ?注意直角坐标和球坐标系单位矢量间的关系（见右图）一 一er =sincos中 i +sinBsin中 j +cosk 7 一 一e = cosgcos中 i +cosBsin中 j sine k 卜（1） e（p = -sin 邛 i +cos邛 j可得球坐标系中 Nabla算符的具体表达式, F 1 F 1：二 er ee；. _:r r u r sinc9=乌二卫=0 开 ；:rLaplace算符三V2 = V ,注意到er ,e&e中相互正交，且由（1）式可得：:ec9；:e.:a=cos c cos : i cos ? sin j

23、-sin k k = e1-sin s sin : i sin c cos : j = sin e e: s -sin c cos : i -sin sin : j -cos - k = sin e=-cos- sin : i cos- cos ; j = cos - e=0,- = cos中i sin中 j = -(singer + cos9eg) -L ecp可得-2 2 2 一1e冷，e ：9一Je ：二二2 2 2 2 2 2 _2_-r r n r sin - r - r rsin-r r sin -3c 1 c21 c22 c cos 日 C=+二 22 - _1222- ,： 2

24、二2. r r：i rsini； r；r r sin -：-12一)22r2sin2 1二 2 二1 二于是=2 (r )2(sin1r ： r f r r sin7注意：i , j , k是空间三个相互正交的固定 方向上的单位矢量，与空间点 （x,y,z）或（r,仇中）无关。而 er,e& e中是空间三个相互正交的变动；方向上的单位矢量，与空间点（x,y,z）或（r,e）有关，确切地说与日，中有关。VI.函数空间及其矢量一、三维几何空间中的矢量在三维几何空间中，所谓矢量是指需其大小和方向两方面来描述的量，如位移、速度等，一般来说是三维空间中的有向线段。 一旦我们在空间中选定一组 （此

25、处是三个）线性无关的矢量作为基矢量，比如，j,k（相当于选定了直角坐标系），则任意矢量 A可写为A = Ai + A2j + A3k ,其中A1, A2,A3分别是A在i , j,k方向上的分量，或写为三行一列的列矩阵 A=A1A2。而三个基矢量的矩阵表示分别为以矩阵表示矢量时， 习惯上矩阵名 A上不加表示矢量的箭头类此地，一旦我们选定er,e®ecp作为基矢量（相当于选定了球坐标系），则上述任意矢量_Ar '_A = Arer +藁+Acpep,或写为A'= Ag。显然同一矢量 A在直角坐标系中的矩阵表示A与在球坐标中2的矩阵表示A,是不同的。以上的讨论实际上意味着

26、这样一个事实，三维几何空间中的任意一个矢量可写成一组完备正交基（1, j ,k 或t,藁6）的线性组合。两个矢量A和B的内积（点乘）等于在同一完备基下两矢量对应分量的乘积和，即此处f （x）可以是复函数，不是A E=ABi +&B2+A3B3 或 AB=ArB,十8日十岫中二、从Fourier变换看完备函数系J复变函数，而是实变复函数，即-变量为实数，而函数值为复数我们在数理方法中知道，对任一在（-°°严）上有定义的函数 f （x）可作Fourier变换:f (x) =-1= fg(k)eikxdk ,其中 g(k) = _ (f (x)eJkxdx , kwR2二

27、二二2二一二我们可以换一个角度来看Fourier变换，选择一系列函数Leikx k取遍(-«,g)中的所有值,任一函数,2二f (x)可写成这一函数系列的线性组合。积分的本质就是求和如果任一函数f(x)可写为某一函数系列的线性组合，则该函数系列为完备函数系，简称完备系。比如我们这里的函数系列三、函数空间三维几何空间实际上是所有三维矢量作为其元素的一个集合。对于三维几何空间，当选定一组完备系(比如1, jk ,它们当然也是该集合中的元素)后，任意矢量A可写为A = Aj+ A2r +飞仁，其中A),A2,A3分别是A在i,j,k方向上的分量。对照来看，所有定义在 (-刃,如)上的复函数的集合，也构成一个空间，称为函数空间，也叫希尔伯特空间。当选定函数系列eikx,k w R ;作为完备系时，任意函数f (x)=1.2 二oOfg(k)eikxdk, g(k)是 f(x)在基Leikx上的分量。从这个意义上讲，一个函数f(x)就是函数空间中的一个矢量